文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023－2024 学年度第一学期初三年级练习 3
数学
考生须知：
1.本练习共三道大题28小题，共6页，满分100分．练习时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、学号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将答题卡交回．
一、单选题（每题2分，共16分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据轴中心对称图形的概念即可一
一判定即可．
【详解】选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重
合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图
形．
故选：B．
2. 将抛物线 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表
达式是（ ）．
A. B.
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】解：抛物线 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的平移．理解二次函数的平移规律为“左加右减，上加下减”是解决此题的关键．
3. 如图，圆心角 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正
确作出辅助线．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
【详解】解：如图，设点P是优弧 上的一点，连接 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
，
．
故选：D．
4. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图2中的图案可以由图1中的基本图案以点 为旋转
中心，顺时针（或逆时针）旋转角 ，依次旋转若干次形成，则旋转角 的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正
整数倍，然后判断选项即可．
【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形，
∴ （ 且 为正整数），
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴不可能是 ，
故答案选：A．
【点睛】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键．
5. 已知点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，抛物线开口向下，图象上的点离对称轴越近，其纵坐标越大．
详解】解： 开口向下，对称轴 ，
【
离对称轴越近，相对应的y值越大，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
6. 如图， 是 的一条弦，点C是 上一动点，且 ，点E，F分别是 ， 的中
点，直线 与 交于G，H两点，若 的半径是4，则 的最大值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】首先连接 ， ，根据圆周角定理，求出 ，进而判断出 为等
边三角形；然后根据 的半径为4，可得 ，再根据三角形的中位线定理，求出
的长度；最后判断出当弦 是圆的直径时，它的值最大，进而求出 的最大值即可．
本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质，判断出当弦 是圆的直径时
取得最大值是关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：如图所示，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵ 的半径为4，
∴ ，
∵点E，F分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ， 为定值，
∴当 最大时， 最大
∵当弦 是圆的直径时，它的最大值为： ，
∴ 的最大值为： ．
故选：B．
7. 抛物线 上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 ……
则下列结论正确的有（ ）
① ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
② ；
③抛物线的对称轴为直线 ；
的
④方程 两个根满足 ， ．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中的数据，结合二次函数的性质逐项分析即可.
【详解】解：由表格可知当x逐渐增大时，y的值先减小后增大，
∴抛物线开口向上，即 ,故①正确；
由表格知当 时， ，即 ，故②正确；
由表格知当 和 时，y的值相等，∴抛物线的对称轴为直线 ，故③正确；
由表格知当 时， ， 时， ，∴一个根满足 ，同理另一个根满足
，
∴方程 的两个根满足 ， ，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数 （a，b，c为常数， ），
当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0
时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．
8. 下面三个问题中都有两个变量y与x：
的
①小清去香山观赏红叶，他登顶所用 时间 与平均速度 ；
②用绳子围成周长为 的矩形，矩形的一边长 与它的面积 ；
③正方形边框的边长 与面积 ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可用如图所示的函数图象表示的有（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据每个问题的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断．
【详解】解：①设小清去香山观赏红叶登顶的路程为 （ 为常数），则 ，
∴变量 与变量 之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故①不符合题意；
②用绳子围成周长为 的矩形，矩形的面积 与矩形的一边长 之间的函数关系为
，为二次函数关系，故②符合题意；
③正方形的面积 与它的边长 的关系式为 ，,
∴变量 与变量 之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故③不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键在于根据选项的描述，正确判断出两个变量之间满足的函
数关系式．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 方程 的根为______．
【答案】
【解析】
【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分
解的方法是本题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解： ，
，
或 ,
解得 ，
故答案为： ．
10. 一个扇形的弧长为 ，半径为6，则此扇形的圆心角度数为___________ ，此扇形的面积为
___________．
【答案】 ①. 40 ②.
【解析】
【分析】根据弧长及扇形面积公式可进行求解．
【详解】解：由弧长公式可得： ，
解得： ；
∴该扇形的面积为 ；
故答案为 ， ．
【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及扇形面积公式是解题的关键．
11. 如图， 是半径为4的 的弦， 于点 ，交 于点 ，若 ，则弦 为_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和圆的性质等知识，熟练掌握圆中求线段长的
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
两个定理：垂径定理构造直角三角形，勾股定理求线段长，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：连接 ，如图所示：
是 的弦， 是 的半径， 于点 ，交 于点 ，
由垂径定理可知 ，
的半径为4， ，
在 中，由勾股定理可得 ，
弦 的长为 ，
故答案为： ．
12. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是________．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握
根的判别式与根的关系是解答本题的关键，当 时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当
时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根，还要注意二次项
系数不等于0．
【详解】解：由题意得： ，解得： ，
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ 的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
13. 写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数值有最大值可得二次项系数小于0，再根据最大值是2利用二次函数顶点式即可求解．
【详解】解：∵二次函数解析式函数值有最大值，
∴二次函数解析式二次项系数 ，
又最大值是2，
∴符合条件的二次函数解析式可以是： （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和顶点式．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是 ， ， 是 的外接圆，则
点M的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作 于E，作 于F，连接 ，作 的垂直平分线 ，垂足为C，交
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
于M，则 ，即点M的横坐标为1，再证四边形 为正方形，则 垂直平分 ，所以点
M是 的外心，求出直线 的解析式为 ，把 代入求得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作 于E，作 于F，连接 ，作 的垂直平分线 ，垂足
为C，交 于M，
∵ ， 垂直平分线 ，
∴ ，即点M的横坐标为1，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ 垂直平分 ，
∴点M是 的外心，
∵ ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关
键．
15. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有
勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，
股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角
三角形内切圆的半径为____步．
【答案】
【解析】
【分析】连接 ，可知四边形 为正方形，设半径为 ，根据切线长定理列方程求解即可．
【详解】解：连接 ，如下图：
由题意可得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
∴四边形 为矩形，
又∵
∴矩形 为正方形
设半径为 ，则
∴ ，
∴
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 过点 、 ， 的半径为1（ 为坐标原
点），点 在直线 上，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则切线长 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【详解】如解图，连接 、 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ 是 的切线，∴ ．
根据勾股定理得 ．
∵ ，∴当 取得最小值时， 可取得最小值．
∴当 时，线段 最短．
∵ 、 ，∴ ．利用勾股定理得 ．
∵ ，∴ 为等腰直角三角形．
又∵ ，∴ 为 的中点， ．
∵ ，∴此时 ，
即切线长 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进
行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
三、解答题（本题共68分．第17题－22题每小题5分，第23－26题每题6分，第27－28题
每题7分．）
17. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的因式分解法，根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
18. 求证：圆内接四边形的对角互补．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
己知：如图，四边形 内接于 ．
求证： ．
请根据上图中的辅助线，完成定理的证明过程．
证明：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的知识点是圆内接四边形对角互补的证明、直径所对圆周角是直角、同弧或等弧所对圆
周角相等，解题关键是熟练运用圆周角相关定理进行推理论证．
先作直径 ，连接 、 ，根据直径所对圆周角是直角得到 ，再根据三角形
内角和可得 ，又同弧或等弧所对圆周角相等，则 ，
即可得证．
【详解】证明：作直径 ，连接 、 ，
为 直径，
，
， ，
，
即 ，
弧 弧 ，
，
，
故 得证．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
19. 如图， 内接于 ， 是 的直径， ，垂足为 ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂径定理得出 ，则 ，根据 ，可得 ，
等量代换即可得证．
【详解】证明：∵ 内接于 ， 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在坐标系中画出该函数图象，并结合函数图象回答，当 时，x的取值范围是__________．
【答案】（1）
（2）图见解析， 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 即可求解；
（2）求出函数与坐标轴的交点与顶点坐标即可作图，再根据图象求解．
此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
【小问1详解】
把 代入 得
解得
∴抛物线的表达式 ；
【小问2详解】
∵ 的顶点坐标为 ，
令 ，解得 或 ，
∴ 与x轴交于 和 ，
令 ，解得 ，
∴ 与y轴交于 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
故作函数图象如下：
∴当 时，x的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，进行作答即可；
（2）由 ，解得， ， ，由该方程恰有一个实数根为非负数，可
得 ，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得， ， ，
∵该方程恰有一个实数根为非负数，
∴ ，解得， ，
∴m的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于
正确的解方程．
22. 已知： 和圆外一点P，求作：过点P的 的切线．
作法：①连接 ；
②分别以O，P为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接 ，交 于点C．
③以C为圆心， 长为半径作 ，交 于点A，B；
④作直线 ．
所以直线 为 的切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ．
∵ ， ，
∴MN是线段OP的垂直平分线（__________）（填推理的依据）．
∴ ．
∵OP为 的直径，A，B在 上
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ （__________）（填推理的依据）．
∴半径 ，半径 ．
∴直线 ， 为 的切线（__________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的
圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【解析】
【分析】（1）根据作图步骤补充完成作图即可；
（2）连接 ， ．由 ， ，得到 是线段 的垂直
平分线．则 ．由 为 的直径，A，B 在 上，则 ．由半径
，半径 ，即可得到结论．
此题考查了基本作图、切线的判定等知识，熟练掌握切线的判定和基本作图步骤是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
；
【小问2详解】
证明：连接 ， ．
∵ ， ，
∴ 是线段 的垂直平分线（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∴ ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ 为 的直径，A，B在 上
∴ （直径所对的圆周角是直角）．
∴半径 ，半径 ．
∴直线 为 的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
）．
故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；经过
半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
23. 2021年公司某产品产量为5000件，公司规划到2024年底生产产品的产量达到16500件．经过两年，
到2023年底年产量达到了11250件，保持这样的增长率不变，到2024年底是否能完成公司的五年规划？
请计算说明．
【答案】能完成，见解析
【解析】
【分析】设2021年技术改造后增长率为x，根据题意列出一元二次方程，故可求解．
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率的列方程特点．
【详解】解：设2021年技术改造后增长率为x，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴2021年技术改造后每年的增长率为 ，
∴2024年产品产量为 ．
答：保持这样的增长率，到2024年能完成公司的五年规划．
24. 如图， 是 的直径，直线 经过 上的点 ， 于点 ，交 于 ， 平分
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据 平分 得到 ，再由圆的性质得到 ，
即可证明 ，得到 得到答案．
（2）过点 作 ，交 与点 ，由垂径定理得到 ，易证四边形
是矩形，即可求出半径的长，从而得到 ，即可得到答案．
【小问1详解】
解：连接 ，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
且直线 经过 上的点 ，
直线 是 的切线；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
解：过点 作 ，交 与点 ，
，
由垂径定理得到 ，
， ， ，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了平行的判定，垂径定理，
熟练掌握垂径定理是解题关键．
25. 实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着
陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）的相关数据信息，
如下所示：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
信息1：甲投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 4 6 8 10
竖直距离 1.87 2.95 3.31 2.95 0.07
建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下：
信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；
信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为 时达到了竖直高度的最大值 ．
根据以上信息，回答问题：
（1）直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值_________
（2）求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系；
（3）记甲实心球成绩为 ，乙实心球成绩为 ，则 _________ （填“ ”、“ ”或“ ”）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出 的值，从而得到答案；
（2）设甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为： ，将 代入关系式
求出 的值即可得到答案；
（3）利用待定系数法求出乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为： ，
再分别求出 、 ，进行比较即可得到答案．
【小问1详解】
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解：由表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为 ，
， ，
甲投掷的实心球竖直高度的最大值为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：设甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为： ，
将 代入关系式得： ，
解得： ，
甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为 ；
【小问3详解】
解： 乙投掷后，实心球的水平距离为 时达到了竖直高度的最大值 ，
设乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为： ，
甲、乙两人投掷时，出手高度相同，
将 代入关系式得： ，
解得： ，
乙投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系式为： ，
在 中，令 ，则 ，
解得： （负值舍去），
，
在 中，令 ，则 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得： （负值舍去），
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的应用，熟练掌
握以上知识点是解此题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若 ， ，比较 与 的大小，并说明理由；
（3）若对于 ， ，都有 ，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）抛物线顶点坐标为
（2） ，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式可求解
（2）分别将 ， 代入解析式求解
（3）求出点 关于对称轴的对称点为 ，根据抛物线的开口向上以及 求解
【小问1详解】
解：
∴抛物线顶点坐标为 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【小问2详解】
将 代入 得
将 代入 得
∴
【小问3详解】
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴对称点为 ，
∵抛物线开口向上， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系
27. 如图，在△ABC中， ， ，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得
到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且 ，连接DE，过点A作
于M．
（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；
（2）取BE 的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得 成立，并证明．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】（1）DM=ME，见解析；（2） ，见解析
【解析】
【分析】（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得
AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM．
（2）连接AD，AE，BM ，可求出 ，当 时，可得 ，由（1）得DM=EM，可
知BM是△CDE的中位线从而得到 ，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，
可知 从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明
∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到 ．
【详解】（1）补全图形如下图，
DM与ME之间的数量关系为DM=ME．
证明：连接AE，AD，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB=45°．
∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°．
∵ 由旋转，∠BCD=90°，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．
∴ ∠ABE=∠ACD．
∵ AB=AC，BE=CD，
∴ △ABE ≌ △ACD．
∴ AE=AD．
∵ AM⊥DE于M，
∴ DM=EM．
（2）
证明：连接AD，AE，BM．
∵ AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 由（1）得DM=EM，
∴ BM是△CDE的中位线．
∴ ，BM∥CD．
∴ ∠EBM=∠ECD=90°．
∵ ∠ABE=135°，
∴ ∠ABM=135°=∠ABE．
∵ N为BE中点，
∴ ．
∴ BM=BN．
∵ AB=AB，
∴ △ABN ≌ △ABM．
∴ AN=AM．
∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD，
∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，
∴ ∠EAD=90°．
∵ DM=EM，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的
关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2．点P，Q为 外两点，给出如下定义：若 上存在
点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是 的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成 的“成对关联点”的
点是______；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）点 在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是 的“成对关联点”，直接写出t
的取值范围；
（3）点G在y轴上．若直线 上存在点H，使得点G，H是 的“成对关联点”，直接写出点G的纵
坐标 的取值范围．
【答案】（1）B和C；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形可确定与点A组成 的“成对关联点”的点；
（2）如图，点E在直线 上，点F在直线 上，当点E在线段 上，点F在线段 上时，
有 的“成对关联点”，求出即可得出 的取值范围；
（3）分类讨论：点G在 上，点G在 的下方和点G在 的上方，构造 的“成对关联
点”，即可求出 的取值范围．
【详解】（1）如图所示：
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
在点B，C，D中，与点A组成 的“成对关联点”的点是B和C，
为
故答案 ：B和C；
（2）∵
∴ 在直线 上，
∵点F与点E关于x轴对称，
∴ 在直线 ，
如下图所示：
直线 和 与 分别交于点 ， ，与直线 分别交于 ， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
由题可得： ，
当点E在线段 上时，有 的“成对关联点”
∴ ；
（3）
如图，当点G在 上时， 轴，在 上不存在这样的矩形；
如图，当点G在 下方时，也不存在这样的矩形；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
如图，当点G在 上方时，存在这样的矩形GMNH，
当恰好只能构成一个矩形时，
设 ，直线 与y轴相交于点K，
则 ， ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： 或 （舍），
综上：当 时，点G，H是 的“成对关联点”．
【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
