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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
东城区 2024 年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分．下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 已知点P的坐标是（5，－2），则点P在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点坐标的特点判断即可得到答案．
【详解】解：∵点P的坐标是（5，－2），
∴点P在第四象限．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了直角坐标系的各象限内点坐标的特点：第一象限（＋，＋），第二象限（－，
＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－）．熟记直角坐标系的各象限内点坐标的特点是解题的关
键．
2. 在−2，0，2，− 这组数中，最小的数是（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，
比较即可．
【详解】解：∵ ，
∴-2＜- ＜0＜2，
∴最小的数是-2．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，实数的大小比较法则是：负数都小于0，负数都小于正
数，两个负数，其绝对值大的反而小．
3. 下列调查方式，最适合全面调查的是（ ）
A. 检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准 B. 了解某班学生一分钟跳绳成绩
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C. 了解北京市中学生视力情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查和全面调查的概念，联系实际判断即可．
【详解】解：A.检测某品牌鲜奶 是否符合食品卫生标准适合抽样调查，不符合题意；
B.了解某班学生一分钟跳绳成绩适合全面调查，符合题意；
C.了解北京市中学生视力情况适合抽样调查，不符合题意；
D.调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查抽样调查和全面调查的适用情况，根据实际情况，难以做到全面调查的和具有破坏
性的都不适合全面调查，明确哪些情况选用全面调查的方式是解题的关键．
4. 对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去 可以得到（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
5. 已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本考查实数与数轴，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，得到 ，再根
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据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：由图可知： ，
∴ ， ， ， ；
故只有选项C成立；
故选C．
6. 不等式组 的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的
关键．分别计算出两个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．最后用数轴表示不等式的解集即可，
用数轴表示不等式的解集要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界
点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【详解】解： ，
解①得： ，
解②得： ，
不等式组的解集为 ，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，
故选：B．
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7. 如图，下列条件不能判定 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关
键．
【详解】解：A、∵ ，∴ ，即 ，故选项不符合题意；
B、∵ ，∴ ，故选项不符合题意；
C、 ，不能判定 ，故选项符合题意；
D、∵ ，∴ ，故选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲 乙；②甲 乙；③甲 乙
对于这三条路线的长度，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键．将三条路线分别平移，
可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半．
【详解】解：②③的路线平移如图所示：
三条路线的长度都等于大长方形周长的一半．
故选：D．
9. 幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将 个不同
的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则 和 的值分别是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程组．根据题意列
出关于 、 的二元一次方程组即可求解．
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【详解】解：根据题意可得： ，
解得： ，
故选：C．
10. 某图书商场今年1—5月份的销售总额一共是 万元，图1、图2分别是商场图书销售总额统计图和
文学类图书销售额占商场当月销售总额的百分比统计图．根据图中信息，下列判断中正确的是（ ）
①商场4月份销售总额为 万元；
②对比上一个月，4月份文学类图书销售额下降幅度最大；
③2月份和5月份文学类图书销售总额相同；
④文学类图书在5月份的销售额比4月份的销售额增加了．
A. ①③ B. ①②③ C. ②④ D. ①④
【答案】D
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【解析】
【分析】本题考查了条形统计图及折线统计图，解题的关键是正确的从这两种图象中整理出有关的信息，
根据条形统计图和折线统计图逐一判断即可．
【详解】解：①商场4月份销售总额为： （万元），故①正确；
②比上一个月，4月份文学类图书销售额上升了，故②错误；
③2月份文学类图书销售总额： （万元），
5月份文学类图书销售总额： （万元），
2月份和5月份文学类图书销售总额不相同，故③错误；
④5月份文学类图书销售总额为 万元，4月份的文学类图书销售额为 （万元）， ，
故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
11. 语句“a的三分之一与b的和是非负数”可以列不等式表示为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列不等式，根据非负数大于等于0列式即可．
【详解】解：a的三分之一与b的和表示为： ，非负数大于等于0，
因此“a的三分之一与b的和是非负数”可以列不等式表示为 ，
故答案为： ．
12. 关于 的一元一次方程 的解为 ，则 的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，把 代入 ，得出关于m
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的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：把 代入 ，
得： ，
解得： ，
故答案为：3．
13. 点P（m﹣1，m+3）在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用在x轴上的点坐标特征解答即可．
【详解】解：由题意，得：m+3＝0，解得m＝﹣3，
∴m﹣1＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）．
故答案为（﹣4，0）．
【点睛】本题考查了x轴上点的坐标特征，掌握在x轴上的点纵坐标为0的特征是解答本题的关键．
14. 将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内， ，则 的度数为______．
【答案】 ##70度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．根据题意知，
， ，得到 ，再根据平行线的性质得到 ，即可
求解．
【详解】解：根据题意知， ， ，
，
，
，
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，
，
，
故答案为： ．
15. 如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆， 是半圆上的中点，半圆直径的一个端点
位于原点 ．该半圆沿数轴从原点 开始向右无滑动滚动，当点 第一次落在数轴上时，此时点 表示
的数为____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先计算A向由运动的路程为直径加上圆的 的长，从而可得答案.
【详解】解：如图，
由半圆的直径为4，
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所以圆的 的长为：
所以A向右移动了 个单位长度，
所以点A表示的数为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用数轴表示数，理解A的运动路程是解本题的关键.
16. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手 与底座 都平行于地面，靠背 与支架 平行，
前支架 与后支架 分别与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，当 ，
时，人躺着最舒服，此时扶手 与靠背 的夹角 ________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得
，得到 ，由 ，可得 ，再根据三角形
的外角性质即可求解．
【详解】解：根据题意可得 ，
，
，
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，
，
故答案为： ．
17. 为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已知篮球价格为 元/个，足
球价格为 元/个．若学校计划用不超过 元的总费用购买这款篮球和足球共 个，且购买篮球的数
量多于购买足球的数量，则学校购买篮球________个．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系．设学校购买篮球 个，购买足球 个，根据“学校计划用不超过 元的
总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球的数量”列出不等式组，求解即可．
【详解】解：设学校购买篮球 个，购买足球 个，
根据题意得： ，
解得： ，
是整数，
，
故答案为： ．
18. 对于整式： 、 、 、 ，在每个式子前添加“ ”或“ ”号，先求和再求和的绝对
值 ， 称 这 种 操 作 为 “ 全 绝 对 ” 操 作 ， 并 将 绝 对 值 化 简 的 结 果 记 为 ． 例 如 ：
，当 时， ；当 时， ．
（1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 _______；
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（2）若一种“全绝对”操作的化简结果为 （ 为常数），则 的取值范围是_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，弄清定义，读懂题目按照规律列举
出所有可能结果是解题的关键．（1）根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数即可
求解；（2） ，凑“全绝对”操作后得到 或 ，去掉绝对值变成 的形式
求得 的取值范围．
【详解】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使 的系数为 ，
有 ，
此常数为 ，
故答案为： ；
（2） （ 为常数），
，
，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
的取值范围是 ，
故答案为： ．
三、解答题（本题共54分，第19-20每题4分，第21-24题每小题5分，第25-26题每小题6
分，第27-28题每小题7分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，化简绝对值，立方根．熟练掌握算术平方根，化简绝对值，立方根是解
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题的关键．
先分别求算术平方根，化简绝对值，立方根，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组 的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解．利用代入消元法求解
即可．
详解】解： ，
【
由①得： ③，
将③代入②得：
，
，
，
解得： ，
把 代入③，得 ，
原方程组的解为： ．
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21. 解不等式组 并写出它的整数解．
【答案】不等式组的解集为 ，整数解为： ， ， ， ，
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，分别解不等式，求解集的公共部分，再找出整数解即可．
【详解】解： ，
解不等式①：
，
，
，
，
解不等式②：
，
，
，
，
，
不等式组的解集为 ，
不等式组的整数解为： ， ， ， ， ．
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22. 如图，直线 与直线 相交于点 ， 是平面内一点，请根据下列语句画图并解答问题：
（1）过点 画 交 于点 ；
（2）过点 画 的垂线，垂足为点 ；
（3）比较线段 与 的长短_________（用“ ”连接），并说明依据________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，两点之间垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图、垂线、垂线段最短、平行线的性质．
（1）根据平行线的画法作图即可；
（2）利用直角三角板一条直角边与 重合，沿 平移，直到另一直角边过点 ，画出垂线即可；
（3）根据垂线段最短即可判断．
【小问1详解】
解：如图，即 为所求；
【小问2详解】
如图， 即为所求；
【小问3详解】
，依据：两点之间垂线段最短，
故答案为： ，两点之间垂线段最短．
23. 如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射
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时，有 ， ，请解释进入潜望镜的光线 为什么和离开潜望镜的光线 是平行的?请把下
列解题过程补充完整．
理由：
，（已知）
______．（______）
， ，（已知）
．（等量代换）
， ．（平角定义）
_______．
_______．（________）
【答案】 ；两直线平行，内错角相等； ； ，内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平角的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．先根据
平行线的性质得到 ，进而得到 ，再结合平角的定义得到 ，即可求
解．
【详解】解： ，（已知）
，（两直线平行，内错角相等）
， ，（已知）
．（等量代换）
， ．（平角定义）
．
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，（内错角相等，两直线平行）．
故答案为： ；两直线平行，内错角相等； ； ，内错角相等，两直线平行．
24. 一个数值转换器如图所示：
（1）满足输入条件的x的取值范围是_________；
（2）输出y的最小值是_________；
（3）若 ，求满足题意的x值．
【答案】（1） ，且x为整数
（2）
（3）22、23
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式，解决本题的关键是熟记算术平方根．
（1）根据算术平方根的非负性求解即可；
（2）根据题意得到 求出 ，得到当 时，y有最小值，然后代数求解即可；
（3）根据题意得到 ，然后求解即可．
【小问1详解】
∵
∴ ，且x为整数；
【小问2详解】
∴
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∴
∵ ，且x为整数；
∴当 时，y有最小值
∴
∴输出y的最小值是 ；
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∵x为整数
∴ ，23．
25. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角
形）的顶点B，C的坐标分别是 ， ．
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（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
（2）把 先向右平移4个单位，再向下平移2个单位得到 ，请在图中画出 ，并写
出 ， ， 的坐标；
（3）y轴上是否存在点P，使 的面积是 的面积的2倍，若存在求出点P的坐标；若不存在
说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）画图见解析； ， ，
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）依据点B，C坐标分别为（−1，1），（0，3）即可得到原点的位置，进而得出直角坐标系；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到 ；
（3）y轴上是否存在点P，依据 PBC的面积等于 ABC的面积的2倍，即可得到点P的纵坐标的值．
【小问1详解】 △ △
解：建坐标系如图所示：
【小问2详解】
解：画出 如图所示.
， ，
【小问3详解】
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解：∵
∴
∴
∵
∴ 或 ．
【点睛】本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质．作图
时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点
即可得到平移后的图形．
26. 年 月 日是第三十二届“世界水日”，3月22日至28日是第三十七届“中国水周”．某学校
积极响应“世界水日·中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．
七年级某班同学为了解某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整
理．
月 均 用 水 量
频 数
频率
（户）
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请解答以下问题：
的
（1）这里采用 调查方式是__________（填“普查”或“抽样调查”），样本容量是__________；
（2）填空： _________， _________，并把频数分布直方图补充完整；
（3）若将抽取的部分家庭月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“ ”所对应的扇
形的圆心角的度数是__________；
（4）若该小区有 户家庭，求该小区月均用水量超过 的家庭大约有多少户?
【答案】（1）抽样调查，
（2） ，
（3）
（4） 户
【解析】
【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，利用统计图获取信息是解题的关键．
（1）由调查了小区部分家庭可知是抽样调查，根据 中频数为 ，频率为 ，即可求出样本容
量；
（2）用样本容量 月均用水量在 的频率 即可得 ，用频数 除以样本容量即可得 ，根据
的值以及频数 补全统计图即可；
（3）用 乘以 即可得；
（4）根据样本数据中超过 的家庭的频率乘以 ，即可求解．
【小问1详解】
解：采用的调查方式是抽样调查，
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样本容量是： ，
故答案为：抽样调查， ；
【小问2详解】
，
，
故答案为： ， ；
【小问3详解】
月均用水量“ ”所对应的扇形的圆心角的度数是： ，
故答案为： ；
【小问4详解】
该小区月均用水量超过 的家庭大约： （户）．
27. 已知射线 平分 ，点C为 上任意一点，过点C作直线 交射线 于点D．
（1）如图1，若 ，则 _________°；
（2）点E是射线 上一动点（不与点C，D重合）， 平分 交 于点F，过点F作
交 于点G．
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①如图2，若 ，当 时，求 的度数；
②当点E在运动过程中，设 ， ，直接写出 和 之间的数量关系．
【答案】（1）60 （2）① ；② 或
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，也考查了角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解；
（2）①由三角形内角和定理可得 ，由平行线的性质和角平分线的定义可得 ，
，根据 即可求解；②分为点 在线段 上和点 在 下方
两种情况讨论，结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
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∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②如图，点 在线段 上，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
，
∴ ，
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如图，点 在 下方，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
，
即 ．
28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，对点P进行如下操作：将点 P向右
或向左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点
，点 横坐标不变，纵坐标变为其相反数得到点 ，称点 为点P的“ 倍对应点”．若图形W
上存在一点Q，且点Q的“ 倍对应点” 恰好也在图形W上，则称图形W为“ 倍对应图
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形”．已知点 ， ．
（1）点A的“ 倍对应点”的坐标为_________，若点C的“ 倍对应点”为B，则点C的坐标为
_________；
（2）若点 （其中b为非零整数）与线段 组成的图形记为图形W，图形W是“ 倍对应
图形”，直接写出点D的坐标．
（3）已知点 ， ， ， ，顺次连接EFGH得到一个长方形 ，
若长方形 的边上存在点 的“ 倍对应点”，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） ， 或
（3）
【解析】
【分析】本题考查新定义，坐标与图形，平移的坐标变换，正确理解“ 倍距点”和“ 倍距图形”是解
题的关键．
（1）若点C的“ 倍对应点”为 ，则点C平移后的点 ，设点C坐标为 ，根
据题意，得 ， ，求解即可；
（2）若点 “ 倍对应点”在线段 上，若线段 上一点 的“ 倍距点”为点
，分别求解即可；
（3）分四种情况：当 在线段 上时，当 在线段 上时，当
在线段 上时，当 在线段 上时，分别求解．
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【小问1详解】
解：由题意知，将 点先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点 ，
∴ 点的“ 倍对应点”的坐标为 ，
∵若点C的“ 倍对应点”为 ，
∴点C平移后的点 ，
设点C坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴C坐标为 ．
故答案为： ； ．
【小问2详解】
解：∵点 ，点 ，
∴ 轴，
∴直线 的解析式为 ， ，
若点 “ 倍对应点”在线段 上，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵b为非零整数
∴ ，
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∴ ；
若线段 上一点 的“ 倍距点”为点 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵b为非零整数
∴ 或3，
∴ 或 ．
综上，点D的坐标为 ， 或 ．
【
小问3详解】
解：点 ， ， ， ，
又∵长方形EFGH的边上存在点 的“ 倍对应点”
∴ ，
∴当 在线段 上时，
则 ，解得：无解；
当 在线段 上时，
，解得： ，
当 在线段 上时，
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，解得： ，
当 在线段 上时，
，解得： ，
综上，若长方形EFGH的边上存在点 的“ 倍对应点”， 的取值范围为 ．
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