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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
海淀区九年级第二学期期末练习
数 学
考生须知
1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 截至 年底，我国人工智能核心产业规模接近 亿元，形成了京津冀、长三角、珠三角三大集聚
发展区．将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
用科学记数法将 ，表示为 即可．
【详解】解： 用科学记数法的表示为 ，
故选： ．
2. 下图是一张长方形纸片，用其围成一个几何体的侧面，这个几何体可能是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了立体图形侧面展开图的特征，掌握立体几何图形的特征是解题的关键．
根据圆柱，圆锥，球，三棱锥的侧面展开图的特征进行判定即可求解．
【详解】解：A、圆柱的侧面展开图是长方形，符合题意；
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B、圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意；
C、球的侧面展开不符合长方形的特征，不符合题意；
D、三棱锥的侧面展开图不符合长方形的特征，不符合题意；
故选：A ．
3. 五边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和公式，掌握 （ 为多边形的边数）是解题的关键．根据多
边形内角和公式 （ 为多边形的边数）即可求解．
【详解】解： ，
故选：C ．
4. 若 ，则下列式子一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质进行解答即可．
【详解】A、若0＞a＞b时，a+b＜0．故A选项错误；
B、在a＞b的两边同时减去b，不等式仍成立，即a-b＞0．故B选项正确；
C、若a＞0＞b时，ab＜0．故C选项错误；
D、若b=0时，该不等式不成立．故D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质： (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变；(2)
不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向
改变.
5. 如图，实数 在数轴上对应的点可能是（ ）
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A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，数轴上实数的特点，掌握无理数的估算方法，数轴的特点是解题的关
键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴在数轴上对应的点可能是 ，
故选：C ．
6. 如图， ，点A在 上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 ， 于点B，C，连接
AC，BC．若 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查平行线的性质，等边对等角，先根据题意得出 ，求出 ，根据
平行线的性质得出 ，即 ，进而可得出答案．
【详解】解：∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 ， 于B、C，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
7. 九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成
一组混双搭档的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了运用列表法或画树状图求随机事件的概率，掌握其求随机事件概率的方法是解题的关
键．
根据题意，列表或画树状图表示所有等可能结果，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，如图所述，画树状图表示所有等可
能结果，
共有 种等可能结果，其中恰好能组成一组混双搭档的结果有 种，
∴恰好能组成一组混双搭档的概率是 ，
故选：D ．
8. 某种型号的纸杯如图 所示，若将 个这种型号的杯子按图 中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的
总高度为 ．则 与 满足的函数关系可能是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的
关键．
根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得 ，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，1个杯子的高 ，1个杯子沿高为 ，
∴ 个杯子叠在一起的总高度为 ，
故选：D ．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解不等式，理解并掌握分式的分母不能为零是解题的关键．
【详解】解：根据题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
10. 已知 是方程 的一个根，则实数 的值是_________．
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【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 ，代入原方程，得到关于 的一元一次方程，解方程即可
求解．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二
次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
11. 如图，在 中， 分别在边 上， ．若 ， ，则 的值为
__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据 可证 ，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
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∴ ，
故答案为： ．
12. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在反比例函数 的图象上．若 ，
则满足条件的k的值可以是__________（写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据题意可知 ，写出一个小于0的 值即可．
【详解】解： 、 两点的横坐标都为正数，
、 两点在同一个象限，
又 ， ，
随 的增大而增大，
，
的值可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
13. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以 为直径的半圆上．若点D在
上，则 __________ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．
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记 的中点为 ，连接 ，可知 ，然后根据圆内接四边形对角互补求解作答即可．
【详解】解：如图，记 的中点为 ，连接 ，
由图可知， ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
故答案为： ．
14. 一组数据 的平均数为 ，方差为 ．再添加一个数据 ，得到一组新数据．若记这组新
数据的方差为 ，则 __________ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平均数，方程的计算方法，掌握方差的计算方法是解题的关键．
根据方差公式 即可求解．
【详解】解：根据题意，
，
添加一个数据 后的平均数为 ，
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∴
，
∵ ，即 ，
故答案为： ．
15. 下表是n与 （其中n为自然数）的部分对应值表：
n 5 10 15 20 25 30 35
3 104857
1024 32768 33554432 1073741824 34359738368
2 6
根据表格提供的信息，计算 的结果为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键．
根据表格信息分别找出 对应的 中的n的值，根据同底数幂的乘法运算法则即可
求解．
【
详解】解：根据表格信息可得， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 在 中， 为边 的中点， 为边 上一点，连接 ．给出下面三个命题：
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①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ．
上述命题中，所有真命题的序号是__________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查了本题主要考查中位线，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解
题的关键．
根据中位线的判定和性质可判定命题①，根据相似三角形的判定和性质可判定命题②③．
【详解】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
命题①，若 ，则点 是 的中点
∴ ，故命题①真命题；
命题②，若 ，
∴ ， ，
当 时， ，可得 ，故命题②假命题；
命题③，若 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴点 为 中点，则 ，故命题③真命题；
综上所述，真命题的序号为①③，
故答案为：①③ ．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5
分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、
演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握零次幂，特殊角的三角函数值的计算，二次根式的性质化简，
绝对值的性质化简等知识是解题的关键．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：由 ，
解不等式可得 ，
由 ，
解不等式可得 ，
综上可得，不等式组的解集为 ．
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19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据 可得出 ，代数式
提因式得到 ，再用平方差公式即可得出 ，即可得到答
案．
【详解】解： ，
即 ，
20. 如图，点A，B，C，D在一条直线上， ， ，四边形 是平行四边形．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，由锐角三角函数求边长，
熟练掌握各判定及性质定理是解题的关键：
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（1）利用四边形 是平行四边形，推出 ，再根据等腰三角形的三线合一
的性质推出 ，即可证得四边形 是矩形；
（2）根据三角函数得到 ，求出 ，再由矩形 性质求出 ．
的
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ．
21. 我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，
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当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出
乐音“ ”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为 个单位长，最短弦为 个单位长，
求中间弦的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为 ，列式求解即可，掌握分式的
运用是解题的关键．
【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为 ，
∴ ，
解得， ，
检验，当 时，原式有意义，
∴中间弦的长度为 ．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经
过点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值与一次函数 的值的差大于 ，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握图形平移的规律，解不等式是解题的关键．
（1）根据图形的平移可确定 的值，再根据待定系数法即可求解；
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（2）根据题意， ，根据不等式的性质即可求解．
【小问1详解】
解：根据图象平移可得 ，且经过点 ，
∴ ，
解得， ，
∴一次函数图象的解析式为 ；
【
小问2详解】
解：根据题意， ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
．
23. 一本图鉴中的照片由1开始连续编号，由于装订线脱落，照片散落一地．小云想利用统计学知识估计
照片总数，于是从中随机抽取20张照片，将其编号作为样本，数据整理如下：
．20张照片的编号：
4，8，15，25，34，39，41，48，68，79，85，86，89，91，102，104，110，121，144，147
b．20张照片编号的最小值、最大值、平均数和中位数：
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最小 最大 平均 中位
值 值 数 数
4 147 72 m
（1）写出表中m的值；
（2）设照片总数为n，所有照片编号分别为1，2，…，n，这n个数的平均数和中位数均为 ．
①利用样本平均数估计全体平均数，可估算出照片的总数 为__________．
②利用样本中位数估计全体中位数，可估算出照片的总数 为__________，
小云发现，有一个估算结果不合理，这个不合理的结果是__________（填“ ”或“ ”）；
（3）小云想到还可使用样本数据的“平均间隔长度”进行估计．在下面的示意图中，用 表示
随机抽取的20张照片编号从小到大排序，则从0到 的平均间隔长度为 ，从 到 的平均间隔长度
为 ，直接写出此时估算出照片的总数 （结果取整数）．
【答案】（1）
（2） ， ，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查平均数，中位数的实际运用，掌握平均数的计算方法，中位数的计算方法，根据平
均数，中位数估算总体数量的方法是解题的关键．
（1）根据中位数的计算方法即可求解；
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（2）①20张照片编号的平均数为 ， 个数的平均数为 ，由此列式求解即可；②20张照片编号
的中位数为 ， 个数的中位数为 ，由此列式求解即可；根据20张照片编号的最大值为 即可
求解；
（3）根据题意可得20张照片的编号中 ，从 到 的平均间隔长度为 ，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：20张照片的编号是第10，11张照片的编号的平均数，
∴ ，
∴m的值为 ；
【小问2详解】
解：①20张照片编号的平均数为 ， 个数的平均数为 ，
∴ ，
解得， ；
②20张照片编号的中位数为 ， 个数的中位数为 ，
∴ ，
解得， ；
∵20张照片编号的最大值为 ，且 ，
∴不合理的结果是 ，
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故答案为： ， ， ；
【小问3详解】
解：从0到 的平均间隔长度为 ，从 到 的平均间隔长度为 ，
根据题意，20张照片的编号中 ，
∴ ，
解得， ，
∴估算出照片的总数 ．
24. 如图， 是 外一点， 分别切 于点 ， 与 交于点 ， ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）过点 作 的平行线，与 的另一个交点为 ，连接 ．若 ，求 的半径和
的值．
【答案】（1）证明过程见详解
（2） 的半径为 ，
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据 可得 ，根据切线的性质，切线长定理
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即可求得 ，由此即可求解；
（2）作 ，根据等边三角形的判和性质可得 是直径，可得 是直角三角形，根据垂径定
理，含 角的直角三角形的性质可得半径，根据解直角三角形的方法即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，则 ，且 ，
∴ 是等边三角形；
【小问2详解】
解：如图所示，延长 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
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由（1）可知， ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴点 三点共线，即点 与点 重合，
∴ 是 的直径，
∴ 是直角三角形，
∵ 是等边三角形， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 中， ，
∴ ， ，
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∴ ，即 的半径为 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
综上所述， 的半径为 ， ．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定和性质，
垂径定理，含 角的直角三角形的性质，解直角三角形的计算方法等知识是解题的关键．
25. 生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生
物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组
不同的菌剂添加量，分别为 ， ， ， ， ， ，每隔 测定一次水解率，部分实验
结果如下：
．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解 时，测得的实验数据如下图所示：
为提高这类生活垃圾在水解 时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________
；
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．当菌剂添加量为 时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下：
时间
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
水解
率 0
通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为 时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的
关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解
时，生活垃圾水解率__________超过 （填“能”或“不能”）．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
的
（1）直接写出 值；
（2）当菌剂添加量为 时，生活垃圾水解率达到 所需的时间为 小时，当菌剂添加量为 时，
生活垃圾水解 小时的水解率__________ （填“大于”“小于”或“等于”）．
【答案】 ， 作图见详解，不能，（1） ，（2）等于
【解析】
【分析】本题主要考查表格信息与函数图象的关系，理解表格信息，掌握函数图象的绘制方法，根据函数
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图象获取信息是解题的关键．
（1） ，根据水解率的表格即可求解； ，根据表格信息描点即可，结合图象分析即可；
（2）根据表格信息可得，时间为 时，水解率为 ，由此即可求解；
（3）根据菌剂添加量为 时，生活垃圾水解率达到 可得时间，结合表格信息即可求解．
【详解】解： ：根据水解率的大小可得，菌剂添加量为 时最佳，
故答案为： ；
：根据表格信息，描点，作函数图像得，
时间的变化情况为：每次增加量为 小时；水解率的变化情况： ， ，
， ， ， ， ，
， ，
∴随着时间的增加，水解率的增加量逐渐减小，
∴当水解时间为 时，生活垃圾水解率不能超过 ，
故答案为：不能；
（1）根据表格信息可知，时间为 时，水解率为 ，
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∴ ，即 ；
（2）当菌剂添加量为 时，生活垃圾水解率达到 所需的时间为 小时，
∴ ，
∴当菌剂添加量为 时，水解 小时的水解率为 ，即等于 ，
故答案为：等于．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为 ，点 ，
， 在抛物线上．
（1）当 时，直接写出m与n的大小关系；
（2）若对于 ，都有 ，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键．
（1）由 ，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当
时，对称轴为 ， ， ，由 ，可得 ；
（2）分当 ， 两种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于
的不等式，然后求出满足要求的解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
当 时，对称轴为 ， ， ，
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∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：当 时，如图1，
∴ 在 上， 在 上， 在 上，
∵对于 ，都有 ，
∴ 且 ，此时无解；
当 时，如图2，
∴ 在 上， 在 上，
当 在 上时，
∵对于 ，都有 ，
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∴ 且 ，
解得， ；
当 在 上时，
∵对于 ，都有 ，
∴ 且 ，
解得， ；
综上所述，t的取值范围为 或 ．
27. 在 中， ， ，点D在边 上（不与点A，C重合），连接 ，平移线段
，使点B移到点C，得到线段 ，连接 ．
（1）在图1中补全图形，若 ，求证： 与 互余；
（2）连接 ，若 平分 ，用等式表示 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见详解，证明见详解
（2） ，证明见详解
【解析】
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【分析】（1）根据题意补全图形，设 ，则 ，由三角形三角和定理以及等边
对等角可得出 ，由平移可知， ， ，即可得出四边形
为平行四边形，由平行四边形的性质可得出 ， ，即
可证明 ．
（2）先连接 ，再连接 ，交 于点O，延长 至F，使 ，连接 ，由(1)可得，四
边形 为平行四边形，则 ，再证明 ，根据全等的性质可得出 ，
，由角平分线的定义可得出 ，等量代换得到
，根据等角对等边得出 ，根据三角三角形三线合一的性质即可得出 ，
即可证明四边形 为菱形，由菱形的性质可得出 ，即可得出 ，由三角形
内角和定理得出 ， ，即可得出 ，等
量代换即可得出 ．
【小问1详解】
解：补全图形，如图1，
设 ，则 ，
∵ ，
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∴ ，
由平移可知， ， ．
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 互余．
【小问2详解】
与 之间的数量关系为 ．
连接 ，交 于点O，延长 至F，使 ，连接 ，如图2，
由(1)可得，四边形 为平行四边形，则 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ 平分 ，
∴ ，．
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形
∴ ，
∴ ，
在 中，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定以及性质，菱形的判定以及性质，全等三角形的
判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握这些定理以及性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为 ， 是 的一条弦，以 为边作平行四边形 ．
对于平行四边形 和弦 ，给出如下定义：若边 所在直线是 的切线，则称四边形
是弦 的“弦切四边形”．
（1）若点 ， ，四边形 是弦 的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”
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，并直接写出点 的坐标；
（2）若弦 的“弦切四边形”为正方形，求 的长；
（3）已知图形 和图形 是弦 的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形 与 不重合．
， 分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记 的长为 ，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）因为四边形 是弦 的“弦切四边形”故 是 的切线，因为 ，四边
形 是平行四边形，故线段 是在直线 上，且垂直于 轴，根据平行四边形的性质可得
，所以 垂直 轴，因为 是 的一条弦， 在 上， ，由图象可得 点坐
标为 ，所以 ，因为 ， ， ，所以由图象可得点 的坐标为
．
（2）当弦 的“弦切四边形”为正方形时，则以 为边作出的四边形 为正方形，可得线段
与 相切，交点为点 ，连接 并延长交 于点G，故可得出正方形 ，因为线段
与 相切，交点为点 ， 为 的圆心，所以 ，因为 ，所以 ，
，四边形 为矩形，设 为 ，因为 ，所以
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，又因为 ， ，所以点 是AB的中点，即
，故在 中， ，带入数值为
，解得： 或 （舍），所以 ．
（3）分情况讨论：①由题意可得，圆上任意点 （与 轴 轴交点除外），关于 轴的对称点B，作菱形
与 ，分别为菱形 和菱形 ，且 和 与圆相切于点 ， ， 分别为两个“弦切
四边形”对角线的交点，连接 交 轴于点 ，连接 ，交 轴于点 ，连接 ，故 是直
角三角形，设 ，因为 ，所以 ，因为 ， ， 和 分别是
和 的中点，所以 ， ， ，所以 ，因为
， 和 分别是 和 的中点，所以 ，因为 ， ，
所以 ，故在 中， ，带入数值为
，故当 时， ，因
为 ，所以 ，即 ，因为 ，
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所以 ．②当点 在圆上与 轴 轴交点上时，关于 轴的对称点B，作菱形 和菱形
， ， 分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时 的长为圆的直径，即 ，
即 ．同理可得作菱形 和菱形 ， ， 分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，
此时 的长为圆的直径，即 ，即 ．综上所述， 的取值范围为 或 ．
【小问1详解】
解：∵四边形 是弦 的“弦切四边形”
∴ 是 的切线，
∵ ，四边形 是平行四边形，
故线段 是在直线 上，且垂直于 轴，
根据平行四边形的性质可得 ，
∴ 垂直 轴，
∵ 是 的一条弦， 在 上， ，
由图象可得 点坐标为 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴由图象可得点 的坐标为 ．
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．
【小问2详解】
当弦 的“弦切四边形”为正方形时，则以 为边作出的四边形 为正方形，可得线段 与
相切，交点为点 ，连接 并延长交 于点G，故可得出正方形 ，如下图所示：
∵线段 与 相切，交点为点 ， 为 的圆心，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴四边形 为矩形，
设 为 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴点 是AB的中点，即 ，
故在 中， ，
带入数值为 ，
解得： 或 （舍），
∴ ．
【小问3详解】
①由题意可得，圆上任意点 （与 轴 轴交点除外），关于 轴的对称点B，作菱形 与 ，分别为
菱形 和菱形 ，且 和 与圆相切于点 ， ， 分别为两个“弦切四边形”对角线
的交点，连接 交 轴于点 ，连接 ，交 轴于点 ，连接 ，故 是直角三角形，如图
所示：
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设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， 和 分别是 和 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， 和 分别是 和 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故在 中， ，
带入数值为 ，
故当 时， ，
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∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
②当点 在圆上与 轴 轴交点上时：如图所示，关于 轴的对称点B，作菱形 和菱形 ，
， 分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时 的长为圆的直径，即 ，即 ．
同理可得作菱形 和菱形 ， ， 分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时
的长为圆的直径，即 ，即 ．
同理可得作菱形 和菱形 ， , 分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时
,即 .
同理可得作菱形 和菱形 ， , 分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时
,即 .
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综上所述， 取值范围为 或 ．
的
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、正方形的性质、勾股定理解三角形、平面直角坐标
系、矩形的性质，二次函数的实际应用、切线的性质定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
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