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专题 3.3 平面向量
一、单选题
1、若 ， ，则 与 的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 与 的夹角为 ，则 ，
即 .
故选：A.
2、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)向量 ，若 ，则 的
值是( )
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】B
【解析】 ，故选B.
3、已知平面向量⃗a,⃗b的夹角为60°,⃗a=(√3,1),|⃗b|=1则|⃗a+2⃗b|=( )
A．2 B．√7 C．2√7 D．2√3
【答案】D
√ 1
【解析】|⃗a+2⃗b|=√(⃗a+2⃗b) 2=√⃗a2+4⃗a∙⃗b+4⃗b2= 4+4×2×1× +4=2√3 ，故选D.
2
4、(2019年高考全国II卷理数)已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =( )
A．−3 B．−2
C．2 D．3
【答案】C
【 解 析 】 由 ， ， 得 ， 则 ，．故选C．
5、(2018年高考北京卷理数)设a，b均为单位向量，则“ ”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ，因为a，b均
为单位向量，所以 a⊥b，即“ ”是
“a⊥b”的充分必要条件.故选C.
6、设 为 所在平面内一点，若 ，则下列关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵
∴ − =3( − )；
∴ = − .
故选A.
7、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知向量 ， ， ．若
，则实数 的值为( )A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 , 选C.
8、(2019年高考全国I卷理数)已知非零向量a，b满足 ，且 b，则a与b的夹角为
( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【 解 析 】 因 为 b ， 所 以 =0 ， 所 以 ， 所 以 =
，所以a与b的夹角为 ，故选B．
9、(2020届山东省德州市高三上期末)已知向量 ， 满足 ， ， ，则
与 的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，即 ，得 ，
则 ， ， .
故选：C.10、(2020年高考全国III卷理数)已知向量a，b满足 ， ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ， .
，
因此， .
故选：D．
11、(2020届山东省潍坊市高三上期中)如图，已知 ， ， ， ，
若 ， ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】建立如图所以坐标系，根据条件不妨设 ， ， ，
则 ，所以 ，解得 ， ，
所以 ，
故选：C．
12、(2020·河南高三期末(文))如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点( 靠近点
)，过 作 的垂线，垂足为 ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
， ，所以 ，所以 .
因为 ，
所以 .
故选：D
13、(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是(
)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
的
可知 等于 模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，故选：A．
14、在 中，点 满足 ，过点 的直线与 、 所在的直线分别交于点 、 ，若
， ，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，即 ， ，
， ， ， ，
， 、 、 三点共线，则 .
，当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 ，故选：B.
15、已知向量 与 的夹角为 ，定义 为 与 的“向量积”，且 是一个向量，它的长度
，若 ， ，则 ( )
A． B．
C．6 D．
【答案】D
【解析】由题意 ，则 ， ，得 ，
由定义知 ，
故选:D.
16、(2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考)已知 ， 是以 为直径的圆 上的动点，且
，则 的最大值是( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以圆心 为原点，直径 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，
∴ ，
∴，
设 ，则 ，
即 的最大值是2.
故选：A.
17、(2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的
， ，令 .下面说法错误的是
A．若 共线，则
B．
C．对任意的
D．
【答案】B
【解析】若 与 共线，则有 ，故A正确；因为 ，而 ，所以
有 ，故选项B错误；
因为 ， ，所以选项C正
确；，所以选项D正确.
故选B．
二、多选题
18、(2020年扬州期末) 中， ， ， ，在下列命题中，是真命题的有
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 ．则 为直角三角形
C．若 ，则 为等腰三角形
D．若 ，则 为直角三角形
【答案】
【解析】： 中， ， ，
①若 ，则 是钝角， 是钝角三角形， 错误；
②若 ，则 ， 为直角三角形， 正确；
③若 ， ， ，
，取 中点 ，则 ，所以 ，即 为等腰三角形， 正确，
④若 ，则 ，即 ，即 ，
由余弦定理可得： ，即 ，即 ，即 为直角三角形，即 正确，综合
①②③④可得：真命题的有 ，
故选： ．19、(2020年南通期末)在 中， ， ，若 是直角三角形，则 的值可以是
( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】： 中， ， ，
①当 时， ，
即 ，解得 ；
②当 时， ，且 ；
即 ，解得 ；
③当 时， ，
即 ，整理得 ，解得 或 ；
综上知， 的取值为 或 或 ．
故选： ．
20、(2020届山东实验中学高三上期中)关于平面向量 ，下列说法中不正确的是( )
A．若 且 ，则 B．
C．若 ，且 ，则 D．
【答案】ACD
【解析】对于 ，若 ，因为 与任意向量平行，所以 不一定与 平行，故 错；
对于 ，向量数量积满足分配律，故 对；
对于 ，向量数量积不满足消去率，故 错；对于 ， 是以 为方向的向量， 是以 为方向的相量，故 错．
故选： ．
21、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知 是边长为2的等边三角形， ， 分别是 、
上的两点，且 ， ， 与 交于点 ，则下列说法正确的是( )
A． B．
C． D． 在 方向上的投影为
【答案】BCD
【解析】由题E为AB中点，则 ，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以， ，
设 ， ∥ ，
所以 ，解得： ，
即O是CE中点， ，所以选项B正确；，所以选项C正确；
因为 ， ，所以选项A错误；
， ，
在 方向上的投影为 ，所以选项D正确.
故选：BCD
22、(2020届山东省泰安市高三上期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E
为BC边上一点，且 ，F为AE的中点，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得，A对；
∵ ，∴ ，
∴ ，
又F为AE的中点，∴ ，B对；
∴ ，C对；
∴ ，D错；
故选：ABC．
三、填空题
23、(2020年高考全国Ⅰ卷理数)设 为单位向量，且 ，则 ______________.
【答案】
【解析】因为 为单位向量，所以
所以 ，
解得： ，
所以 ，
故答案为： .
24、(江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试)已知 ， 是夹角为 的两个单
位向量， ， ，且 则 的值为_______.【答案】
【解析】
.
解得 .
故答案为: .
25、(2020年高考全国II卷理数)已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
26、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)在 中，已知D是 边的中点，E是线段
的中点若 ，则 的值为______.
【答案】 ；【解析】由题意， ，
∵
∴ ．
故答案为： ．
27、(2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题)在 中，已知 ，若
为 中点，且 ，则 ____.
【答案】 .
【解析】
，
解得 ，
，故答案为： .
28、(江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研)在斜三角形 中， ，
是 中点， 在边 上， ， 与 交与点 .若 ，则
_____.
【答案】
【解析】如下图所示，过点 作 交 于点 ，则点 为 的中点，
， 为 的中点，所以 ， ，
， ， ，
，
所以，
，由 ，解得 .
故答案为： .
29、(2020年高考天津)如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且
，则 的最小值为_________．
【答案】(1). ；(2).
【解析】 ， ， ，
，
解得 ，
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 ，,
∵ ，∴ 的坐标为 ,
∵又∵ ,则 ，设 ，则 (其中 )，
， ，
，
所以，当 时， 取得最小值 .
故答案为： ； .
四、解答题
30、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)已知平面向量
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 与 夹角的余弦值.
【解析】因为 ，所以 ，即
解得
所以
(2) 若 ，则
所以 ，
， ，
所以
31、(江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三下学期阶段考试)在平面直角坐标系 中，设向量
.
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的最大值及取得最大值时 的值.
【解析】(1)因为
所以
因为 ,所以 .因为 ,所以
于是 或 .
(2)因为 ,所以 ,于是 .
所以当 ,即 时, 取最大值 .
32、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)在边长为2的等边 中，以O为圆心、
为半径作弧 ，点P为弧 上一动点.求 的取值范围.
【解析】设 的中点为C，则 ，
设 与 的夹角为 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
的取值范围为 .
33、(2020届江苏省七市第二次调研考试)在平面直角坐标系 中，已知向量 ，
，其中 .(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 的值.
【解析】(1)由题，向量 ， ，
则
.
(2) ， .
，
，
整理得 ，
化简得 ，即 ，
， ，
，即 .
34、在 中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量 =(cos(A—B)，sin(A—B)),向量 =(cosB，—sinB),且
(1)求sinA的值；
(2)若 求角B的大小及向量 在 方向上的投影.
【解析】(1)由 ，得 ，得 ；
又 ，所以 ；
(2)由正弦定理得 ，得 ，得 ；
由余弦定理得 ，即 ，
解得 或 (舍去)；
在 方向上的投影值为 ．
