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2022－2023 学年北京市东城区八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的
图形，即可求解．
【详解】A选项是轴对称图形，所以A选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，所以B选项不符合题意；
C选项是轴对称图形，所以C选项不符合题意；
D选项不是轴对称图形，所以D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是能够根据轴对称图形的定义判断轴对称图形．
2. 下列运算式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的运算法则即可判断．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项正确，符合题意；
C． ，故选项错误，不符合题意；D． ，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是
解题的关键．
3. 已知 ．下面是“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹．该尺规作
图的依据是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图痕迹，结合两个三角形全等
的判定定理即可确定答案．
【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作 ”的尺规作图的依据是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图“作两角相等”以及两个三角形全等的判定定理，掌握尺规作图及两个三角形
全等的判定定理是解决问题的关键．
4. 计算 ，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 正六边形的外角和为（ ）
A. 180° B. 360° C. 720° D. 1080°
【答案】B
【解析】
【分析】根据凸多边形的外角和定理求解即可．
【详解】任意凸多边形的外角和为360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是熟记基本结论．
6. 长方形的面积是 ．若一边长是 ，则另一边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据长方形的面积公式：面积 长 宽，根据题意列式求解即可得到答案．
【详解】解： 长方形的面积是 ，一边长是 ，
另一边长是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式除以单项式，读懂题意，根据长方形面积公式列式求解是解决问题的关键．
7. 如图，将一张四边形纸片 沿对角线 翻折，点 恰好落在边 的中点处．设 ， 分别为
和 的面积， 和 数量关系是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由折叠可知 ，根据中点的性质可知 的面积和 的面积相等，进
而求出 与 数量关系．
【详解】解：∵由折叠可知
∴
∵点 恰好是 的中点
∴
∵ 的面积为 ， 的面积是
∴
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中线的性质等相关知识点，找出各个三角形的面积关系是解题的
关键．
8. 若一个多边形的内角和等于 ，这个多边形的边数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边
数．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n-2）×180=1800，解得：n=12．
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n-2）×180°．
9. 生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那
么苗圃的另外两边长分别是（ ）
A. 4米，4米 B. 4米，10米
C. 7米，7米 D. 7米，7米，或4米，10米
【答案】C
【解析】
【分析】根据 米分别为底和腰进行分类讨论，综合利用三角形的三边关系分析求解即可．
【详解】解：当 米为底时，腰长为 米，另两边为7米、7米， ，符合三角形三
边关系，能组成三角形；
当 米为腰时，底边为 ，另两边为4米、10米， ，不符合三角形三边关系，故不
能组成三角形．
∴另两边为7米、7米．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关
键．
10. 在平面直角坐标系 中，长方形 的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6．若点A在第
一象限，则点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意判断点 在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．
【详解】解： 长方形 的两条对称轴是坐标轴，点 在第一象限，点 在第三象限，
长方形 的领边分别为
点 的坐标为 或
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11. 若分式 的值为0，则 的值为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】∵分式 的值为0，
∴x=0，x-1≠0，
故答案为：0．
【点睛】此题考查分式值为零的条件，解题关键在于掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）
分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12. 分解因式：2x2﹣8=_______
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
13. 如图，点 在同一条直线上， ．添加一个条件，使得 ．
不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由 得到 ，由 得到 ，根据两个三角形全等的判定定
理可知，要么找到另一组对应角，利用 判定 ；要么选择 ，利用
判定 ，从而得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况：
① ：取 ，
在 和 中，
，
；
② ：取 ，
在 和 中，
，
；③ ：取 ，
在 和 中，
，
；
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问
题的关键．
14. 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点D，点E为 的中点，
连接 ．则 的度数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到 ，然后利用 平分
交 于点D求得 的度数，利用三角形的内角和求得 的度数即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是了解等
腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．
15. 如图，在 是 的平分线， 于点E， ．则 的面
积大小为___________．
【答案】13.5
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可得D到 的距离为3即可求得 的面积．
【详解】∵ 是 的平分线，
∴D到 的距离等于 的长，
∴ ，
故答案为：13.5．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是会把已知转化到所求问题上．
16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，连接 ，在线段 ，
上作点M，使得 最小，并求点M的坐标．
在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：
方法① 方法② 方法③作点 P 关于直线 的对称点 过点 P 作 于点 C，过
过点 P 作 于点 M，则
，连接 交 于点 M， 点 Q 作 于点 D，取
点M为所求．
则点M为所求． 中点M，则点M为所求．
其中正确的方法是______（填写序号），点M的坐标是______．
【答案】 ①. ② ②.
【解析】
【分析】作点P关于直线 的对称点 ，连接 交 于点M，点M即为所求．
【详解】解：作点P关于直线 的对称点 ，连接 交 于点M，点M即为所求．
观察图形可知，方法②正确；
延长 交y轴于点C，过点P作 轴于点D，设 与 交于点E，
设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵P关于直线 的对称点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： ，
∴点E的坐标为： ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
把 代入 得： ，
∴ ．
故答案为：②； ．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
三、解答题（本题共68分，第17题4分，第18题9分，第19－25题，每小题4分，第26
题6分，第27－28题，每小题4分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值运算、负整数指数幂运算及零指数幂分别计算，再利用有理数加减运算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及绝对值运算、负整数指数幂、零指数幂等知识，熟练掌握相关计
算法则是解决问题的关键．
18. 化简：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用积的乘方运算计算，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，约分即可得到答案；
（2）根据平方差公式以及完全平方差公式展开后，利用去括号法则及合并同类项运算即可得到答案．
【小问1详解】
解：
；【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查分式化简以及整数混合运算，涉及积的乘方运算、约分、平方差公式、完全平方差公式、
去括号法则及合并同类项运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
19. 如图，已知 ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先求出 ，再利用“边角边”证明 和 全等，根据全等三角形对应边
相等证明即可．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20. 在化简分式 时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式 ……①，
•……②，
……③，
……④
……⑤
（1）甲同学从第 步开始出错（填序号）；
（2）请你写出正确的解法．
【答案】（1）② （2）
【解析】
【分析】（1）根据分式的加减计算得出结论即可；
（2）根据分式加减计算的运算法则得出结论即可．
【小问1详解】
解：由题意知，甲同学从第②步开始出错，
故答案为：②；
【小问2详解】
解：原式．
【点睛】本题主要考查分式的加减计算，熟练掌握分式的加减运算法则，是解题的关键．
21. 先化简，再求值： ，其中 从 ， ， 三个数中任取一个合适的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据分式的减法计算括号内的，然后根据分式的乘法进行计算化简，最后根据分式有意义的条件，
将 代入求值即可求解．
【详解】解：原式
．
由分式有意义，得
因此， ．
所以，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的计算是解题的关键．
22. 如图，在 ．
（1）求证： ；
（2）分别以点A，C为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点D（点D在 的左侧），连接．求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2）16
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得 ，然后利用三角形内角和定理求出
，即可解答；
（2）过点D作 ，交 的延长线于点E，根据题意可得 ，从而可得 是
等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得 ，从而利用平角定义可得 ，最
后在 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得 ，从而利用三角形的面积进行计算即
可解答.
【小问1详解】
在 中，
∵ ,
.
∴
∵ ,
∴ .
∴ ；
【小问2详解】
过点D作 的延长线于点E，由作图得， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ , ,
∴ ，
∴ 的面积 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加
适当的辅助线是解题的关键．
.
23 解分式方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程解法：去分母、解整式方程、验根、下结论等步骤求解即可得到答案．
【详解】解： ，
两边同时乘 得： ，
解得 ，
检验：当 时， ，
原分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解决问题的关键．24. 课堂上，老师提出问题：
如图1， ， 是两条马路，点A，B处是两个居民小区．现要在两条马路之间的空场处建活动中心
P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等．如何确定活动中心P的位置？
小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完整．
步骤1 分析：若要使得点P到点A，B的距离相等，则只需点P在线段 的垂直平分线上；若要使得点
P到 ， 的距离相等，则只需点P在 的平分线上．
步骤2 作图：如图2，作 的平分线 ，线段 的垂直平分线 ， 交 于点P，则点P
为所求．
步骤3 证明：如图2，连接 ， ，过点P作 于点F， 于点G．
∵ ， ，且 （填写条件），
∴ （ ）（填写理由）．
∵点P在线段 的垂直平分线 上，
∴ （ ）（填写理由）．
∴点P为所求作 的点．
【答案】点P在 的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，
到线段两端点的距离相等
【解析】
【分析】利用角平分线的性质，可得出 ，利用线段垂直平分线的性质，可得出 ，进而
可得出点P为所求作的点．
【详解】证明：如图2，连接 ， ，过点P作 于点F， 于点G．∵ ， ，且点P在 的平分线上，
∴ （ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵点P在线段 的垂直平分线 上，
∴ （ 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
∴点P为所求作的点．
故答案为：点P在 的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一
点，到线段两端点的距离相等．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线
的性质，找出点P的位置是解题的关键．
25. 在 中， ．点 在 的延长线上， 的平分线交 于点 ．
的平分线与射线 交于点 ．
（1）依题意补全图形；用尺规作图法作 的平分线；
的
（2）求 度数．
【答案】（1）作图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法即可作 的平分线；
（2）根据角平分线的定义可得 ，然后利用三角形内角和定
理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查基本尺规作图-角平分线，在熟练掌握五种基本作图的基础上按照题意进行作图，一般
是结合几何图形的性质和基本作图方法灵活求解，在第一问基础上由等腰三角形性质、角平分线定义、邻
补角定义及外角性质求解是解决问题的关键．
26. 列分式方程解应用题．当矩形（即长方形）的短边为长边的 倍时，称这个矩形为黄金矩形．黄
金矩形更具美感．下图是某位同学的书画作品，装裱前是一个长为 厘米，宽为 厘米的矩形．现要在
作品四周加上等宽的白色边衬装裱．为了使装裱后的作品接近黄金矩形，要求装裱后的矩形宽与长之比等
于 ．边衬的宽度应设置为多少厘米？（注： ）【答案】 厘米
【解析】
【分析】根据装裱后的矩形宽与长之比等于 列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设边衬的宽度为 厘米，则装裱后作品的长为 厘米，宽为 厘米
根据题意列方程，得
解得：
经检验， 是原分式方程的解,且符合实际意义．
答：边衬宽度应设置为 厘米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，解题关键是找相等关系，学
会分析题意，提高理解能力．
27. 已知：在 中， ．点 与点 关于直线 对称，连接 交直线
于点 ．
（1）当 时，如图1．用等式表示， 与 的数量关系是： ， 与 的数量关
系是： ；（2）当 是锐角( )时，如图2；当 是钝角时，如图3．在图2，图3中任选一
种情况，
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）① ；见解析；② ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质，得出 ， ，根据含30
度角的直角三角形的性质，得出 ， ，进而得出 ；
（2）在图2，图3中任选一种情况，补全图形，根据等腰三角形的性质，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解： ，点 与点 关于直线 对称，
， ， ，
则
， ，
， ，
∴ ．
故答案为： ； ．
【小问2详解】
选择图2时．
①补全图形如图2，图2
②数量关系： ．
证明：在 上取点 ，使 ，连接 ．
点 与点 关于直线 对称，
， ．
， ．．
， ．
，
．
，
．
．
．
，
．选择图3时．
①补全图形如图3，
图3-
②数量关系： ．
证明：在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ．
点 与点 关于直线 对称，
， ．
， ．
， ．
，
．
，．
，
．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的
关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点P和正方形 ，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点
到正方形 的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形 的“k倍距离点”．
已知：点A（a，0），B（a，a）．
（1）当 时，
①点C的坐标是 ；
②在 三个点中， 是正方形 的“3倍距离点”；
（2）当 时，点 （其中 ）是正方形 的“2倍距离点”，求n的取值范围；（3）点 ．当 时，线段 上存在正方形 的“2倍距离点”，直接写
出a的取值范围．
【答案】（1）①（0，4）；② ，
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）①当 时，可得点 A（4，0），B（4，4）．根据四边形 是正方形，可得
，所以点C的坐标是（0，4）；
②根据点 关于y轴的对称点坐标为（1，1），而点（1，1）到正方形 的边所在直线
的最大距离是 ，到 的最小距离为1，可得点 是正方形 的“3倍距离点”，同理即可
解决问题；
（2）当 时，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），结合（1）即可解决问题；
（3）根据点 关于y轴的对称点坐标为 ，得直线 的解析式为
，设线段 上一点P（m，m），则 ，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在
正方形外时，进而可以解决问题．
【小问1详解】
解：①当 时，如图1，点A（4，0），B（4，4）．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
点C的坐标是（0，4），
故答案为：（0，4）；②∵点 关于y轴的对称点坐标为（1，1），
而点（1，1）到正方形 的边所在直线 的最大距离是 ，到 的最小距离为1，
∴点 是正方形 的“3倍距离点”；
同理可得点 是正方形 的“1倍距离点”；
同理可得点 是正方形OABC的“3倍距离点”；
∴ 是正方形 的“3倍距离点”，
故答案为： ；
【小问2详解】
当 时，如图2，点A（6，0），B（6，6），C（0，6），∵点 关于y轴的对称点坐标为（2，n）， ，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
当 时， 到 的距离 倍的 到 的距离，
∴ ，
∴ ，
综上所述：点 （其中 ）是正方形 的“2倍距离点”时，n的取值范围是 或
；
【小问3详解】
解：∵点 关于y轴的对称点坐标为 ，设直线 的解析式为
，
代入 得，
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设线段 上一点P（m，m），
则 ，
当P在正方形内时，
① ，∴ ，
∴ （舍去）；
② ，
∴ ，
∴ ；
当P在正方形外时，
，
∴ ，
∴ ；
此时不存在 的情况，
∴线段 上存在正方形 的“2倍距离点”，a的取值范围是 或 ．
【点睛】本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．
