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2023−2024 学年第二学期八年级数学学科期中考试试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请选择合适的答案．
1. 下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别对各式进行变形，根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解．
【详解】A. ＝ ，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B. ＝ ，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C. ＝ ，被开方数含有开的尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足两个条件：(1)被开方数不能含有
分母；(2)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减及乘法运算，根据运算法则逐项计算即可得出答案．
【详解】解：A， ，计算错误；
B， ，计算错误；
C， ，计算正确；
D， ，计算错误；
故选C．
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学科网（北京）股份有限公司3. 下列各组数中，以它们为边长能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，3，4 B. 2，3，4 C. 1，1， D. 5，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理可知，分别计算选项中两短边的平方和是否等于长边的平方即可．
【详解】解： 、 ，
不能构成三角形，故本选项不符合题意；
、 ，
不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
、 ，
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、 ，
能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟知三角形的三边满足： ，那么这个三角形为直角三
角形是解题的关键．
4. 如图，平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=6，BC=4，则EC的长（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质及AE为角平分线可知：BC＝AD＝DE＝4，又有CD＝AB＝6，可求EC
的长．
【详解】解：根据平行四边形的对边相等，得：CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，
根据平行四边形的对边平行，得：CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
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学科网（北京）股份有限公司又∵∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴ED＝AD＝4，
∴EC＝CD−ED＝6−4＝2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角
形，进而利用等腰三角形的性质解题．
5. 下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质即可确定．
【详解】解：A.平行四边形对角线不一定相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；
B.菱形对角线不一定相等，对角线相等的菱形是正方形，故此选项错误；
C.梯形的对角线不一定相等，只有等腰梯形的对角线相等，故此选项错误；
D.矩形的对角线相等，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质，正确理解性质是关键．
6. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的
绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米
【答案】C
【解析】
【分析】设 米，用 表示出 的长，在直角三角形 中，利用勾股定理列出关于 的
方程，求出方程的解即可得到结果．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设 米，
米， 米，
（米 ， 米，
在 中， 米， 米， 米，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7. 如图， 是 的中位线， 的角平分线交 于点F， ，则 的长为
（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】由中位线的性质定理得 ， ，且 ，由平行线的性质结合角平分
线可得 ，则可求得 的长．
【详解】 是 的中位线， ，
， ， ，
，
是 的平分线，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，掌握三角形中位线定
理是解题的关键．
8. 如图， ， ， 和 都是等边三角形，F为 中点， 交
的
于G点，下列结论中，正确 结论有（ ）个．
① ；
②四边形 是菱形；
③ ；
④ ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识分别对各个
结论进行判断即可．
【详解】解：①如图，连接 ，
∵ ，F为 中点，
∴ ，
的
∴点F在 垂直平分线上，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴点E在 的垂直平分线上，
∴ ，①正确；
②∵ 是等边三角形，F是 中点，
∴ ，∴ ，
∴四边形 不可能 是菱形，②不正确；
③∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，③正确；
④∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，④正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定、等边三角形
的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌
握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
10. 已知 ， 则 ________．
【答案】1
【解析】
【分析】将x和y的值代入，再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：把 ， 代入 得： ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的运算法则，以
及平方差公式 ．
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________．
【答案】
【解析】
【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．
【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长 ，
∴点A表示的实数是 ，
故答案为： ．
【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．
12. 如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面
的长度为_______cm．
【答案】7．
【解析】
【分析】当杯子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的筷子与圆柱形水杯的底面直径
和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出筷子在水杯中的长度，筷子总长度减去杯子里面的长度即露在
外面的长度．
【详解】设杯子底面直径为a，高为b，筷子在杯中的长度为c，
根据勾股定理，得：c2=a2+b2，
解得：c=13，
则筷子露在外面最短为20-13=7cm，
故答案为：7
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学科网（北京）股份有限公司考点：勾股定理
13. 如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则
M，C两点间的距离为______km．
【答案】1
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 km．
【详解】解：∵在 中， ， 为 的中点，
(km) ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的
一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
14. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在
中，若直角边 ， ，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所
示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______．
【答案】76
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车的外围周长．
【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则 ，
解得： ，
“数学风车”的外围周长 ．
故答案为：76．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意题中隐含的已知条件来解题．
15. 如图，在菱形 中， ，E、F分别是边 上的动点，连接 ，G、H分别
为 的中点，连接 ．若 的最小值为3，则 的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，利用中位线的性质 ，要使 最小，只要 最小，当 时，
最小为6，由 确定 为等腰直角三角形，得出 ，由勾股定理得：
求出 即可．
【详解】解：连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，且 ，
要使 最小，只要 最小，
当 时， 最小，
∵ 的最小值为3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握
中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键．
16. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使
点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为a，根据折叠得出 ， ，根据勾股定理列出关于a的方程，
解方程即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则根据折叠可知， ， ，
在Rt△BFN中，根据勾股定理可知， ，
即： ，
解得： 或 （舍去）．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理的应用，设出正方形的边长，根据勾股定理列出关
于a的方程，是解题的关键．
三、解答题（共60分，第17题5分、18题4分，第19题4分，第20题4分，第21题4分、
第22题4分、23、24、25题5分，第26题6分，第27、28题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂、负指数整数幂、二次根式及去绝对值的运算即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
．
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零次幂、负指数整数幂、二次根式及去绝对值的运算法则是解
题的关键．
18. 若 ，求 的值．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先将原式转化为 ，再将a、b的值代入计算即
可．
【详解】解：
，
将 代入，得：
原式
．
19. 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的长．
【答案】16
【解析】
【详解】试题分析:根据图中分析,BC分为CD与BD,则可分别求CD,BD,再求BC,在Rt△ACD中,利用30°的
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学科网（北京）股份有限公司锐角所对直角边等于斜边的一半,求出CD,则AD可得,在Rt△ABD中,已知AB,AD可求BD.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，
∴CD＝ AC＝5.
∴在Rt△ACD中，AD＝ .
∴在Rt△ABD中，BD＝ .
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
20. 如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，点 在线段 上，点 在 的
延长线上，且 ，连接 ， ， ， ．求证：四边形 是菱形；
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到 ，
，再由菱形的判定定理即可得到结论，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
【详解】证明：∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴四边形 是平行四边形，
∵ ，即 ，
∴四边形 是菱形．
21. 如图，在四边形 中， ，E为 的中点，请你用无刻度的直尺在
图中画 的边 上的高线，小蕊的画法如下．请你按照小蕊的画法完成画图，并填写证明的依据．
画法：
①连接 ，
②连接 ，交 于点F，
③连接 ，交 于点P
④作射线 ，交 于点H，
∴ 即为所求 的边 上的高线
证明：
∵ ，E为 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
___________________________．
∴点F是 中点．____________________________．
∴ 是 的中线
∴ 是 的中线
∵
∴ 是 边上 的高线．
______________________________．
【答案】见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先根据题意画图，然后根据已知条件填写依据即可．
【详解】
∵ ，E为 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴点F是 中点．（平行四边形对角线互相平分），
∴ 是 的中线，
∴ 是 的中线，
∵ ，
∴ 是 边上的高线．（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）．
【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件灵活使用平行
四边形的性质和判定．
22. 如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为 的平行四边形ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一
个即可）；
的
（2）在图2中画出以AB为对角线 正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，只要使得AB的邻边AD的长是无理数 即可；
（2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边
形 为所作．
【小问1详解】
解：如图，四边形 即为所作；
【小问2详解】
解：如图，四边形 即为所求作的正方形．
【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键．
23. 我们将 与 称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明
在解方程 时，采用了如下方法：
由于 ，
又因为 ①，所以 ②，由①+②可得 ，
将 两边平方解得 ，代入原方程检验可得 是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
（1）若 的对偶式为 ，则 ________；（直接写出结果）
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学科网（北京）股份有限公司（2）方程 的解是________；（直接写出结果）
（3）解方程： ．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由定义直接可得答案；
（2）求出 ，根据已知得到 ，两式相
加可得 ，再求解即可；
（3）同（2）的方法求解即可．
【小问1详解】
解： 的对偶式为 ，
∴ ；
【小问2详解】
，
∴ ，
∴ ，
得： ，
∴ ；
【小问3详解】
，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查二次根式，平方差公式，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运
算的相关法则．
24. 如图，在 中，D是AB上一点， ，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交
BC于点F， ．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若 ， ，连接BE，求BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证∠EDF=90°，∠CED=90°，再由∠DFC=90°，即可得出结论；
（2）证 ACD是等边三角形，得∠ACD=60°，AC=AD=2，则AE=CE=1，再由勾股定理得DE，然后由三
△
角形中位线定理得BC=2DE= ，由勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，
∴∠ADE=∠CDE= ∠ADC，∠CDF= ∠BDC，
∴∠CDE+∠CDF= （∠ADC+∠BDC）= ×180°=90°，
即∠EDF=90°，
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学科网（北京）股份有限公司∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠CED=∠AED= ×180°=90°，
又∵∠DFC=90°，
∴四边形CEDF是矩形；
【小问2详解】
解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，
∴∠CED=∠ECF=90°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，DE⊥AC，
∵AD=DC，
∴CE=AE， ACD是等边三角形，
∴∠ACD=6△0°，AC=AD=2，
∴AE=CE=1，
∴DE= ，
∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC=AD，
∴DE是 ABC的中位线，
△
∴BC=2DE= ，
在Rt BCE中，由勾股定理得：BE= ，
△
即BE的长为 ．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知
识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25. 已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架
，两轮轮轴的距离 （购物车车轮半径忽略不计）， 、 均与
地面平行．
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学科网（北京）股份有限公司（1）猜想两支架 与 的位置关系并说明理由：
（2）若 的长度为 ，求购物车把手 到 的距离．
【答案】（1）两支架 与 为垂直的位置关系，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，含 度角的直角三角形的性质；
（1）根据题意可得 ，根据勾股定理的逆定理即可得出 ，即可求解；
（2）过点 作 的垂线，交 的延长线分别于点 ，根据平行线的可得出 ，在
中， 勾股定求得 ，根据等面积法，即可求解．
【小问1详解】
解：两支架 与 为垂直的位置关系，理由如下：
在 中．
∵ ， ，且 ，
∴
∴ ，
答：两支架 与 为垂直的位置关系；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：如图所所示，过点 作 的垂线，分别交 的延长线于点 ，设点C到 的距离为h，
∴
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
答：购物车把手 到 的距离为
26. 如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位
的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）求△ADE的周长；
（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？
（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）12；（2）t=6或t= ；（3）t= ；
【解析】
【分析】（1）在直角△ADE中，利用勾股定理进行解答；
（2）先利用勾股定理表示出PE2，在Rt△PAE中，根据勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（3）利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA=∠EAP，则PE=PA，由此列出关于t
的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．
【详解】解:（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，
∴CD=AB=9，∠D=90°，
∴DE=9﹣6=3，
∴AE= = =5；
∴△ADE的周长为3+4+5=12
（2）①若∠EPA=90°，t=6；
②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，
解得t= ．
综上所述，当t=6或t= 时，△PAE为直角三角形；
（3）假设存在．
∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．
∵CD∥AB， ∴∠DEA=∠EAP，
∴∠PEA=∠EAP，
∴PE=PA，
∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2，
解得t= ．
∴满足条件的t存在，此时t= ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，用勾股定理
建立方程是解本题的关键．
27. 正方形 中，点 是射线 上一动点，连结 ，过 作 ，交射线 于 ，连结
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学科网（北京）股份有限公司．
（1）如图①，请补全图形：
（2）如图②，当点 在 的延长线上时，试确定线段 与 之间的数量关系，并说明理由：
（3）如图③，当点 在 的延长线上，若 ，直接写出四边形 的面积______．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）根据题意作出图形，即可求解；
（2）过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ， 交 于点 ，则 ，证明
得出 ， ，进而证明四边形 是矩形，得出 ，
根据 是等腰直角三角形，得出 ，即可得出结论；
（3）过点 作 于点 ，同理可得 ，则 ，进而得出 ，
，根据四边形 的面积 即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
第24页/共31页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
理由如下，如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ， 交 于点 ，则
∴
设 ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
∵
∴
∵ ，
∴
∴ ， ，
∵
第25页/共31页
学科网（北京）股份有限公司∴四边形 是矩形，
∴ ，
又
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示，过点 作 于点 ，
同理可得 ，则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 的面积
第26页/共31页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
28. 中，点 是边 上一点（不与B、C组合），连结 ，若P是 的中点，则称点 为
中边 的“有缘点”．其中，若 、 ，则点 的坐标为 ．
已知
（1）点 、 、 、 中，是 中边 的“有缘点”的有______．
（2）已知 中， ，点 在 轴上方，若第二、四
象限的角平分线上存在边 的“有缘点”，求 的取值范围；
（3） 中， 在 轴上，点 的横坐标为t， 交 轴于点 ， 交 轴于点 ，
且Q、M分别是 、 的中点，假设 三边的“有缘点”组成图形 ，若图形 的面积 满
足： ，直接写出t的值．
【答案】（1） ，
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据新定义， 中边 的“有缘点”在与 平行的中位线上，且在 内部，
不包括端点，结合坐标系，即可求解；
（2）分别求得 的中点， 的坐标，进而根据 在 上时， 的值，结合图形，即可
求解；
（3）根据新定义以中位线的性质，可得 ，进而根据三角形的面积公式，得出 ，
解不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：根据新定义， 中边 的“有缘点”在与 平行的中位线上，且在 内部，不包括端点，
如图所示，
是 中边 的“有缘点”的有 、 ，
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，则
∴
∵ ，
设 为 的中点， 为 的中点，
∴ 即 ， ，
当 在 上时，如图所示，
∴
解得： ；
当 在 上时，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司∴
解得：
结合图形可得，若第二、四象限的角平分线上存在边 的“有缘点”， 的取值范围为
；
【小问3详解】
解：∵ ， ， ，Q、M分别是 、 的中点，
则 是 的中位线，
设 是 的中点，
∵ 三边的“有缘点”组成图形 ，即图形 为 ，不包括顶点，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵图形 的面积 满足： ，
∴ ，
当 时，即 时， ，解得： ．
当 时，即 时， ，解得： ．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了中点坐标公式，坐标与图形，中位线的性质，解不等式组，一次函数与结合图形；理
解新定义是解题的关键．
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