文档内容
北师大实验中学 2023-2024 学年度第二学期期中试卷
初二年级数学
1．本试卷共12页，共四道大题，29道小题：答题纸共3页．满分120分．考试时间100分
考
钟．
生
2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号．
须
3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
知
4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
A卷
一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意．每小
题3分，共24分）
1. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加法、二次根式的性质、二次根式的除法和乘法，灵活运用相关运算
法则成为解题的关键．
直接根据二次根式的加法、二次根式的性质、二次根式的除法和乘法法则逐项判断即可．
【详解】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，即A选项错误；
B. ，即B选项错误；
C. ，即C选项错误；
D. ，即D选项正确．
故选D．
2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 1， ，3
【答案】C
第1页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、 ，故不是直角三角形；
B、 ，故不是直角三角形；
C、 ，是直角三角形；
D、 ，故不是直角三角形；
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，
确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．
3. 在平面直角坐标系 中，若一次函数 的图像由直线 向上平移4个单位长度得
到，则一次函数 的图像经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键．
由于向上平移，则 ，再根据图像位置与系数的关系即可解答．
【详解】解：由题得：在 中， ， ，
∴位于第一、二、四象限．
故选：B．
4. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
第2页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确，符合题意；
D、两组对边相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
5. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若 ，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位线的性质求出 的长度，再由菱形四条边相等的性质运算周长即可．
【详解】∵E，F分别是AD，BD的中点
∴ 为 的中位线
∴
又∵ 是菱形
∴
∴
故答案选：D.
【点睛】本题主要考查了中位线的性质，菱形的性质，熟悉掌握中位线的比值关系是解题的关键．
6. 如图，在离水面点A高度为 的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 的长为 ，此
人以 的速度收绳， 后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）．
第3页/共41页
学科网（北京）股份有限公司A. 9米 B. 8米 C. 7米 D. 6米
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键．
先在 中运用勾股定理求得 ，再运用勾股定理求得 ，最后根据线段的和差
求得 即可解答．
【详解】解:在 中， ， ,
∴ ，
∵此人以 的速度收绳， 后船移动到点D的位置，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即船向岸边移动了 ．
故选A．
7. 直线 与直线 的交点P的横坐标为3，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 点P的纵坐标为
C. 关于x、y的方程组 的解为
D. 当 时， 的解集为
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了两直线相交问题，求出直线经过点P的坐标是解决本题的关键．
第4页/共41页
学科网（北京）股份有限公司将 代入 中，得出y的值，即可确定点P的坐标，然后代入 可判定A选项；根
据点P的纵坐标可判定B选项；两直线相交坐标是两对应方程组的解的x、y值可判定C选项，；C、根据
一次函数k的值判断增减性；将P点坐标代入进行判断即可．
【详解】解：将 代入 中，可得 ，即点P的坐标为 ；
A、将点P的坐标 代入 ，可得 ，故选A项说法错误；
B、由点P的坐标为 ，则点P的纵坐标为 ，故B选项说法正确；
C、由点P的坐标为 ，关于x、y的方程组 的解为 ，故选项C说法正确；
D、直线 与直线 的交点P的横坐标为3且 ，则 的
解集为 ，故选项D说法正确；
故选A．
8. 如图，在等腰 中， ，D是 上一动点，以 为底，在 的右侧作等腰
，若 ，则 的最小值为（ ）．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨
论思想成为解题的关键．
先根据勾股定理求得 ，然后分当点D在点B处以及当点D在点C处两种情况可说明 垂直平
第5页/共41页
学科网（北京）股份有限公司分 ，再运用相似三角形的判定与性质说明点E的运动轨迹，最后根据点到直线的距离垂线段最短即可
解答．
【详解】解：∵在等腰 中， ，
∴ ,
如图1：当点D在点B处时，依题意作等腰 ,
∵ 是等腰直角三角形
∴点 为 的中点,
∴ ,
当点D在点C处时,依题意作等腰 ，
∴ ,
如图2：设 的中点为F，连接 ，
∵等腰 ，等腰 ，
第6页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴ , ，
∴ ,即 ,
∴ ，
∴ ,
∴
∴ 所在的直线为点E的运动轨迹，
如图1：连接 交 于点 ，
∴ 、 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ 的最小值即为 的长，
∴ ．
故选B．
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）
9. 函数y= 的自变量x的取值范围是________ ．
【答案】x≥7
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【详解】由题意得： ，
解得x≥7，
故答案为：x ≥7．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握知识点是解题的
关键．
10. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________．
第7页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．
【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长 ，
∴点A表示的实数是 ，
故答案为： ．
【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．
11. 已知菱形 的两条对角线 ， 交于点 ，若 ， ，则菱形 的面积为
______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形面积计算公式是解题的关键．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，
∵菱形 的两条对角线 ， 交于点 ， ， ，
，
故答案为：10．
12. 已知一次函数 （k，b是常数）的图象上有两点 ， ，若当
第8页/共41页
学科网（北京）股份有限公司时， ，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据当 时， ，得到 ，求解即可．
【详解】解：∵ 时， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
13. 如图，直线 与 交于点 ，则不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法解不等式即可．
【详解】解：由图象可知：当 时，直线 在直线 的上方，
∴不等式 的解集为： ．
故答案为： ．
14. 如图1，在 中， ， 是边 上一动点，设 ， 两点之间的距离为 ， ， 两点
之间的距离为 ，表示 与 的函数关系的图像如图2所示．则线段 的长为___________，线段 的
长为___________．
第9页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】从图像得出看，当 时， 重合，此时 ，则 ，即当
时， 为以点 为顶点腰长为 的等腰三角形，进而求解．
【详解】解：从图像看，当 时， ，
即 时， ，
当 时， ，即 时， 重合，
此时 ，则 ，
即当 时， 为以点 为顶点腰长为 的等腰三角形，如下图：
过点 作 于点 ，
在 中， ，
则 ，
在 中， ，
第10页/共41页
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图像，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图像和图形的对应关系，
进而求解．
15. 将矩形 对折使 与 重合，得到折痕 ，再次折叠，使点A落在折痕 上，并使折痕
经过点D，得到折痕 和线段 ，记 与 的交点为H．若 ，则 ______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形成为解题
的关键．
由折叠的性质可得： ，在根据特殊角的三角函数值可得
，进而得到 、 ，再解直角三角形得到 , ，最后根
据线段的和差即可解答．
【详解】解：由折叠的性质可得： ， ，
∴ ,
∴ ,
∴ ，
第11页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
，
∴ ．
故答案为2．
16. 如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点A作 的垂线交 于P．若
， ，则下列结论：
① ；
②点D到直线 的距离为 ；
③ ；
④正方形 的面积为 ；
以上结论中，正确的序号是______．
【答案】①④
第12页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股
定理的应用等知识点，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．
根据正方形的性质可得 ，再根据同角的余角相等求出 ，然后利用“边角边”证
明 和 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ，然后求出
，可判断①正确；如图：过D作 交 延长线于 ，根据等腰直角三角形的性质
求出 ，再利用勾股定理列式求出 的长，再根据勾股定理求得 即可判断出②．根据
列 式 计 算 即 可 判 断 ③ ； 先 计 算 出 、
，然后根据勾股定理求得 即可判定④
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，即 ，故①正确；
如图：过D作 交 延长线于 ，
∵ ， ，
第13页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∵过点A作 的垂线交 于P．
∴ ,解得： （舍弃负值），
∴点D到直线 的距离为 ；故②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ,故③错误；
∵ , ,即 ，
∴ ,即正方形 的面积为 ，故④正确；
综上，正确的有①④，
故答案为①④
三、解答题（共10道小题，第17，18，20题每题5分，第19， 21，22，24题每题6分，第
23，25，26题每题7分，共60分）
17. 计算： ．
第14页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根
式即可．
【详解】解：原式 ．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式以及完全平方公式进行运算即可．
【详解】解：
19. 下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过程．
已知：等腰 ， ．
求作：点C，使得四边形ABCD为菱形．
作法：①作 的角平分线 ，交线段 于点O；
②以点O为圆心， 长为半径圆弧，交 的延长线于点C；
③连接 ，所以四边形 为菱形，点C即为所求．
根据小张同学设计的作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）
第15页/共41页
学科网（北京）股份有限公司的
（2）完成下面 证明．
证明：∵ ， 平分 ，
∴ ， ，（ ）（填推理的依据）
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形（ ）（填推理的依据）
∵ ，
∴四边形 为菱形（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析 （2）三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直
的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】（1）按照题意进行作图即可；
（2）先由三线合一定理得到 ， ，再根据平行四边形和菱形的判定定理证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵ ， 平分 ，
∴ ， ，（三线合一定理）
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵ ，
∴四边形 为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
故答案为：三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，三线合一定理，菱形的判定，平行四边形的判定等等，灵
第16页/共41页
学科网（北京）股份有限公司活运用所学知识是解题的关键．
20. 如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ．
求证：四边形 是矩形．
【答案】见详解
【解析】
【分析】由平行四边形的性质，得到 ，结合 ， ，即可得到结论成立．
【详解】解：在 中，有 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质
进行证明．
21. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 和 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴上一点，且 的面积为3，求点C的坐标．
第17页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积：
（1）利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）设点C的坐标为 ，则 ，再根据三角形的面积公式可得到关于m的方程，即可求解．
【小问1详解】
解：把点 和 代入 得：
，解得： ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：设点C的坐标为 ，则 ，
∵ 的面积为3，
∴ ，
解得： 或2，
∴点C 的坐标为 或 ．
22. 一辆电动车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地， 小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路
线每小时行驶72千米匀速驶向B地，货车到达B地装填货物耗时15分钟，然后立即按原路返回A地．电
动车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发的时间x（时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答
下列问题：
第18页/共41页
学科网（北京）股份有限公司（1）A，B两地之间的距离是_________千米， _________；
（2）直接写出线段 的解析式，并指出自变量x的取值范围；
（3）求电动车与货车第二次相遇的时间．
【答案】（1）54,1
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、从函数图象获取信息、一次函数与方程组的关系等知识点，
正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）根据货车从A地到B地花了 小时结合路程、速度、时间的关系即可求出A、B两地的距离；根据货
车装货花了15分钟即可求出a的值；
（2）利用待定系数法即可求得函数解析式，再根据a的值以及函数图像即可解答；
（3）先求出直线 的解析式，然后求出其与线段 的解析式的交点横坐标即可．
【小问1详解】
解： 千米，
∴A，B两地之间的距离是54千米，
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
第19页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故答案为：54，1．
【
小问2详解】
解：设线段 所在直线的解析式为 ，
将 ， 代入 得：
，解得： ，
∴线段 所在直线的函数解析式为 ．
【小问3详解】
解：由题意得，电动车的速度为 千米/小时，
则 ，即C点坐标为 ，
设线段 所在直线的解析式为 ，
将 代入 得：
，解得： ，
∴线段 所在直线的函数解析式为 ，
联立 ，解得： ．
所以电动车与货车第二次相遇的时间为 ．
第20页/共41页
学科网（北京）股份有限公司23. 如图，在四边形 中， ，对角线 交于点 平分角 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明 ，继而判断四边形 是平行四边形，结合
得证；
（2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
第21页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定
理，熟练掌握菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与直线 交于点 ．
（1）求k，m的值；
（2）已知点 ，过点P作垂直于y轴的直线与直线 交于点M，过点P作垂直于x轴的直线
第22页/共41页
学科网（北京）股份有限公司与直线 交于点N（P与N不重合）．若 ，结合图象，求n的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） 且
【解析】
【分析】本题是一次函数图象的相交于平行的问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式：
（1）把A点坐标代入 中，求得m的值，再把求得的A点坐标代入 中，求得k的值；
（2）根据题意，用n的代数式表示出M、N点的坐标，再求得 的值，根据 ，列出n
的不等式，再求得结果．
【小问1详解】
解：把点 代入 得： ，
∴点 ，
把点 代入 得：
，
解得： ；
【小问2详解】
解：如图，
第23页/共41页
学科网（北京）股份有限公司由（1）得：直线 的解析式为 ，
∵点 ， 轴， 轴，
∴点 ，点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵P与N不重合，
∴ ，即 ，
∴n的取值范围为 且 ．
25. 把一次函数 （k、b为常数， ）．在y轴右侧的图象沿y轴向左翻折，与原来在y轴及右
侧的图象组合，得到一个新的函数图象，这个新函数的解析式为 （k、b为常数， ）．例
如： 的图象如图①所示．
第24页/共41页
学科网（北京）股份有限公司（1）请在图②中画出函数 的图象，并直接写出该图象与y轴交点A的坐标_________；
（2）若函数 的图象与y轴交于点C，与函数 的图象交于B，D两点（点B在点D
的右侧），求四边形 的面积；
（3）已知函数 与函数 ，若对于 ，都有 ，直接写出k
的取值范围．
【答案】（1）见详解，
（2）3 （3） 或
【解析】
【分析】本题主要考查了含绝对值的一元一次函数图像以及性质，利用两函数求一元一次不等式的解集．
（1）先求出当 时， ，当 时， ，即可画出函数右边的图像，然后y轴右侧的图象沿y
轴向左翻折即可得出 的图象，再根据函数图像写出点A的坐标即可．
（2）分别求出点B，点C，点D的坐标，即可求四边形的面积．
（3）分两种情况，当 时和当 时，分别解出关于k的不等式解题即可．
解不等式即可求解．
【小问1详解】
解： 当 时， ，当 时， ，
∴函数 的图象如下：
第25页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴点
故答案为： ．
【小问2详解】
令 则 ，
∴ ，
令 ，
解得： ， ，
， ，
∴ ， ，
∴ ．
【小问3详解】
①当 时，
，
解得： ，
②当 时，
，
第26页/共41页
学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
那么， ，
若 时，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
那么， ，
综上所述，k的取值范围为： 或 ．
26. 如图1，在正方形 中，点 是直线 上一点，点 是直线 上一点（ 与 不重合），
，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ．
（1）如图，点 在线段 的延长线上，点 在线段 的延长线上，
①记 ，求 的度数（用含 的式子表示）；
②用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）当点 在射线 上，点 在直线 上时，直接用等式表示 ， ， 之间的数量关系．
第27页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ；② ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用正方形和等腰三角形的性质，进行角的等量代换求解即可得到①；过 作
于点 ，利用正方形的性质证出 是等腰直角三角形，得到 ，通过勾股定理建立等量关
系可得到 和 ，接着判定出 ，即可得到 ，
代入 即可得到关系式；
（2）根据题意作出图象后，过 作 于点 ，利用等腰三角形的性质可以得到 ，利
用勾股定理求出 ，再根据
，代入求解即可．
【小问1详解】
①解：∵ 是正方形， 为对角线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 与 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
②解：过 作 于点 ，如图所示：
第28页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∵ 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由①得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴在 和 中
，
第29页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴ （ASA），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由题意作图，过 作 于点 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 与 关于直线 对称，
∴ ，
第30页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【点睛】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判
定，轴对称图形，勾股定理等知识点，合理作出辅助线进行边的转化是解题的关键．
B卷
四、解答题（第27题5分，第28题7分，第29题8分，共20分）
27. 先观察下列等式，再回答问题：
①
②
③
（1）根据上而三个等式提供的信息，请你猜想 的结果：
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：
（3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如 ，计算：
的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）99．
【解析】
【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；
（2）利用前面三个等式的规律求解；
（3）根据（2）中结论得到 ，然后再求出最大整数即可．
第31页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）猜想 ；
（2）第n个式子为： ；
（3）
=
=
=
=
=99．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算．
28. 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底等高的两个平行四边形的面积
相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．
（1）根据信息将以下小明的证明思路补充完整：
①如图1，在 中， ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是正方形．延
第32页/共41页
学科网（北京）股份有限公司长 交 于点M，过点C作 交 的延长线于点N，可得四边形 的形状是
_________；
②在图1中利用“等积变形”可得 _________；
③如图2，将图1中的四边形 沿直线 向下平移 的长度，得到四边形 ，即四边形
；
④设 交 于点T，延长 交 于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得 _________，
则有 _________．
⑤同理可证 ，因此得到 ，进而证明了勾股定理．
（2）小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：
图1中 _________ _________，则有_________ ，由于平行四边形的对边相等，从而四边
形 沿直线 向下平移 的长度，得到四边形 ．
【答案】（1）①平行四边形，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点、平移的
性质，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键．
（1）根据正方形的性质易证四边形 是平行四边形，再根据等底等高可得
；再证明 可得 ；通过平移的性质可得
、 进而完成解答；
（2）直接根据全等三角形的判定与性质即可解答．
第33页/共41页
学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：①∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴图1中的四边形 沿直线 向下平移 的长度，得到四边形 ，即四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∴同理可证 ，
∴ ．
故答案为：平行四边形， ．
【小问2详解】
解：由（1）可知： ，
∴ ．
故答案为 ．
29. 在平面直角坐标系 中，对于正方形 和它边上的动点P，以 为斜边作等腰 且
第34页/共41页
学科网（北京）股份有限公司O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形 的“相关点”．已知 ， ，
， ，这里 ．
（1）如图1，若 ，当点P在正方形的边 上运动时，设点P关于正方形 的“相关点”为点
Q．
①若点Q恰好也在正方形 的边上，这样的点P的个数是_________；
A．0个；B．1个；C．2个；D．4个
②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
（2）当 时，对于正方形 和它边上的动点P，则所有点P关于正方形 的“相关点”
组成图形的面积为_________；
（3）如图2， ， ，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段 上有且只有
一个P关于正方形 的“相关点”，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①C；②点 的坐标为
（2）24 （3） 或 或
【解析】
的
【分析】（1）①点 在正方形 边 上运动，由于O，P，Q三点按顺时针排列，则点 不可能在
第35页/共41页
学科网（北京）股份有限公司、 上，再分若点 在 上，若点 在 上，两种情况结合正方形的性质，等腰直角三角形的
性质讨论即可；
②如图，延长 至 ，使 ，分别过 、 作 交 于点 ， ，交
于点 ，可知 ， ， 为等腰直角三角形，易证 ，由题
意可知 ， ，可得 ，由此可设 ，结合全等三角形的性质可知
，再根据中点坐标即可求得点 的坐标；
（2）由（1）可知点 在正方形的边 上运动时，点 的坐标为 ，即：点
在 的中垂线上运动，且端点在 ， 的中点处，亦即：点 在 的中位线 上运动，可知
，可得点 关于正方形 的“相关点” ，在以 为边长的正方形 的边上，进
而可得答案；
（3）由（2）可知，点 关于正方形 的“相关点” ，在以 为边长的正方形 的边上，由
（2）可知 、 、 、 分别是正方形 四条边上的中点，则 ， ，
， ，要使得线段 上有且只有一个 关于正方形 的“相关点”，
只需线段 与正方形 有且只有一个交点，分三种情况当点 恰好在 上时，当 与 有一
个交点时，当 与 有一个交点时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：①点 在正方形的边 上运动，由于O，P，Q三点按顺时针排列，
则点 不可能在 、 上，
第36页/共41页
学科网（北京）股份有限公司点 在正方形的边 上运动，若点 在 上，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
由正方形的性质可知， ，则 也是等腰直角三角形，
则点 与点 重合，
点 在正方形的边 上运动，若点 在 上，同理可知点 与点 重合，
即：若点 恰好也在正方形 的边上，这样的点 有2个，
故答案为：C．
②如图，延长 至 ，使 ，分别过 、 作 交 于点 ， ，交
于点 ，则 ，
∵ 为等腰直角三角形，则 ，
∴ 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，
∴ ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
第37页/共41页
学科网（北京）股份有限公司由题意可知 ， ，设 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴ ，
∵点 在线段 上，
则可设 ，
∵ ，
∴ ， ，则
∵ ，即 为 的中点，
∴点 的坐标为 ，
又∵ ，
∴点 的坐标为 ；
【小问2详解】
由（1）可知点 在正方形的边 上运动时，点 的坐标为 ，即：点 在
的中垂线上运动，且端点在 ， 的中点处，
亦即：点 在 的中位线 上运动，
∴ ，
第38页/共41页
学科网（北京）股份有限公司∴点 关于正方形 的“相关点” ，在以 为边长的正方形 的边上，
则当 时，对于正方形 和它边上的动点 ，则所有点 关于正方形 的“相关点”组
成图形的面积为 ，
故答案为：24；
【小问3详解】
由（2）可知，点 关于正方形 的“相关点” ，在以 为边长的正方形 的边上，
（2）可知 、 、 、 分别是正方形 四条边上的中点，
则 ， ， ， ，
要使得线段 上有且只有一个 关于正方形 的“相关点”，
只需线段 与正方形 有且只有一个交点，
∵ ， ，
当 从0开始增大时，正方形 开始变大，点 、 分别从 ， 向下平移，
设 解析式为 ，代入 、 得 ，解得 ，
的
∴ ，
第39页/共41页
学科网（北京）股份有限公司当点 恰好在 上时，如图，
此时 ，可得： ，
此时 在 上，则 ，解得： ；
当 与 有一个交点时， ，解得： ，
当 与 有一个交点时， ，解得： ，
第40页/共41页
学科网（北京）股份有限公司综上，当 或 或 时，要使得线段 上有且只有一个 关于正方形 的“相
关点”．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，一次函数，全等三角形的判定及性质，
作出图形，利用数形结合的数学思想，进行分类讨论是解决问题的关键．
第41页/共41页
学科网（北京）股份有限公司
