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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市海淀区北京中国人民大学附属中学中考模拟数学试题
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．其中海底隧道部分全长6700米，是世
界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数
法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2. 下列图形中，既不是轴对称也不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转 后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
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【详解】解：A、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能
够互相重合，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
不能够互相重合，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
的
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形 知识，把一个图形绕某一点旋转 后，能够与原图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
3. 某个几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 三棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】由左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱．
【详解】解：图中主视图为三角形，长方体的主视图为长方形，因此排除B；
图中俯视图为长方形，圆锥的俯视图为圆形，因此排除C；
图中左视图为长方形，三棱锥的左视图为三角形，因此排除D；
由左视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由主视图为三角形可得为三棱柱，故选项A符合题意；
故选A．
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【点睛】本题考查根据三视图判断几何体的形状，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法和加法．绝对值的意义，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判
断即可．
【详解】解：由题知： ， ，
∴ ， ， ， ，
∴选项B符合题意．
故选：B．
5. 实数 ， ， 在数轴上对应点的位置如图所示，如果 ，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据|a|=|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答．
【详解】解：∵|a|=|b|，
∴原点在a，b的中间，
如下图，
由图可得：|a|＜|c|，a＜0，b＞0，c＞0，
∴A、a+c＞0，此选项正确，故不符合题意；
B、a−b＜0，此选项错误，故此选项符合题意；
C、 b+c＞0，此选项正确，故此选项不符合题意；
D、ac＜0，此选项正确，故此选项不符合题意；
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故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘法、加法、减法，解题的关键是确定原点的位置．
6. 不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放
回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用树状图求出总的可能数和两次都是白球的可能数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图，如下：
总的可能数为12种，两次都是白球的可能数为2种，
则两次都摸到白球的概率
故选：D
【点睛】此题考查了利用树状图求解概率，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
7. 下列命题中的假命题是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是中心对称图形
B. 有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形
D. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，以及等边三角形的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，真命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；
D、等边三角形既是轴对轴图形，不是中心对称图形，假命题，符合题意，
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故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命
题；经过推理论证的真命题称为定理．熟练掌握相关知识是解答的关键．
8. 甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、
丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】
【详解】分析：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜 1
场或甲胜2场；由此进行分析即可．
详解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选D．
点睛：此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析
即可．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知 ，求出解即可．
【详解】根据题意可知 ，
解得 ．
故答案为： ．
10. 中D、E、F是三边中点，若 的面积是2，则 的面积 ______．
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【答案】8
【解析】
【分析】先根据三角形中位线的性质证明 ，再根据相似三角形的性质，得
即可．
【详解】解: ， ， 分别为三边中点，
为 的中位线，
，
，
，而 ，
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质以及相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是
本题的关键．
11. 分式方程 的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【
详解】解：去分母得：3x=x-2，
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解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解．
故答案为：x=-1．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
12. 已知反比例函数 与 的图象如图所示，则 、 的大小关系是 ______ ．（填“ ”，
“ ”或“ ”）
【答案】＜
【解析】
【分析】令x=a（a＞0），求函数值，结合函数图像根据不等式的性质判断即可；
【详解】解：∵y 在y 上面，当x=a（a＞0）时，y＞y，即
2 1 2 1
∴k＞k，
2 1
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
13. 如图， ， 是 的两条切线，切点分别为 ， ，连接 ， ，若 ，则
_______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质以及切线长定理，根据题意可得 ， ，进而求得 ，
根据等边对等角，即可求解．
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【详解】解： ， 是 的两条切线，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
14. 在平面直角坐标系中，一次函数y = 6x与反比例函数y= （ 0）的图象交于A（ ），B（
）两点，则 的值是 _____．
【答案】0
【解析】
【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点 A与交点B关于原点对称，进而得出其
纵坐标互为相反数，得出答案．
【详解】由一次函数 与反比例函数 的图象和性质可知，其交点 ，
两点关于原点对称，
∴ ，
故答案为：0．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确
判断的前提．
15. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形 ，
和 都是正方形．如果图中 与 的面积比为 ，那么 的值为________．
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【答案】
【解析】
【分析】证明 ，可得 ，而 与 的面积比为 ，即得 ，
设 ， 则 ， 在 中 ， 有 ， 又
，故 ．
【详解】解： 都是正方形，
，
，
，
，
与 的面积比为 ，
，
设 ，则 ，
，
在 中，
，
由“青朱出入图”可知： ，
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．
故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
16. 有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，
排列规则如下：
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在
了标注字母_______的位置，标注字母e的卡片写有数字_______．
【答案】 ①. B ②. 4
【解析】
【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．
【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡
片，
白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，
黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；
第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑
1，矛盾，
第一行中C为白2；
第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在
白2右边，与规则②矛盾，
第二行中c为白3，
第二行中a为黑2，b为黑3；
第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3
矛盾，
第二行中e为白4．
故答案为：①B，②4．
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【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，
白4的位置．
三、解答题（本题共68分，第17至22题，每小题5分，第23至26题，每小题6分，第27
至28题，每小题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝
对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°= ，求出各项的值即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值．
18. 解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【解析】
【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解．
【详解】解：
由不等式①得：x≥－2，
由不等式②得：， ，
∴不等式组的解集为： ，
∴x的非负整数解为：0，1，2，3．
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【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要
遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 如图，在四边形 中， ，在 上取两点E，F，使 ，连接 ．
（1）若 ，试说明 ；
（2）在（1）的条件下，连接 ， ，试判断 与 有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析
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（2） ，详见解析
【解析】
【分析】（1）根据 ， 得到 ， ，由 证明全等
即可．
（2）由全等的性质得到 ，由 证明 ，即可得到答案．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
，
在 和 中，
，
；
【小问2详解】
证明：连接 、 ，
由（1）可知
，
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在 和 中
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定
是解题的关键．
21. 如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE=CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于
点F，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
【答案】（1）证明见详解；
（2） ；
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的性质和菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是.菱形）解答；
（2）三角形ABC中，由勾股定理得出BC的长；然后三角形EBC中，由中位线的性质求出DG的长；三
角形ABG中，再由勾股定理求出BG的长；
【小问1详解】
解：四边形ABCD是矩形，E点在CD延长线上，则AD⊥CE，
CF∥AE，则∠EAD=∠CFD，
△EAD和△CFD中，∠EAD=∠CFD，∠EDA=∠CDF=90°，ED=CD，
∴△EAD≌△CFD（AAS），
∴EA=CF，
∵EA∥CF，
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∴四边形ACFE是平行四边形，
∵F在AD延长线上，AD⊥CE，
∴AF⊥CE，
∴平行四边形ACFE是菱形；
【小问2详解】
解：如图，
ABCD是矩形，三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=4， ，
△EBC中DG BC，DE=DC，则DG是中位线，
∴DG= BC= ，
AD=BC，
∴AG=AD－DG= ，
Rt△ABG中， ，
∴BG的长为： ．
【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，
三角形的中位线性质；熟记菱形的判定和勾股定理是解题关键．
22. 疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机
抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出
了部分信息．
节数x 频数 频率
8
10
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16 b
a
4
总数 50 1
其中，节数在 这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 25 25 26 26 26 27 28 28 29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是 ；
（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有__________人．
【答案】（1） ， ；
（2）补图见解析； （3）24；
（4）160．
【解析】
【分析】（1）根据频率 频数 总数进行求解，即可得到答案；
（2）根据（1）所求结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，取其平均数即可得到答案；
（4）用总人数乘以节数不低于30次的频数即可得到答案．
【小问1详解】
解： ， ，
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故答案为： ， ；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数为第25、26个数据的平均数，
根据节数在 这一组的数据可知，第25、26个数据分别为23、25，
所以，随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是 ，
故答案为：24；
【小问4详解】
解：根据图表可知，学生中观看网络直播课节数不低于30次的频率为 ，
所以，估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有 人，
故答案为160．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图，中位数，解题关键是
熟练掌握相关概念，从图表中准确获取信息．
23. 如图，在 中， ，D为 的中点，连接 ，过点A作 ，过点C作
与 相交于点G．
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（1）求证：四边形 是菱形
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析（2） ．
【解析】
【分析】（1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形 为平行四边形，
再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出AD=DC，进而可得出结论；
（2）由菱形的性质可得出 ，设BC=3k，AC=4k，运用勾股定理求解即可.
【详解】（1）证明：
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
∵ 中， ，D为 边的中点，
∴ ．
∴四边形 是菱形．
（2）解：四边形 是菱形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
设BC=3k，AC=4k，
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∵ ，
∴ ，即
解得，k=2（负舍去）
∴ ．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
24. 如图，在矩形 中， ， ，点A在直线l上， 与直线l相交所得的锐角为 ．
点F在直线l上， ， 直线l，垂足为点F且 ，以 为直径，在 的左侧作半圆
O，点M是半圆O上任一点．
发现： 的最小值为 ， 的最大值为 ， 与直线l的位置关系是 ．
思考：矩形 保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在 边上时，求半圆与矩形重合部分
的周长和面积．
【答案】 ； ；平行
；
【解析】
【分析】发现：根据题意求出 的长，当点 在线段 上时， 有最小值，当点 与点 重合时，
有最大值，然后过点 作 ，垂足为 ，证明四边形 为平行四边形，即可得到答案；
思考：连接 ，过点 作 ，由垂径定理得到 ，根据特殊锐角
三角函数值求出 的长，从而得到 的长，根据扇形面积公式即可得到答案．
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【详解】解：发现：由题意可知 ， ， ，
，
当点 在线段 上时， 有最小值，最小值为 ，
当点 与点 重合时， 有最大值，最大值为 ，
过点 作 ，垂足为 ，
， ，
，
，
，
，
为
四边形 平行四边形，
，
即 ，
故答案为： ； ；平行；
思考：连接 ，过点 作 ，
， ，
，
，
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，
半圆与矩形重合部分的周长 ，
．
【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，特殊锐角三角函数的的应用，切线长定理，依据题意画出
图形是解题的关键．
25. “机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校共有3000人，数学课外实践小组就对这
些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，
C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计
图．
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为 ；估计全校非常了解交通法规的有 人．
（2）补全条形统计图；
（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表
或画树状图的方法求丙和丁两名同学同事被选中的概率．
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【答案】（1）90°，1200；（2）详见解析；（3） ．
【解析】
【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C人数所占比例，由总人数可求全校
非常了解交通法规的人数即可得；
（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此补全图
形即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．
【详解】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%＝60（人），
∴扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°× ＝90°，
全校非常了解交通法规的有：3000×40%＝1200（人），
故答案为：90°，1200；
（2）D类别人数为60×5%＝3，
则B类别人数为60﹣（24+15+3）＝18，
补全条形图如下：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，
所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为 ＝ ．
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【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，掌握用样本估
计总体，扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法是解题的关键.
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ 是常数）．
的
（1）求该抛物线 顶点坐标（用含 代数式表示）；
（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线 的距离为1，求出 的取值范围；
（3）如果点 ， 都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有 ，求
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将一般式配方转化为顶点式即可．
（2）当抛物线与直线 有两个交点且与直线 无交点时满足题意，代入式子求出范围即可．
（3）求出对称轴，将 ， 两点的位置分类讨论，求出范围即可．
【小问1详解】
解∵ ，
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∴抛物线顶点坐标为 ．
【小问2详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴当抛物线与直线 有两个交点且与直线 无交点时满足题意，
∵抛物线顶点坐标为 ，
∴ ，
解得 ．
【小问3详解】
解：∵抛物线的顶点 在第四象限，
∴ ，
解得 ，
∵抛物线开口向下，
∴ 时， 随 增大而增大，
∴点 ， 在对称轴右侧时，满足题意，即 ，
当点 在对称轴左侧时，设点 关于对称轴对称点 坐标为 ，
∴点 在 右侧时，满足题意，即 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相关知识点有：解一元一次不等式，熟练运用二次函数的性质是解
题关键．
27. 如图，在 中， ， ，点D在线段 上，连接 ， 于点E，以
点A为圆心， 长为半径画弧，交 于点F，连接 ．
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（1）依题意补全图形：
①设 ，则 的度数为________________；（用含 的式子表示）
②求证： ；
（2）探究 、 、 之间的数量关系并证明．
【答案】（1）①画图见解析， ；②见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意画出图形，连接 并延长交 于点G，首先根据题意证明出 是等腰
直角三角形，然后证明出 ，进而得到 是等腰直角三角形，然后证明出
，得到 ， ，然后利用
求解即可；
②由①得到 ， ，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据勾股定理和等腰直角三角形的性质得到 ， ，然后利用勾股定理得
到 ，然后代入求解即可．
【小问1详解】
如图所示，连接 并延长交 于点G，
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∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴
又∵
∴
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∴ ，
∵
∴
∴ ；
②由①可得，
∵
∴
∴ ；
【小问2详解】
∵ 是等腰直角三角形
∴ ，
∴ ，
∴整理得 ，
∵
∴
∵ 是等腰直角三角形
∴同理可得，
∵
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∴
∴
∴整理得， ．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的
关键是熟练掌握以上知识点．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 和线段 ，如果点 ， ， ， 按逆时针方向排列构成菱
形 ，且 ，则称线段 是点 的“ 相关线段”．例如，图1中线段 是点
的“ 相关线段”．
（1）已知点 的坐标是 ．
①在图 中画出点 的“ 相关线段” ，并直接写出点 和点 的坐标；
②若点 的“ 相关线段”经过点 ，求 的值；
（2）若存在 ， 使得点 的“ 相关线段”和“ 相关线段”都经过点 ，记
，求 的取值范围．
【答案】（1）①图形见解析，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．② 或 ．
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（2）
【解析】
【分析】（1）①如图所示，以点 为旋转中心，将线段 顺时针旋转 ，得到线段 ，过点 作
轴的垂线段，交 轴于点 ，沿 正方向作线段 ，使得 轴， ，连接 ，线段
即为所求．②因为点 到点 的距离 ， ，所以点 只能为点
或点 ．
（2）以点 圆心，以 的长度为半径作 ，过点 作直线 ，交 于点 、点 ，将圆
沿直线 移动，将圆心 移动至 上的点 ，点 、点 的对应点分别为点 、点 ，当点
与点 重合，且坐标为 时， ，当点 与点 重合，且坐标为 时， ．
【小问1详解】
①如图所示，以点 为旋转中心，将线段 顺时针旋转 ，得到线段 ，过点 作 轴的垂线段，
交 轴于点 ，沿 正方向作线段 ，使得 轴， ，连接 ，线段 即为所求．
， ．
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点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
②∵点 到点 的距离 ， ，
∴点 只能为点 或点 ．
当点 为 时，如图所示，
根据题意可知 ，
∴ ．
当点 为 时，如图所示，设 与 轴交于点 ．
根据题意可知点 的坐标为 ，
∴ ．
∴ ．
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∴ ．
综上所述， 或 ．
【小问2详解】
如图所示，以点 圆心，以 的长度为半径作 ，过点 作直线 ，交 于点 、点 ，将
圆 沿直线 移动，将圆心 移动至 上的点 ，点 、点 的对应点分别为点 、点 ．
根据平移的性质可知 ， ，
∴四边形 为平行四边形．
又 ，
∴四边形 为菱形．
同理可得四边形 为菱形．
根据题意可知，点 在线段 和 上．
如图所示，当点 与点 重合，且坐标为 时，点 与点 重合．
根据题意可知 ．
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如图所示，当点 与点 重合，且坐标为 时，点 与点 重合．
根据题意可知 ， ， ，
∴四边形 为正方形．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、平面直角坐标系、圆的性质，能根据题意构建图形是解题的关键．
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