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初三数学课后服务（15）
一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用 时，求函数值进行一一检验是否为0即可．
【详解】A.当 时， ， 图象过点 ，选项A不合题意；
B.当 时， ， 图象过点 ，选项B合题意；
C.当 时， ， 图象过点 ，选项C不合题意；
D.当 时， 无意义，选项D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数
解析式是解题关键．
2. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，
是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 如图，点A、B、C在 上， 为等边三角形，则 的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
【答案】D
【解析】
【分析】由 为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解.
【详解】∵ 为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ = ∠AOB = 60°=30°.
×
故选D.
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.
4. 在 ABC中， ，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关
△
系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
【答案】B
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得 ，根据三角形切线的判定即可判断 是
的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系
【详解】解：连接 ,
，点O为AB中点．
CO为⊙C的半径，
是 的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
5. 如图， 是正方形 的外接圆，若 的半径为4，则正方形 的边长为（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可
知BC=2BE，故可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴ ，
∴BC=2BE= ，即正方形ABCD的边长是 ．
故选：D
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形
是解答此题的关键．
6. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“ ”（图中虚线）的下方，
“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“ ”
上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．
【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，
位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
7. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三
栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A. A，B，C都不在 B. 只有B
C. 只有A，C D. A，B，C
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得 为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线
性质即可得．
【详解】解：如图所示：连接BD，
， ， ，
∵
，
∴为直角三角形，
∴
D为AC中点，
∵
，
∴
覆盖半径为300 ，
∵A、B、C三个点都被覆盖，
∴故选：D．
【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是
解题关键．
8. 抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有
如下四个结论：① ；② ；③ ；④若此抛物线经过点 ，则 一定
是方程 的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交
点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛
物线的对称性得出点 的对称点是 ，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，∴ ，故①正确；
∵抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，
∴抛物线 与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴ ，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴ ，即：b=-4a，
∵ ，
∴c=b-a=-5a，
∵顶点 ，
∴ ，即： ，
∴m=-9a，即： ，故③正确；
∵若此抛物线经过点 ，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴此抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ 一定是方程 的一个根，故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二
次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即
ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小．则这个函数的表达式可以是_________．(写出一
个符合题意的答案即可)【答案】y= （x＞0）
【解析】
【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系
数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
【详解】解：只要使反比例系数大于0即可．如y= （x＞0），答案不唯一．
故答案为：y= （x＞0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数y= （k≠0）的性质：①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个
象限内y随x的增大而减小；②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
10. 关于 的一元二次方程 有一个根为1，则 的值为________．
【答案】-5
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根是1，
∴12+m+4=0，
解得：m=-5．
故答案是：-5．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．
11. 点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为： __________ （填“>”，
“=”或“<”）．
【答案】<
【解析】
【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解．
【详解】解：由 可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，∵ ，
∴点A离y轴的距离小于B离y轴的距离,
∴ ，
为
故答案 ：<．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及比较函数值大小的方法．
12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ，点 ．将线段BA绕点B旋转180°得到线段
BC，则点C的坐标为__________．
【答案】（2，2）
【解析】
【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性
质求得OD和CD即可求解．
【详解】解：∵点 ，点 ，
∴OA=2，OB=1，
由旋转性质得：AB=BC，即点B是A、C的中点，
过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，
∴△AOB∽△ADC，
∴ ，
∴OD=2，CD=2，
∴点C坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的
判定与性质是解答的关键．
13. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．
据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平
均增长率为x，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为 人，则5月份的人数为 ，根据5月份的参
观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可．
【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．
14. 如图所示，边长为1的正方形网格中， ， ， ， ， 是网格线交点，若 与 所在圆的圆
心都为点 ，那么阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】【分析】根据勾股定理分别求出 、 ，根据勾股定理的逆定理得到 ，根据弧长公式计
算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得， ，
则 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ， ，
阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键．
15. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数m
“正面向上”的次数
n
“正面向上”的频率
下面有3个推断：
①当抛掷次数是 时，“正面向上”的频率是 ，所以“正面向上”的概率是 ；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正
面向上”的概率是 ；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为 时，出现“正面向上”的次数不一定是
次．
其中所有合理推断的序号是______．
【答案】②③
【解析】
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断即可得到答案．
【详解】解：当抛掷次数是 时，“正面向上”的频率是 ，所以“正面向上”的概率不一定是
，故①错误；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面
向上”的概率是 ，故②正确；
若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为 时，出现“正面向上”的次数不一定是 次，
故③正确；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率．
16. 如图，在 中， ， 是 内的一个动点，满足 ．若
， ，则 长的最小值为_______．【答案】2
【解析】
【分析】取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，
作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于 ，则 长的最小值即为 ，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，取AC中点O，
∵ ，即 ，
∴∠ADC=90°，
∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，
作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于 ，则 长的最小值即为 ，
∵ ， ，∠ACB=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确
定点D的运动轨迹．三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24－26题，
每题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】把方程化成x2=a的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.
【详解】
∴原方程的解为
【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次
项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出
方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．
18. 问题：如图， 是 的直径，点C在 内，请仅用无刻度的直尺，作出 中 边上的高．
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长 交 于点D，延长 交 于点E；
②分别连接 ， 并延长相交于点F；
③连接 并延长交 于点H．
所以线段 即为 中 边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；
（2）完成下面的证明．
证明： 是 的直径，点D，E在 上，
______ ．（____________）（填推理的依据）
， ．
，______是 ABC的两条高线．
， 所在直△线交于点F，
直线 也是 的高所在直线．
是 中 边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）90，直径所对的圆周角是直角，
【解析】
【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理可知 ，进而可得 ， 是 的两条高线，再根据三
角形的三条高线所在直线交于一点即可证明．
【小问1详解】
解：补全后图形如下所示：
．
【小问2详解】证明： 是 的直径，点D，E在 上，
．（直径所对的圆周角是直角）
， ．
， 是 的两条高线．
， 所在直线交于点F，
直线 也是 的高所在直线．
的
是 中 边上 高．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角， ．
【点睛】本题考查圆周角定理以及三角形高线的特点，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，以及
三角形的三条高线所在直线交于一点．
19. 如图， 是⊙O的直径， 是⊙O的一条弦，且 于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求⊙O的半径．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案；
（2）连接 ，根据垂径定理得到 ，根据勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，∵ 与 都是弧 所对圆周角，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出 解方程组即可；
的
（2）先求抛物线与x轴 交点，转化求方程 的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x
轴下方，在两根之间即可．【详解】解：(1) 抛物线 经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：
，
解得 ，
所求抛物线的解析式是 ．
(2) 当y=0时， ，
因式分解得： ，
∴ ，
∴ ，
当y＜0时，函数图像在x轴下方，
∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待
定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，
连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出 ，然后连接AD，BD即可得；
（2）根据 角的直角三角形的性质和勾股定理可得 ，由旋转的性质可得 是等边三角形，
再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）根据线段旋转方法， ，如图所示即为所求；
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 线段CA绕点C逆时针旋转60°得到线段CD，
∴ 且 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 在 中，
．
【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理， 角的直角三角形的性质，等边三角形的性
质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．22. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球
都是红球的概率记为 ；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个
球，两次摸出的球都是红球的概率记为 ．
请你猜想 ， 的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
【答案】 ，验证过程见解析
【解析】
【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】活动1：
红球1 红球2 白球
红球1 （红1，红2） （红1，白）
红球2 （红2，红1） （红2，白）
白球 （白，红1） （白，红2）
∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，
∴摸出的两个球都是红球的概率记为
活动2：
红球1 红球2 白球
红球1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白）
红球2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白）
白球 （白，红1） （白，红2） （白，白）
∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，∴摸出的两个球都是红球的概率记为
∴
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重
点需要注意球放回与不放回的区别．
23. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x＝4，x＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值
1 2
范围．
【详解】（1）∵ ，
∴△= ，
∴方程总有两个实数根．
（2）∵ ，
∴ ，
解得： ， ，
∵该方程有一个根小于2，
∴ ．
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方
程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键．
24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球
距地面的高度 （单位：m）与行进的水平距离 （单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位
置 与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．
（1）图中点 表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点 的坐标为________；
（2）求篮球出手时距地面的高度．
【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；
（2）设抛物线的解析式为： ，从而求出a的值，再把x=0代入解析式，
即可求解．
【详解】（1）由题意得：点 坐标为（4.5，3.05）， 的坐标为（3，3.3），
故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；
（2）设抛物线的解析式为： ，
把点 坐标（4.5，3.05），代入 得 ，
解得： ，
∴
当x=0时， ，
答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．
【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．
25. 已知：如图，在 中， ，D是BC的中点．以BD为直径作 ，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是 的切线；
（2）若PC是 的切线， ，求PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；
（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得
，最后利用勾股定理求出PC的长．
【详解】（1）证明：∵AB ＝ AC，
D是BC的中点，
∴AD⊥BD．
又∵BD是⊙O直径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接OP.
∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，
∴BD ＝ DC＝4，
OD＝OP ＝ 2．
∴OC ＝ 6.
∵PC是⊙O的切线，O为圆心，∴ ．
在Rt△OPC中，
由勾股定理，得
OC2 ＝ OP2 + PC2
∴PC2 ＝ OC2－OP2
＝ 62－22
∴ ．
【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些
性质是解决本题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知 ，当 时，y的取值范围是 ．求a、m的值；
（3）在(2)的条件下，是否存在实数n，当 时，y的取值范围是 ．若存在，求
出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）把已知点 的坐标代入抛物线解析式中，可求得 ，即可求得抛物线的对称轴；
（2）由（1）可得函数的解析式，可求得函数的最小值，由条件可得点 到对称轴的距离小于点
到对称轴的距离，从而可确定 时的函数值范围，再结合已知的函数值范围，
可得关于a与m的方程，解方程即可求得a、m的值；
（3）由抛物线开口向上，对称轴为直线 ，分情况考虑： ； ； 三种情况讨论即可．
【小问1详解】
∵点 在抛物线 上，
，
即 ，
而 ，
即抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
，且 ，
抛物线的开口向上，函数当 时取得最小值 ；
， ，且 ，
到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
时的函数值 小于 时的函数值
，
即当 时， ，
，
，
解得： ， 或 （舍去），
即a、m的值分别为1、1；
【小问3详解】
由（2）得： ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， ；当 时， ，当 ， 时，函数值随自变量的增大而减小，
则有 ，
解得符合条件的n值为： ；
当 ，即 时，当 时，函数值随自变量的增大而增大，
则有 ，
此方程组无解；
当 时，此时函数的最小值为 ，即 ，不符合题意；
综上，满足条件的n的值为1．
【点睛】本题是二次函数的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，注意分类讨论．
27. 如图1，在 中， ， ，点D，E分别在边 ， 上， ，连接
， ， ．点F在线段 上，连接 交 于点H．
（1）①比较 与 的大小，并证明；
②若 ，求证： ；
（2）将图1中的 绕点C逆时针旋转 ，如图2．若F是 的中点，判断
是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）① ，证明见解析；②证明见解析（2） 仍成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①利用 证明 ，即可得出 ；②利用 ，
，可证 ， ，进而可得 ， ，再利
用 推出 ，即可证明 ；
（2）延长 使得 ，连接 ，证明 ，得到 ，
，再证明 ，得到 ，进一步可证明 ．
【小问1详解】
解：① ，证明如下：
在 和 中，
，
，
；
②证明： ， ，
， ，
，
，
，即 ，
．
， ， ，，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： 仍然成立，理由如下：
延长 使得 ，连接 ，
∵点F是线段 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵旋转角度为 ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，第
二问有一定难度，解题的关键是通过倍长中线构造全等三角形．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，点 在 上，点 在 内，给出如下定义：连
接 并延长交 于点 ，若 ，则称点 是点 关于 的 倍特征点．
（1）点 的坐标为 ．
①若点 的坐标为 ，则点 是点 关于 的 倍特征点；
②在 ， ， 这三个点中，点 是点 关于 的 倍特征点；
③直线 经过点 ，与 轴交于点 ， ．点 在直线 上，且点 是点 关于 的 倍特
征点，求点 的坐标；
（2）若当 取某个值时，对于函数 的图像上任意一点 ，在 上都存在点 ，使得点 是点 关于 的 倍特征点，直接写出 的最大值和最小值．
【答案】（1）① ，② ，③ 或
（2）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）①由题意知 ， ，则 ；②由勾股定理得
，假设点 是点 关于 的 倍特征点，则 ，不符合
题意，同理判断 、 即可；③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点
作 轴于点 ，根据点 、点 关于 的 倍特征点，得 ，由含 的直角三角形的性
质可得 ， 的长，当点 在 轴负半轴同理可得答案；
（2）设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 ， ，由 ，可知 越大，
的值越小，则 的值越大，得 ， 时， 的值最小，即 与 重合，
与 重合时， 的值最小，同理当点 在 点， 在 点时， 有最大值，从而解决问题．
【小问1详解】
解：① ， ，，
，
，
，
，
故答案为： ；
②假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
，不符合题意，
点 不是点 关于 的 倍特征点；
连接 并延长交 于点 ，如图所示：，
， ，
， ，
，
点 不是点 关于 的 倍特征点；
假设点 是点 关于 的 倍特征点，连接 并延长交 于点 ，如图所示：
， ，
，，
为 的中点，
，
与 轴负半轴交点坐标为 ，
在圆上，
点 是点 关于 的 倍特征点；
故答案为： ；
③当点 在 轴正半轴上时，设直线 交 于 ，连接 ，过点 作 轴于点 ，如图所示：
点 是点 关于 的 倍特征点，
，
是 的中点，
，
，
，， ，
，
，
，
当点 在 轴负半轴上时，同理可得 ，
综上： 或 ；
【小问2详解】
解：设直线 与 轴， 轴的交点分别为 ， ，过点 作 交 于 ，
交 于 ，过点 作直线 交 于 、 ，如图所示：
， ，
，
，越大， 的值越小，
的值越大，
当 的值越大， 的值越大，
， 时， 的值最小，
与 重合， 与 重合时， 的值最小，
， 是直线 与 轴， 轴的交点，令 得 ，令 得 ，
， ，
到 和到 的距离都是1，
，
，
，
，
，
，
，即 的最小值为 ；
当点 在 点， 在 点时， 有最大值，如图所示：，即 的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆背景下的新定义问题，考查圆的性质、勾股定理、两点之间距离公式、坐标与图形、
一次函数的图像与性质等知识，解题的关键是理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，综合性强、难度
较大，属于中考压轴题．
