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北京一六一中学 2022—2023 学年度第二学期期中考试
初一数学试卷
一、选择题
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．
【详解】解： 的算术平方根是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．
2. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】标出字母，根据平行线的性质即可求解．
【详解】标出字母，如图∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEM，
∵∠1+90°+∠CEM=180°，
∴∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=40°，
∴∠1=90°-40°=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
3. 如果 ，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、不等式 两边都减去 ，不等号的方向不变，即 ，原式变形不成立，故此选
项不符合题意；
B、不等式 两边都减去2，不等号的方向不变，即 ，原式变形不成立，故此选项不符合题
意；
C、不等式 两边都乘以 ，不等号的方向不变，即 ，原式变形成立，故此选项符合题意；
D、不等式 两边都乘以 ，不等号的方向改变，即 ，原式变形不成立，故此选项不符合题
意．
故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，理解和掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1∶不等式的
两边都加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
4. 以下命题是真命题的是（ ）
A. 相等的两个角一定是对顶角
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质等知识对选项逐一判断即可．
【详解】A、对顶角的定义为：有公共定点，两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等，
但相等的角不一定是对顶角．故命题错误，是假命题，不符合题意．
B、根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故命题是真命题，符合题意．
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．故命题错误，是假命题，不符合题意．
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．故命题错误，是假命题，不符合题意．
故选B
【点睛】本题考查命题与定理 的相关知识，解决本题的关键是正确理解对顶角的定义，熟练应用平行
线的性质及推论．
5. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CD AB的是（ ）
①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠5=∠B ④∠DCB+∠B=180°
A. ①②③④ B. ①②③
C. ①③④ D. ①②
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法对① ② ③④每一选项的正确性进行判断即可得到解答 ．【详解】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①正确；
因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②
错误；
因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③正确；
因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
6. 已知 是正数，下列关于 的不等式组无解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式组解集的确定方法分别求出各不等式组的解集即可．
【详解】解： 是正数，即 ，
A、 的解集为： ，不符合题意；
B、 的解集为 无解，符合题意；
C、 的解集为： ，不符合题意；
D、 的解集为： ，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的求解问题，解题的关键是熟知求不等式组的解集应遵循的原则：“同大取较
大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，
不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，
木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木
条，木条剩余1尺”可知： 绳子=木条-1，据此列出方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元
一次方程组．
8. 定义一种运算： ，则不等式 的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分2x≥x+3和2x<x+3两种情况，根据新定义列出不等式组分别求解可得．
【详解】解：由新定义得 或 ，
解得x≥3或-2<x<3．
故选∶ C．
【点睛】此题考查的是新定义，一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，熟练求解一元一次不等式组是解题的关键．
二、填空题9. 图是对顶角量角器，用它测量角度的原理是___________．
【答案】对顶角相等
【解析】
【分析】由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即
可．
【详解】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．
因为对顶角相等，
所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为对顶角相等．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，正确掌握对顶角的性质是解题的关键．
10. 把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是_______．
【答案】如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那
么”后面接结论．
【详解】解：根据命题可得：“如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等．”
故答案为：如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
11. 已知 是关于x，y的方程 的一个解，那么 的值是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】把 代入方程 计算即可求出m的值．
【详解】解：把 代入方程 得：2m−6=6，
移项得：2m=6+6，
解得：m=6．故答案为：6．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握二元一
次方程的解的定义是解题关键．
12. 已知二元一次方程 ，用含x的代数式表示y，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】把x看做已知数表示出y即可．
【详解】解：二元一次方程 ，
得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数表示出y．
13. 若一个正数的平方根是 和 ，则 的值是_________．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【详解】解：根据题意得：
解得：a=-3
故答案为：-3
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题
的关键．
14. 如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，其余部分种上各种花草，
则种植花草的面积是____平方米．【答案】42
【解析】
【分析】直接利用平移方法，将三条道路平移到图形的一侧，进而求出即可．
【详解】解：
（平方米）．
的
故种植花草 面积是42平方米．
故答案为：42．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学
生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致错误．
15. 已知关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是_____．
【答案】-3≤a<-2
【解析】
【详解】解不等式组的第一个不等式得x＞a，解第二个不等式得x＜1，所以不等式组的解为a＜x＜1，由
于题中要求包含三个整数解，那么x可以取-2、-1、0.那么a的取值即可得出为-3≤a<-2
【点睛】中等难度．要求考生有一定的分析能力，此类题稍加训练即可达到举一反三的效果．
16. 为美化广场环境要建花坛，一个花坛由四季海棠 、三色堇、蔷薇三种花卉组成，这三种花卉的盆数同
时满足以下三个条件：
a．三色堇的盆数多于四季海棠的盆数；
b．四季海棠的盆数多于蔷薇的盆数；
c．蔷薇盆数的2倍多于三色堇的盆数．
①若蔷薇的盆数为4，则四季海棠盆数的最大值为________：
②一个花坛花盆数量的最小值为___________________．
【答案】 ①. 6 ②. 12
【解析】【分析】设三色堇x盆，四季海棠y盆，
①根据 都是整数，可得四季海棠盆数的最大值为6．
②设蔷薇m盆，可得 由m与2m中间至少有两个整数，可知
即当 时， 一个花坛花盆数量最小，即可求出答案．
【详解】解：设三色堇x盆，四季海棠y盆，
①根据已知得： 即
都是整数，
∴x最大值为7，y最大值为6，
∴四季海棠盆数的最大值为6．
故答案为：6．
②设蔷薇m盆，则一个花坛花盆数量是 盆，
根据题意得：
都是整数，
（m与2m中间至少有两个整数），
∴当 时，
此时 一个花坛花盆数量最小，最小值是 （盆）
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了不等式的应用类问题，解题的关键是根据题意列出不等式，并能根据实际问题求
出符合条件的解．
三、解答题
17. （1）计算： ；
（2）求等式中 的值： ．【答案】（1） ；（2） ，
【解析】
【分析】（1）先算算术平方根和立方根、绝对值化简，再根据实数的运算法则进行计算即可得到答案；
的
（2）根据平方根 定义进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2） ，
，
， ．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根、去绝对值，熟练掌握算术平方根和立方根、去绝对值法则
是解题的关键．
18. （1）解方程组： ；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） 的值为
【解析】
【分析】（1）采用加减消元法将 得， ，求出 的值，再代入 式，可求
出 的值，即可得到答案；（2）由 ， ， ，得 ，
，再 得， ，化简即可得到 的值．
【详解】解：（1）原方程组为 ，
得， ，
，
解得： ，
把 代入 ，得， ，
解得： ，
这个方程组的解为 ，
（2） ， ， ，
， ，
得， ，
，
的值为 ．
【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，绝对值的非负性，平方的非负性，熟练掌握加减
消元法解二元一次方程组，绝对值的非负性，平方的非负性，是解题的关键．
19. 解不等式 ＞x﹣1，并写出它的所有正整数解．
【答案】1，2，3
【解析】
【分析】由一元一次不等式解法知，依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到原不
等式解集，进而可得正整数解．【详解】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），
去括号，得1+2x＞3x﹣3，
移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，
合并同类项，得﹣x＞﹣4，
系数化为1，得x＜4，
则不等式的正整数解为：1，2，3．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式基本步骤是解题关键．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出其公共解集．
【详解】解：原不等式组为 ，
解不等式 ，得， ，
解不等式 ，得， ，
原不等式组的解集为： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
21. 如图，AD//BC， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， ．求证： ．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD//BC，
（理由： ）．
平分 ，
．
．
，
，
（理由： ）．
（理由： ）．
【答案】 ；两直线平行，内错角相等； ； ； ； ；同位角相等，两直线平
行；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，角平分线的意义，补全证明过程即可．
【详解】
（理由：两直线平行，内错角相等），
平分 ，
，
．
，
，
（理由：同位角相等，两直线平行）．
（理由：两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
22. 北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校
组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2 辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和
1辆大客车每次可运送学生125人．（1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？
（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请
你设计出所有的租车方案．
【答案】（1）每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生
（2）租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆
【解析】
【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车
每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人”，即可得出关于x，y的二元一
次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，
b均为正整数，即可得出各租车方案；
【小问1详解】
设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生．
根据题意，得： ．
解得： ．
答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生．
【小问2详解】
根据题意，得 ．
∴ ．
∵a，b为正整数，两种客车均租用且恰好每辆车都坐满
∴ 或 ．
答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23. 如图，点A、C在 的一边 上， 于点B， 交射线 于点D．按要求画图并猜想证明：
（1）过点C画 的垂线段 ，垂足为点E；过点E画 ，交 于点F．
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）按照题目要求正确的画图即可；
（2）根据平行线的性质与判定即可得到答案．
【小问1详解】
解： 、 如图所示：
；
【小问2详解】
证明：∵ ， （已知），
∴ （垂直定义）．
∴ （同位角相等，两条直线平行）．
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等）．
∴ （等量代换）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判断，解题的关键在于能够熟练运用相关知识．24. 阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若
，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．上面的规律，反过来也成立．课上，
通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．
参考小明发现的规律，解决问题：
（1）比较大小： ；（填“ ”，“ ”或“ ”）；
（2）已知 ，且 是正数，若 ， ，试比较 和 的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两数作差，根据 可求，也可利用不等式的基本性质1，不等式的两边同时加一个正
数，不等号的方向不变，即可得到答案；
（2）根据 ，且 ，求得 ，两式作差进而求解．
【小问1详解】
解： ，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，
，
是正数，即 ，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减和实数大小的比较，解题的关键是根据
，且 确定 的取值范围．
25. 如图，已知 ，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想 ， ， 的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；
②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
【答案】（1）∠B＋∠BED＋∠D＝360°，理由见解析
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）过点E作EF//AB，由AB//CD可得EF//CD，根据平行线的性质两直线平行、内错角相等，
最后由∠BED=∠BEF+∠DEF即可解答；
（2）①分别作∠ABE、∠CDE的角平分线BF、DF交于点F即可；②由角平分线的性质、平分线的性质可
得∠ABF+∠CDF= （∠ABE+∠CDE），进而得到∠ABE+∠CDE=2∠BFD，最后根据四边形的内角和即可解
答．
【小问1详解】
解：∠B＋∠BED＋∠D＝360°，理由如下：
过点E作 ．
∴∠B＋∠BEG＝180°．∵AB//CD，
∴EG//CD．
∴∠DEG＋∠D＝180°．
∴∠B＋∠BEG＋∠DEG＋∠D＝180°＋180°．即∠B＋∠BED＋∠D＝360°．
【小问2详解】
解：①
② ，理由如下：
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABE =2∠EBF，∠CDE =2∠EDF，
由（1）知，∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°，
∴2∠EBF＋∠BED＋2∠EDF＝360°，
∴∠BBF+∠EDF=180°- ∠BED．
∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BED+∠BFD+180°- ∠BED =360°，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线 的性质、角平分线的性质、四边形的内角和等知识点，灵活相关性质
成为解答本题的关键．
26. 将二元一次方程组的解中的所有数的全体记为 ，将不等式（组 的解集记为 ，给出定义：若中的数都在 内，则称 被 包含；若 中至少有一个数不在 内，则称 不能被 包含．如，方
程组 的解为 ，记 ， ，方程组 的解为 ，记 ， ，不等
式 的解集为 ，记 ．因为0，2都在 内，所以 被 包含；因为4不在 内，所
以 不能被 包含．
（1）将方程组 解中的所有数的全体记为 ，将不等式 的解集记为 ，请问
的
能否被 包含？说明理由；
（2）将关于 ， 的方程组 的解中的所有数的全体记为 ，将不等式组
的解集记为 ，若 不能被 包含，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 能被 包含．理由见解析
（2）实数 的取值范围是 或
【解析】
【分析】（1）解方程组求得方程组的解为 ，不等式x+1≥0的解集为x≥﹣1，2和﹣1都在D内，
即可证得C能被D包含；
（2）解关于x，y的方程组 得到它的解为 ，得到E：{a+1，a﹣l}，解不等
式组 得它的解集为1≤x＜4，根据题意得出a﹣1＜1或a+1≥4，解得a＜2或a≥3．【小问1详解】
能被 包含．理由如下：
解方程组 得到它的解为 ，
， ，
不等式 的解集为 ，
，
和 都在 内，
能被 包含；
【小问2详解】
解关于 ， 的方程组 得到它的解为 ，
， ，
解不等式组 得它的解集为 ，
，
不能被 包含，且 ，
或 ，
或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，解二元一次方程组和一元一次不等式（组），理解被包含的定义是解题关键，
属于中档题．
四、选做题（每小题5分，共10分）
27. 一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示．按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．
（1）若 ，直接写出该程序需要运行多少次才停止；
（2）若该程序只运行了3次就停止了，求 的取值范围．
【答案】（1）若 ，该程序需要运行4次才停止
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求出该程序运行1，2，3，4次的结果，由 ， ，可得出当 时，该
程序需要运行4次才停止；
（2）根据该程序只运行了3次就停止了，即可得出关于 的一元一次不等式组，解之即可得出 的取值范
围．
【小问1详解】
解：根据题意可得：
， ， ， ，
，
若 ，该程序需要运行4次才停止；
【小问2详解】
解：根据题意得：
，
解得： ，
答：若该程序只运行了3次就停止了， 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．28. 如图，点 分别在直线 上， ， ．射线 从 开始，绕点
以每秒3度的速度顺时针旋转至 后立即返回，同时，射线 从 开始，绕点 以每秒2度的速度
顺时针旋转至 停止．射线 停止运动的同时，射线 也停止运动．设旋转时间为 ．
（1）当射线 经过点 时，直接写出此时 的值；
（2）当 时，射线 与 交于点 ，过点 作 交 于点 ，求 ；
（用含 的式子表示）
（3）当 时，求 的值．
【答案】（1）此时 的值为30
（2）
（3）当 时， 的值为72
【解析】
【分析】（1）由 的速度为每秒 ， ，即可求出当射线 经过点 时，所用的时间 ；
（2）过点 作直线 ，从而可得 ，由平行线的性质可得
，从而求得 ，再由 ，可求得
；
（3） 与 的速度不相等，当 时， 与 不平行；当 时， 与 可
能平行，当 时，设 与 交于点 ，从而有 ，而 ，再由平行线的性质得 ，结合 ，从而可求得 的值．
【小问1详解】
解： 的速度为每秒 ， ，
当射线 经过点 时，所用的时间 为：
；
【小问2详解】
解：如图所示，过点 作直线 ，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解： 与 的速度不相等，
当 时， 与 不平行；
当 时， 与 可能平行，当 时，设 与 交于点 ，如图所示：，
，
，
由题意可得： ，
，
，
，
，
，
解得： ，
当 时， 的值为72．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，明确角与角之间
的关系．
