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2022-2023 学年北京市人大附中早培班八年级（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，仅有一项符合题目要
求
1. 将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，
得到的抛物线是： ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关
键．
2. 如图，每个小正方形边长均为1，则图中四个阴影的三角形中与 相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理求得每个三角形的三边长，确认是否成比例，即可求解．
【详解】解：由题意可得： 的三边长为 ， ， ，A、三角形的三边长为 ， ， ， ，不符合题意；
B、三角形的三边长为 ， ， ， ，不符合题意；
C、三角形的三边长为 ， ， ， ，不符合题意；
D、三角形的三边长为 ， ， ， ，与 相似，符合题意；
故选D.
【点睛】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，正确求
出每个三角形的边长．
3. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁
球的半径为（ ）
A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm
【答案】B
【解析】
【分析】连接 、 ，根据题意可得 ， ，再根据垂径定理得到 ，设
，利用勾股定理建立方程解出x即可解决此题．
【详解】解：连接 、 ， 交 于点H，由题可得， ， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是能构造直角三角形利用勾股定理解直角三角形．
4. 如图，已知 是 的直径，点P在 的延长线上， 与 相切于点D，过点B作
于点C，若 ， ，则 的半径的长为（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件证明 ，推出 ，设 的半径的长为r，将数值代入等式，解关于r的一元二次方程即可．
【详解】解： 与 相切于点D，
，
，
又 ，
，
，即 ．
设 的半径的长为r，
则 ，
整理得 ，
解得 ， （舍），
的半径的长为4，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的性质、解一元二次方程等，解题的关键是通过相似得
出 ．
5. 抛物线 与直线 交于 两点，关于x的不等式 的解
集是（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及一次函数图象的关系，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
∴抛物线开口向下，
∵ ，
∴ ，
∴关于x的不等式 的解集即为二次函数 的图象在一次函数 图象上方自
变量的取值范围，
∴关于x的不等式 的解集是 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据两函数的交点求不等式的解集，正确判断出二次函数开口向下是解题的关键．
6. 魏时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 E，H，G
在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为
“表距”， 和 都称为表目距”， 和 的差称为“表目距的差”则海岛的高
（ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【解析】【 分 析 】 根 据 ， 可 得 ， 从 而 得 到
，进而得到 ，再由比例的性质可得 ，从
而 得 到 ， 进 而 得 到 ， 再 由 ， 可 得
，即可求解．
【详解】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴表高．
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7. 已知 ， 是抛物线上 的两点，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线解析式可以得到抛物线的对称轴，然后在分类讨论开口方向求解．
【详解】解：
抛物线的对称轴为直线
A、当 抛物线开口向下，若 即 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，则 ，
故此项错误
B、当 抛物线开口向下，若 说明 更接近对称轴，则 到对称轴的距离更小即
，故此项错误
C、当 ， ， 关于 轴对称或重合，故此项错误
D、若 ，说明 ， 到对称轴的距离相等，则 ，故此项正确故选D．
【点睛】本题考查二次函数图像的对称性及二次函数开口方向 ，正确理解二次函数的对称性是解题的关
键．
8. 将空间景物用单点透视法画在平面上时，需满足以下三点：
（1）空间中的直线画在纸上仍然是一条直线；
（2）空间直线上点的相关位置必须和纸上所画的点的相关位置一致；
（3）空间直线上的任意四个相异点的K值和纸上所画的四个点的K值需相同，其中K值的定义如下：直
线上任给四个有顺序的相异点 ， ， ， ，如图：图中四个点所对应的 K 值定义如下：
；
某画家依照以上原则，将空间中一直线以及直线上四个相异点 ， ， ， 描绘在纸上，其中
，若将纸上所画的直线视为数轴，并将线上的点用数轴上的实数来表示，则以下选项中，
可能是此四点在纸上数轴表示的实数是（ ）
A. 1，2，4，8 B. 3，4，6，9 C. 1，5，8，9 D. 1，7，9，10
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意求出K的值，再根据数轴上的数求出K，即可判断．
【详解】设 ，
则 ， ，
∴ ．因为 ，所以不符合题意；
因为 ，所以不符合题意；
因为 ，所以不符合题意；
因为 ，所以符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，理解题意是解题的关键．
二、多项选择题（本题共12分，每小题3分）第9-12题均有四个选项，有多项符合题目要求
9. 如图 是 的直径， 是弦，四边形 是平行四边形， 与 相交于点P，以下说法正
确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质和圆的基本性质可证 和 均为等边三角形，得到
， ，进而可得 ，可证D选项错误；再利用垂径定理可
证A选项正确；通过证明 是 的中位线，可得 ，证明C选项正确；利用等腰三角形三线合一的性质可得 ，可证B选项正确．
【详解】解： 是 的直径，
，
．
如图，连接 ．
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
和 均为等边三角形，
， ，
，故D选项错误；
四边形 是平行四边形，
，
，
，，故A选项正确；
，
是 的中位线，
，即 ，故C选项正确；
为等边三角形， ，
，故B选项正确；
故选ABC．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行四边形 的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中
位线的性质等，难度一般，能够综合运用上述知识是解题的关键．
10. 已知抛物线 上部分点的横坐标x纵坐标y对应值如表：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m ……
以下说法不正确的是（ ）
A.
B.
C. 方程 两个实数根为 ，且 ，则
D. 函数 与函数 恰有两个交点，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中数据和抛物线的性质，可得抛物线开口向上，对称轴是 ，利用待定系数法即可求
出 ，再根据抛物线的性质即可进行判断．
【详解】由表中数据可知抛物线对称轴为： ，和 关于 对称，
，
故A正确，不符合题意；
设抛物线解析式为 ，代入 得：
，
解得： ，
故B正确，不符合题意；
，
方程 ，即 ，解得 ，
，
，
，
故C正确，不符合题意；
函数 ，图象如图，
当 时，函数关系式为 ，
令 ，则当方程无解时有两个交点，
整理得： ，
，
解得： ，
由图象可知， 或 ，
故D错误，符合题意．故选D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数值二次函数的性
质是解题的关键．
11. 如图，正方形 中，点F是 边上一点，连接 ，以 为对角线作正方形 ，边
与正方形 的对角线 相交于点H，连接 ．以下说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正方形的性质及各角之间的关系可证明A选项正确；由勾股定理及相似三角形的判定可证明
B选项正确；由各角之间的关系及垂直的性质可证明C选项正确；证明 ，由相似三角形的
性质可证明D选项错误．
【详解】解： 四边形 ，四边形 都是正方形，
， ，
，，故A选项正确；
， ，
，
，
，
，故B选项正确；
，
延长 交 于点N，
， ，
，
，故C选项正确；
， ，
，
，
，
，故D选项错误；
故答案为：ABC．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
12. n个正整数排成一列A：a，a，a，……，a，，每次进行以下操作之一：
1 2 3 n
操作一：将其中一个数删除；
操作二：将其中一个数变为更小的正整数；
操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；
现甲乙两人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获
胜．以下说法正确的是（ ）
A. 若A：2，3，则甲第一次操作后可以产生6种不同的结果
B. 若A：2，3，若甲乙两人经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则b＝1
或5
C. 若A：1，2，2，则甲有必胜策略
D. 若A：1，2，3，则乙有必胜策略
【答案】C
【解析】
【分析】若要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项的数值必须大于
等于2；进行操作二不改变数列的项数．
【详解】解：A、当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果， 或 ；当甲进行操作二时，会产生
2种不同的结果， 或 ；当甲进行操作三时，会产生1种不同的结果， ；因此甲第一
次操作后可以产生5种不同的结果，A故错误．
B、在数列 中，只有 项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数为
3， ：
①第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时 （操作三）+1（操作二）+4（操作一） ；
②第二步先进行操作二时，此时 （操作三）+1（操作二）+3（操作一） ；
因此或6，故B错误．
C、根据题意可知，若数列有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作；有偶数个项逐个消
去，最终乙执行最后一次操作；执行操作二、操作三不影响最终结果；
，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故C正确．
D、 ，为奇数项且最多可执行3（奇数）次操作二，
能确保乙最后将所有项消除，只需保证进行奇数次操作二即可，故D错误．
故选C
【点睛】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，属于难题．
三、填空题（本题共18分，每小题3分）
13. 已知 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】将 分号上下同时除以b，再将 整体代入，即可求解．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用“整体代入法”．
14. 以坐标原点O为圆心，作半径为1的 ，若直线 与 相交，则b的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出直线 与圆相切，且直线经过一、二、三象限时的b的值和直线 与圆
相切，且直线经过一、三、四象限时b的值，即可确定出b的取值范围．
【详解】解：当直线 与圆相切，且直线经过一、二、三象限时，切点为B，连接 ，当 时， ，则 ， ，
当 时， ，则 ， ，
，
为
等腰直角三角形，
．
直线 与圆相切，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
同理，当直线 与圆相切，且直线经过一、三、四象限时， ，
若直线 与 相交，b的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查直线与圆的交点问题，求出相切时b的值是解题的关键．
15. 如图所示，D，E 分别是 的边 ， 上的点，且 ，若 ，
_____．【答案】 ##
【解析】
【分析】由已知得出 ，利用 证明 ，推出
，再证明 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求
解．
【详解】解： ，
，
．
，
， ，
，
．
，
， ，
，
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的
关键．
16. 已知函数 ，当 时，函数的最小值是 ，则实数a的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】【分析】先求出当 时，二次函数有最小值 ，由此求解即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ， ，
∴当 时，二次函数有最小值 ，
∵函数 ，当 时，函数的最小值是 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出当 时，二次函数有最小值 是解题的关键．
17. 如图， 中， ， ， 于点D． ，P是半径为4的 上一动点
连接 ，若E是 的中点，连接 ， 长的最大值为 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】连接 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得 ，根据三角形中位线定理可得
，则当 取最大值时 的长最大，因此求得 的最大值即可．
【详解】解：如图，连接 ，， ， ，
，
E是 的中点，
是 的中位线，
，
当 取最大值时 的长最大，
P是半径为4的 上一动点，
当 经过圆心A时， 取最大值，
， ， ，
，
的半径是4，
的最大值为 ，
长的最大值为7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查圆外一点到圆上动点距离的最值，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等，
证明 是解题的关键．18. 如图，正方形 的边长为1，点E是 的中点，连接 ，点A关于 的对称点为F，连接
交 于点G，则 _______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】延长 交 于H，连接 ，作 ， ，根据正方形的性质和角平分线的
性质，得到 ， 和 是等腰直角三角形，再根据轴对称的性质，利用“ ”证明
， ，设 ，利用勾股定理得到 ，进而得到 ，
然后利用面积法求出 ，最后再利用勾股定理即可求出 的长．
【详解】解：延长 交 于H，连接 ，过点G作 于M， 于N，
四边形 是正方形，
，
， ，
， 和 是等腰直角三角形，
为 中点，
，
点A关于 的对称点为F，， ，
，
在 和 中，
，
，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
，
在等腰 中，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了正方形 的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平
分线的性质等知识，求出 的长是解题关键．
四、解答题（本题共46分，第19-21题，每题6分，第22-25题，每题7分）解答应写出文
字说明、演算步骤或证明过程。
19. 已知：如图 ABC中， ， ，
△
求作：线段AB上一点D，满足 ．
作法：①以点A为圆心， 长为半径画圆；
②以点B为圆心， 长为半径画弧，交 于点P（不与点C重合）；
③连接 交 于点D．
点D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ，
∵ ．
∴点C在 上，
∵点P在 上，∴ （ ）（填推理的依据）
∵
∴ （ ）（填推理的依据）
∴ ．
【答案】（1）见解析；
（2）同弧所对的圆周角是圆心角的一半，等边对等角．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用圆周角定理，等腰三角形的性质证明即可．
【小问1详解】
图形如图所示：
【小问2详解】
连接 ，
∵ ．
∴点C在 上，∵点P在 上，
∴ （同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∵ ，
∴ （等边对等角），
∴ ．
故答案为：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，等边对等角．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
20. 如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上方 的A点处发出，把球看成点，其运行的高
度 与运行的水平距离 满足关系式 ．已知球与O点的水平距离为 时，达
到最高 ，球网与O点的水平距离为 ，高度 ，球场的边界距O点的水平距离为
．
（1）请确定排球运行的高度 与运行的水平距离 满足的函数关系式；
（2）请判断排球是否过网？是否出界？
【答案】（1） ；
（2）排球能过网；不会出界．
【解析】【分析】（1）根据题意列出抛物线的顶点式解析式 ，再把 代入解析式求出
，即可得到 与 的函数关系式；
（2）把 代入解析式求出 值与 比较，把 代入解析式，求出 值与 比较，即可得到答案．
【小问1详解】
解： 球与O点的水平距离为 时，达到最高 ，
抛物线的解析式为 ，
抛物线 经过点 ，
，
，
与 的函数关系式为
【小问2详解】
解：当 时， ，
排球能过网；
当 时， ，
解得： ， （舍），
排球不会出界．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
21. 如图，在半圆O中，C是直径 上一动点（不与端点重合），且 ，过点C作 交半
于点D，若 ．（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当 时，DC的长度取得最大值，最大值为 ；
（3）在平面直角坐标系 中，利用适当工具准确画出（1）中所确定的函数的图象．
【答案】（1）
（2）3，3 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）如图 1，连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据余角的性质得到
，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据题意画出函数图象即可．
【小问1详解】
解：如图1，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴当 时， 的长度取得最大值，最大值为3，
故答案为：3，3；
【小问3详解】
解：函数的图象如图所示：
【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，二次函数的性质，还是图象
的画法，正确的作出辅助线是解题的关键．
22. 如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，过点 作 交 延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）因为 ，如图所示（见详解），证明 ，得出 即可求证；
（2）如图所示（见详解），连接 交 于 ，证明 ，从而得出 ，
，求出 的长，在直角三角形 ，由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵圆周角 与圆心角 所对弧是同弧，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是圆的半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即 ，点 在圆上，
∴ 是 的切线．
【小问2详解】
解：如图所示，连接 ， ， 交 于 ，
由（1）可知， ， ， 为公共边，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 ， 中， ，设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，∴ 是直角三角形， ，
∴ ，
故 的长为 ．
【点睛】本题主要考查圆内接多边形的综合运用，掌握求切线的方法，直角三角形的勾股定理，全等三角
形判定和性质是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标和对称轴；
（2）点 是抛物线上两点，其中 ．
①当 时，直接写出 的取值范围和 的值；
②若对任意的 ，都有 ，直接写出a的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）① ； ；② 或
【解析】
【分析】（1）令 ，求出 ，可得抛物线与y轴的交点坐标，再根据抛物线对称轴公式，即可求
解；
（2）①把 代入，可得 ，此时对称轴是直线 ，再根据二次函数的性质，即可
求解；②先求出点 关于对称轴的对称点为 ，当 时，抛物线开口向上，分两
种情况讨论；当 时，抛物线开口向下，分两种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】解：当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点坐标为 ，
抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：解：①当 时， ， ，此时对称轴是直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向上．
∵ ，
∴当 时，函数取得最大值， ，
当 时，函数取得最小值， ，
∴ ．
当 时， ．
②∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴的对称点为 ，
当 时，抛物线开口向上，
当 ，即 时，
∵ ，
∴ ，且 ，
解得： ，∴ ；
当 ，即 时，
∵ ，
∴ ，且 ，
解得： ，
∴ ；
当 时，抛物线开口向下，
当 ，即 时，
∵ ，
∴ ，且 ，
解得： ，
∴ ；
当 ，即 时，不符合题意；
综上所述，a的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数 （a，b，c为常数， ），
当 时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当
时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．24. 如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，作点B关于AE的对称点 ，连接 并延长，交DC
于点F．
（1）求证：CF=BE；
（2）若 与以CD为直径的圆相切，求证：点 为切点；
（3）在（2）的条件下若 交圆于点G，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，再由∠BAE＋∠ABF=90°及
∠ABC=90°得出∠BAE=∠CBF，从而证得△ABE≌△BCF，最后可得结果；
（2）取CD中点H，过点H作HP⊥ 于P，由 与圆H相切，可得AP切圆H于点P ，又由半径
HD⊥AD于点D，可得AD切圆H于点D ，从而可得AP=AD ，由对称性质可得 =AB ，由正方形性质
得到AD=AB，进一步得到AP= ，可得P， 重合 ，最后证得结果；
（3）连接DG， E，C ，D ，HG，先证得点E，点 ，点H三点共线，设AB = BC = 2x，BE =
E =a= CF，由勾股定理解得 再求出 ，进一步证明 ， ，
设 证得 ，从而得出 ，最后解得结果．
【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∵点B关于AE的对称点为 ，
∴AE⊥B ，
∴∠BAE＋∠ABF=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABF＋∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF，
∴CF=BE；
【
小问2详解】
如图，取CD中点H，过点H作HP⊥A 于P，
∵A 与圆H相切，
∴AP切圆H于点P ，
∵半径HD⊥AD于点D，
∴AD切圆H于点D ，
∴AP=AD ，
∵ ，B关于AE对称，
∴A =AB ，
在
∵ 正方形ABCD中，AD=AB，
∴AP=A ，∴P， 重合 ，
∴ 为切点；
【小问3详解】
（3）如图，连接DG， E，C ，D ，HG，
∵点B关于AE的对称点 ，
∴AB = A ，∠ABE =∠A E =90°，BE = E，
∴∠A H +∠A E = 180°，
∴点E，点 ，点H三点共线，
设AB = BC = 2x，BE = E =a= CF，
则B'H = DH = CH = x，EC = 2x-a，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，，
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，
本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力．
25. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，则称
这个函数是有界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是
有界函数，其边界值是 ．
（1）直接写出有界函数 的边界值；
（2）已知函数 是有界函数，且边界值为3，直接写出 的最大值；
（3）将函数 的图象向下平移 个单位，得到的函数的边界值是 ，直接写出
的取值范围，使得 ．
【答案】（1）（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）先分别代入解析式，计算对应的函数值，再根据有界函数的定义确定边界值即可．
（2）根据新定义可得当 最大时 的顶点在 上，求得此时 与
的交点的线段长，即为所求；
（3）分 两种情况根据新定义分析即可．
【小问1详解】
解：解析式为 ，
当 时， ；
当 时， ；
因为 ，
根据定义可得
所以函数 的边界值是 ．
【小问2详解】
解：∵函数 是有界函数，且边界值为3，
∴ 开口向上，
如图，当 最大时， 的顶点在 上，此时 的长最大，设 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ ，
即 的最大值为 ．
【小问3详解】
解：∵函数 的图象向下平移 个单位，
所以解析式为 ，
当 时，函数值为 ，是函数的最小值，
当 时，函数值为 ，
所以边界值 ，与 矛盾，
所以 不成立；
当 时，
当 时，函数 ，函数过点 ，此时函数有最小值，当 时，函数 ，函数过点 ，
当函数向下平移 个单位后，两个点的坐标变为 ， ，
∵函数的边界值是 满足 ，
∴ 或
解得 或 ，
故当 或 时，满足 ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题
的关键是理解新定义，列出不等式．
