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2023－2024 学年度第一学期初三年级练习 3
数学
考生须知：
1.本练习共三道大题28小题，共6页，满分100分．练习时间120分钟．
2.在试卷和答题卡上准确填写姓名、学号．
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5.考试结束，将答题卡交回．
一、单选题（每题2分，共16分）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 将抛物线 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表
达式是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 如图，圆心角 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图2中的图案可以由图1中的基本图案以点 为旋转
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中心，顺时针（或逆时针）旋转角 ，依次旋转若干次形成，则旋转角 的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
.
A B. C. D.
6. 如图， 是 的一条弦，点C是 上一动点，且 ，点E，F分别是 ， 的中
点，直线 与 交于G，H两点，若 的半径是4，则 的最大值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 抛物线 上，部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 ……
则下列结论正确的有（ ）
① ；
② ；
③抛物线的对称轴为直线 ；
④方程 的两个根满足 ， ．
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 下面三个问题中都有两个变量y与x：
①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间 与平均速度 ；
②用绳子围成周长为 的矩形，矩形的一边长 与它的面积 ；
③正方形边框的边长 与面积 ；
其中，变量y与x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可用如图所示的函数图象表示的有（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ②③
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 方程 的根为______．
10. 一个扇形 弧的长为 ，半径为6，则此扇形的圆心角度数为___________ ，此扇形的面积为
___________．
11. 如图， 是半径为4的 的弦， 于点 ，交 于点 ，若 ，则弦 为_____
12. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是________．
13. 写出一个函数值有最大值，且最大值是2的二次函数解析式______．
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是 ， ， 是 的外接圆，则
点M的坐标为___________．
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15. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有
勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，
股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角
三角形内切圆的半径为____步．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 过点 、 ， 的半径为1（ 为坐标原
点），点 在直线 上，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则切线长 的最小值为______．
三、解答题（本题共68分．第17题－22题每小题5分，第23－26题每题6分，第27－28题
每题7分．）
17. 解方程： ．
18. 求证：圆内接四边形的对角互补．
己知：如图，四边形 内接于 ．
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求证： ．
请根据上图中的辅助线，完成定理的证明过程．
证明：
19. 如图， 内接于 ， 是 的直径， ，垂足为 ，求证： ．
20. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在坐标系中画出该函数图象，并结合函数图象回答，当 时，x的取值范围是__________．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
22. 已知： 和圆外一点P，求作：过点P的 的切线．
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作法：①连接 ；
②分别以O，P为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接 ，交 于点C．
③以C为圆心， 长为半径作 ，交 于点A，B；
④作直线 ．
所以直线 为 的切线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
的
（2）完成下面 证明．
证明：连接 ， ．
∵ ， ，
∴MN是线段OP的垂直平分线（__________）（填推理的依据）．
∴ ．
∵OP为 的直径，A，B在 上
∴ （__________）（填推理的依据）．
∴半径 ，半径 ．
∴直线 ， 为 的切线（__________）（填推理的依据）．
23. 2021年公司某产品产量为5000件，公司规划到2024年底生产产品的产量达到16500件．经过两年，
到2023年底年产量达到了11250件，保持这样的增长率不变，到2024年底是否能完成公司的五年规划？
请计算说明．
24. 如图， 是 的直径，直线 经过 上的点 ， 于点 ，交 于 ， 平分
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．
（1）求证：直线 是 的切线；
的
（2）若 ， ，求 长．
25. 实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投掷，从投掷到着
陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）的相关数据信息，
如下所示：
信息1：甲投掷时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 4 6 8 10
竖直距离 1.87 2.95 3.31 2.95 0.07
建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下：
信息2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；
信息3：乙投掷后，实心球的水平距离为 时达到了竖直高度的最大值 ．
根据以上信息，回答问题：
（1）直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值_________
（2）求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系；
（3）记甲实心球成绩为 ，乙实心球成绩为 ，则 _________ （填“ ”、“ ”或“ ”）．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
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的
（2）若 ， ，比较 与 大小，并说明理由；
（3）若对于 ， ，都有 ，直接写出m的取值范围．
27. 如图，在△ABC中， ， ，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得
到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且 ，连接DE，过点A作
于M．
（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；
（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得 成立，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中， 的半径为2．点P，Q为 外两点，给出如下定义：若 上存在
点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是 的“成对关联点”．
（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成 的“成对关联点”的
点是______；
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（2）点 在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是 的“成对关联点”，直接写出t
的取值范围；
（3）点G在y轴上．若直线 上存在点H，使得点G，H是 的“成对关联点”，直接写出点G的纵
坐标 的取值范围．
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