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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
东城区 2024-2025 学年度第一学期期末统一检测
初三数学
2025.1
学校 班级 姓名 教育ID号
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题、满分100分，考试时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 下列事件为必然事件的是（ ）
A. 在平面上画一个三角形，其内角和是
的
B. 经过有交通信号灯 路口，遇到红灯
C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D. 购买1张彩票，中奖
2. 将抛物线 向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
3. 第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入
三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称
图形的是（ ）
A. 击剑 B. 田径 C. 马术 D. 赛艇
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4. 用配方法解方程 ，变形后结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图， 与 分别相切于点A，B， ， ，则 的长度为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
6. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
.
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六
条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是 的中心.若 ，
则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（ ）
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A. B. C. D.
8. 二次函数 （ ）图象上部分点的坐标满足下表：
x … 0 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线 ；
③当 时， ；
④ 是关于x的一元二次方程 （ ）的一个根．
其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是__________．
10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点 的抛物线的表达式______．
11. 某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验 1
50 100 500 1000 2000 5000
次数 0
钉尖朝上
5 15 36 200 403 801 2001
次数
估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为__________.（结果精确到 ）
12. 据国家统计局发布的《2024年国民经济和社会发展统计公报》显示，2021年和2023年全国居民人均
可支配收入分别为 万元和 万元．设2021年至2023年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为
x，依题意可列方程为___．
13. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板 按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜
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边 重合，如果点D在量角器上对应的刻度为 ，连接 ．那么 __________ ．
14. 如图，在圆内接四边形 中，对角线 ， ， ，则 __________．
在
15. 如图， 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ， ．若
点B，C，D恰好在同一条直线上，则 __________ ．
16. 古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方
式表示数字，如图所示.
据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，百万相
当．即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.
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例如，算筹 表示的四位数是6613.
（1）用3根算筹表示的两位数可以是__________（写出一个即可，算筹不剩余且个位不为0）；
（2）在用4根算筹表示的所有两位数中，随机抽取一个数，这个数大于60的概率为__________（算筹不
剩余且个位不为0）.
三、解答题（共 68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解方程： .
18. 如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是 中弦 的中点，连接 并延
长交 于点C，并且 ， ，求 的半径．
19. 已知： 为 的外接圆，D是 边上的一点，连接 ．
求作： ，使得点E在线段 上，且 ．
作法：
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①连接 ，分别作线段 ， 的垂直平分线 ， ，两直线交于点P；
②以点P为圆心， 长为半径作圆，交线段AD于点E；
③连接 ，CE．
就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ．
在
∵点A，B，C 上，
∴ （ ）（填推理的依据）．
∵点B，O，E，C在 上，
∴ ．
∴ ．
20. 已知二次函数 .
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）当 时， 的取值范围是 .
21. 如图，在平面直角坐标系 中，点A，B，C的坐标分别为 ， ，(2,1)，将 绕点P
逆时针方向旋转得到 ，点A的对应点 的坐标为 ，点B的对应点 的坐标为(−3,2)．
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（1）点P的坐标是 ；（填写正确的选项）
A. B.(0,1) C.
（2）画出旋转后的 ，并写出 的坐标是 ；
（3）线段 的延长线与线段 交于点M，直接写出 的度数.
22. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是
中国传统文化的重要组成部分.下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，
其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
（1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是 ；
（2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率.
23. 已知关于x的一元二次方程 （ ）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求代数式 的值．
24. 如图1，某隧道内设单向两车道公路，其截面由长方形的三条边 ， ， 和抛物线的一段（点
E为抛物线的顶点）构成．以 的中点O为原点，分别以直线 和抛物线的对称轴为x轴和y轴，建
立如图2所示的平面直角坐标系．其中， 米， 米， 米．
（1）求该抛物线的解析式；
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（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（视为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于1米．若行车
道的总宽度 为8米，且O为 的中点，请计算通过隧道的车辆的限制高度．（车道分界线的宽度忽
略不计）
25. 如图，在 中， ，以 边为直径作 交 于点D，连接 并延长交
的延长线于点E，点P为 的中点，连接 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为3， ，求 的长.
26. 在平面直角坐标系xOy中，点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴为直线
.
的
（1）当 时，求t 值；
（2）点 ， 在抛物线上，若 ，比较 ， 的大小，并说明理由.
27. 如图，在等边 中，D为 上一点，连接 ，E为线段 上一点（ ），将线段
绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）求证： ；
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（2）点G为 延长线上一点，连接 交 于点M．若M为 的中点，用等式表示线段
之间的数量关系，并证明.
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于 的弦 和不在直线 上的点C，给出如下定
义：若 ，且点C关于弦 的中点M的对称点在 上或其内部，则称点C为弦 的“
关联点”.
（1）已知点 ， .
①在点 ， ， 中，点 是弦 的关联点，其中 °；
②若直线 上存在 的“ 关联点”，则b的取值范围是 ；
（2）若点C是 的“ 关联点”，且 ，直接写出弦 的最大值和最小值.
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