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北京二中教育集团初二数学限时练习（十）
一、选择题
1. 下列运算正确的是（ ）
.
A 2 + = B. C. = D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算逐项分析判断即可．
【详解】A. 2 + = ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. = ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法运算，正确的计算是解题
的关键．
2. 将 ， ， 这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和平方的运算法则，分别计算出各式的值再进行比较即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
又∵ ，∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查零指数幂，负整数指数幂和平方的运算．负整数指数幂为相应的正整数指数幂的倒数；
任何非0实数的0次幂等于1．
3. 把分式 中的a、b都扩大2倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍
【答案】C
【解析】
【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不
变．
【详解】解：分式 中的 和 都扩大2倍，得
分式的值缩小2倍，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分
式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
4. 等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ）
A. 70° B. 70°或40° C. 110° D. 110°或40°
【答案】C
【解析】
【分析】题目给出了一个外角等于 ，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．
【详解】解：①当 角为顶角的外角时，顶角为 ；
②当 为底角的外角时，底角为 ，
顶角为 ，不符合题．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，解题的关键是做题时要注
意分情况进行讨论．
5. 若a－b=8,a2＋b2=82,则3ab的值为（ ）
A. 9 B. －9 C. 27 D. －27【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行变形即可求解.
【详解】∵a－b=8,a2＋b2=82,
∴（a-b）2= a2-2ab+b2=64
故2ab=64-（a2＋b2）=-18
∴ab=-9，
则3ab=-27，
故选D.
【点睛】此题主要考查完全平方公式，解题的关键是熟知公式的变形应用.
6. 将平面直角坐标系内某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘以－1，所得图形与原图形的关系是（
）
A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于原点对称 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【详解】∵某个图形各个点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1后，
∴对应各点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴对应点关于x轴对称，
∴所得图形与原图形关于x轴对称．
故答案为关于x轴对称．
【点睛】横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于x轴对称．
7. 如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为
H,沿AH和DH剪下,这样剪得的△ADH中 ( )
A. AH=DH≠AD B. AH=DH=AD C. AH=AD≠DH D. AH≠DH≠AD
【答案】B
【解析】【分析】翻折后的图形与翻折前的图形是全等图形,利用折叠的性质,正方形的性质,以及图形的对称性特点
解题．
【详解】解：由图形的对称性可知:AB=AH,CD=DH,
∵正方形ABCD,
∴AB=CD=AD,
∴AH=DH=AD．
故选B．
【点睛】本题主要考查翻折图形的性质,解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移．
8. 已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ）
A. 15°或75° B. 15° C. 75° D. 15°或30°
【答案】A
【解析】
【分析】本题中只说明是等腰三角形没有指明是锐角三角形还是钝角三角形，所以应该分两情况进行分析．
【详解】解：（1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；
（2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD= AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角
为15°．
故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解
答本题的关键．
二、填空题
9. 分式 的值为0，则 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：根据题意知， ，且分母 时，
解得， ．
即当 时，分式 的值为零．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0的条件是：（1）分子为0；
（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．
10. 一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示这个数为_____________mm．
【答案】4.3×10-5
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000043=4.3×10-5，
为
故答案 ：4.3×10-5．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11. 已知点 和点 关于 轴对称，那么 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】解： 点 和 关于 轴对称，， ，
那么 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于 轴、 轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于
轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反
数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12. 因式分解： ______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式直接进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查公式法分解因式，解题的关键会掌握完全平方公式的结构特征．
13. 用图中所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为2a+b，宽为3a+2b的矩形，需要A类卡片
______张，B类卡片______张，C类卡片_______张．
【答案】 ①. 6 ②. 7 ③. 2
【解析】
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可
作出判断．
【详解】解：长为2a+b，宽为3a+2b的矩形面积为（2a+b）（3a+2b）=6a2+7ab+2b2，
A图形面积为a2，B图形面积为ab，C图形面积为b2，
则可知需要A类卡片6张，B类卡片7张，C类卡片2张．
故本题答案为：6；7；2．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键．注意不要漏项，
漏字母，有同类项的合并同类项．14. 若 是完全平方式，则 的值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出 的值．
是
【详解】解： 一个完全平方式，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15. 如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 D，连接 ．若 ， ，则
的周长是_____________．
【答案】14
【解析】
【分析】首先利用垂直平分线的性质得出 ，然后通过等量代换求解即可．
【详解】∵ 的垂直平分线 交 于点D，
∴ ，
∵ ， ，
的
∴ 周长是 ，
故答案为：14．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
16. 等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为________．
【答案】8cm
【解析】
【分析】设腰长为2x，得出方程（2x+x）-（5+x）=3或（5+x）-（2x+x）=3，求出x后根据三角形三边关
系进行验证即可．
【详解】设腰长为2x，一腰的中线为y，
则（2x+x）-（5+x）=3或（5+x）-（2x+x）=3，
解得：x=4，x=1，
∴2x=8或2，
①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；
故答案为：8cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难度不大，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证．
三、解答题
17. 因式分解：
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式 ，然后利用完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查提取公因式，完全平方公式的运用，解题的关键在于正确的提取公因式，认真的运
用完全平方公式．
18. 计算： ．
【答案】【解析】
【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式=
=
= ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解平方差公式和完全平方公式的结构是关键．
19. 计算：
【答案】6
【解析】
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
【详解】 ，
=
= ，
.
=6
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行合并同类二次根式．
20. 计算：
【答案】2x
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到
结果．
【详解】原式＝ ，=
=x-1+x+1,
=2x.
【点睛】本题考查分式的化简，运用分式的运算法则是解本题的关键，要求学生掌握分式的运算法则.
21. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时乘以 ，化为整式方程，解方程即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，得，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
22. 甲、乙两地相距50 km，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速
度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．
【答案】自行车的速度为12km/时，汽车的速度为30km/时．
【解析】
【详解】试题分析：首先设自行车速度为x千米/时，根据题意得出汽车速度为2.5x千米/时，最后根据汽
车的时间+0.5+2=自行车的时间列出分式方程，从而求出x的值得出答案.
试题解析：设自行车速度为x千米/时，汽车速度为2.5x千米/时．
，x＝12．经检验x＝12是原方程的根．
答：自行车的速度为12km/时，汽车的速度为30km/时．
点睛：本题主要考查的就是分式方程在行程问题中的应用，属于简单题.解决这种实际问题的时候，关键
就是要能够根据题意得出等量关系，然后根据等量关系列出方程，从而进行求解.在解决分式方程应用题
的时候，我们在最后的时候千万不能忘记验根，这一步也是很多同学们容易失分的地方.23. 如图：求作一点P，使 ，并且使点P到 的两边的距离相等．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．
【详解】如图所示：P点即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．
24. 若a，b为实数， ，求 ．
【答案】4
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【详解】解：由题意可知： ， ，
解得： ，
∴ ，∴ ，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数．
25. 如图，点A、B、C在同一直线上， ABD， BCE都是等边三角形．
（1）求证：AE=CD； △ △
（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断 BMN的形状，并证明你的结论．
△
【答案】（1）证明见解析；（2） MBN是等边三角形．
【解析】 △
【分析】(1)利用SAS证明 AOC≌△BOD，则有AE＝CD；
(2)由 ABE≌△DBC，可证△ ABM≌△DBN，从而得BM＝BN，∠MBN＝60°.
【详解△】(1)证明：∵△ABD△、 BCE都是等边三角形，
∴AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝△∠CBE＝60°，
∴∠ABD＋∠DBE＝∠DBE＋∠CBE即∠ABE＝∠DBC，
∴在 ABE和 DBC中，
△ △
ABE≌△DBC(SAS)．
△∴AE＝CD．
(2)解： MBN是等边三角形，理由如下：
∵△AB△E≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC．
∵AE＝CD，M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM＝DN；
又∵AB＝DB．
∴△ABM≌△DBN．∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．
∴∠DBM＋∠DBN＝∠DBM＋∠ABM＝∠ABD＝60°．
∴△MBN是等边三角形．
