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北京市密云区 2019-2020 学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题 （本题共16分，每小题2分）
1. 已知 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 得到x= ，再代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴x= ，
∴ = ．
故选：B．
【点睛】考查了求代数式的值，解题关键是根据 得到x= ，再代入计算即可．
2. 二次函数 图像的顶点坐标为( )
A. (0，-2) B. (-2，0) C. (0，2) D. (2，0)
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．
【详解】解：抛物线y=x2-2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（0，-2），
故选A．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为 ，对称轴为x=h．
3. 在Rt ABC中，∠C＝90°，若 ，则∠B的度数是（ ）
△
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的函数值 可得∠A度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B度数．
【详解】解：∵ ，
∴∠A=30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B=90°-∠A=60°
故选：C．
【点睛】此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题
的关键.
4. 在数轴上，点 所表示的实数为 ，点 所表示的实数为 ， 的半径为 ．那么下列说法中不正确
的是（ ）
A. 当 时，点 在 外 B. 当 时，点 在 内
C. 当 时，点 在 内 D. 当 时，点 在 外
【答案】C
【解析】
【分析】根据当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
【详解】A．a＜1时，d＞2，点B在⊙A外，故A正确；
B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内，故B正确；
C．当1＜a＜5时，点B在⊙A内，故C错误；
D．当a＞5时，点B在⊙A外，故D正确．
故选C．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当
d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5. 如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）
A. 点O B. 点P C. 点M D. 点N
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的
连线上．
【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如
图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换 的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，
点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．
6. 已知反比例函数的表达式为 ，它的图象在各自象限内具有 y随x的增大而增大的特点，则k
的取值范围是（ ）．
A. k>-2 B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】先根据反比例数 的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k
的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例数 的图象在每一象限内y随x的增大而增大，
∴ ＜0，解得k＜-2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数 （k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支
分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键
7. 如图，在⊙O中，弦BC // OA，AC与OB相交于点M，∠C=20°，则∠MBC的度数为（ ）．
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】由圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）得到∠AOB，再由平行得∠MBC．
【详解】解：∵∠C=20°
∴∠AOB=40°
又∵弦BC∥半径OA
∴∠MBC=∠AOB =40°,
故选：B．
【点睛】熟练掌握圆周角定理，平行线的性质是解答此题的关键．
8. 如图，矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设 EPQ、 GKM、 BNC的面积依次为S、S、S．若S+S =30，则S 的值为（ ）．
1 2 3 1 3 2
△ △ △
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的性质和平行四边形的性质判断出 AQE∽△AMG∽△ACB，得到 ,
△
，再通过证明得到 PQE∽△KMG∽△NCB，利用面积比等于相似比的平方，得到 S 、
1
△
S、S 的关系，进而可得到答案.
2 3
【详解】解：∵矩形ABCD是由三个全等矩形拼成的，
∴AE=EG=GB=DF=FH=HC，∠AEQ=∠AGM=∠ABC=90°，AB∥CD,AD∥EF∥GH∥BC
∴∠AQE=∠AMG=∠ACB,
∴ AQE∽△AMG∽ ACB，
△ △
∴ ,
∵EG= DF=GB=FH AB∥CD,（已证）
∴四边形DEGF，四边形FGBH是平行四边形，
∴DE∥FG∥HB
∴∠QPE=∠MKG=∠CNB，
∴ PQE∽△KMG∽△NCB
△
∴，
∴ ，
∵S+S =30，
1 3
∴S=12．
2
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形相似的性质的综合应用，能找到对应边的比
是解答此题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得 ，从而计算出EF的值,即可得到DF的值．
【详解】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2，
∴ ，即 ，
∴ = ，
∴EF=2，
∵DE=2
∴DF=DE+EF=2+2=4故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
10. 若边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OB，CO，由题意得∠BOC=90°，OC=OB，在Rt BOC中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OB，OC，如图 △
∵四边形ABCD是正方形且内接于⊙O
∴∠BOC=90°，
∴在Rt BOC中，利用勾股定理得：
△
∵OC=OB，正方形边长=2
∴利用勾股定理得： 则
∴ ．
∴⊙O的半径是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．
11. 在二次函数中 ，y与x的部分对应值如下表：
x ...... -1 0 1 2 3 4 ......
y ...... -7 -2 m n -2 -7 ......则m、n的大小关系为m_______n．（填“>”,“=”或“<”）
【答案】=
【解析】
【分析】根据表格的x、y的值找出函数的对称轴，即可得出答案．
【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线x＝ ，
∵m，n分别为点（1，m）和（2，n）的纵坐标，
两点关于直线x＝ 对称，
∴m=n，
故答案为：=．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键．
12. 如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据圆周角定理可知∠AED=∠ABC，再根据正切值的定义求解即可．
【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数，解题的关键是找到∠AED=∠ABC
13. 如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______【答案】8m
【解析】
【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得 ，即 ，解之可得．
【详解】如图，
由题意知∠BAO=∠C=90°，
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ ，即 ，
解得：CD=8，
故答案为：8m．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14. 如图，反比例函数 的图象位于第一、三象限，且图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，请
你在第三象限的图象上取一个符合题意的点，并写出它的坐标______________．【答案】满足 的第三象限点均可，如（-1，-2）
【解析】
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．
【详解】解：∵图象上的点与坐标轴围成的矩形面积为2，
∴|k|=2，
∴反比例函数y=
的图象在一、三象限，k＞0，
∴k=2，
∴此反比例函数的解析式为 ．
∴第三象限点均可，可取：当x=-1时，y=-2
综上所述，答案为：满足 的第三象限点均可，如（-1，-2）
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴引垂线，
所得矩形的面积为|k|．
15. 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD= ．以A为圆心，AD的长为半径做弧交BC边于点E，则图中
的弧长是_______.
【答案】 π
【解析】【分析】根据题意可得AD=AE= ，则可以求出sin∠AEB，可以判断出∠AEB=45°，进一步求解
∠DAE=∠AEB=45°，代入弧长计算公式可得出弧DE的长度．
【详解】解：∵以AD为半径画弧交BC边于点E，AD=
∴AD=AE= ，
又∵AB=1，
∴
∴∠AEB=45°，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB=45°，
故可得弧DC的长度为= = π，
故答案为： π．
【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出∠DAE的度数，要求我们熟练掌握弧长的计
算公式及解直角三角形的知识．
16. 已知：∠BAC．
（1）如图，在平面内任取一点O；
（2）以点O为圆心，OA为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作线段DE的垂线交⊙O于点P；
（4）连接AP，DP和PE．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：
① ADE是⊙O的内接三角形； ② ；
△
③ DE=2PE； ④ AP平分∠BAC．
所有正确结论的序号是______________．
【答案】①④
【解析】
【分析】①按照圆的内接三角形的定义判断即可，三顶点都在一个圆周上的三角形，叫做这个圆周的内接
三角形；
② 利用垂径定理得到弧长之间的关系即可；
③设OP与DE交于点M，利用垂径定理可得DE⊥OP，DE=2ME，再利用直角三角形中斜边长大于直角边，
找到PE与与ME的关系，进一步可以得到DE与PE的关系；
④根据 ，即可得到∠DAP=∠PAE，则AP平分∠BAC．
【详解】解：①点A、D、E三点均在⊙O上，所以 ADE是⊙O的内接三角形，此项正确；
② ∵DE⊥DE交⊙O于点P △
∴
并不能证明 与 、 关系，
∴ 不正确；
③设OP与DE交于点M
∵DE⊥DE交⊙O于点P
∴DE⊥OP， ME= DE（垂径定理）∴△PME是直角三角形
∴ME＜PE
∴ ＜PE
∴DE＜2PE
故此项错误.
④∵ （已证）
∴∠DAP=∠PAE（同弧所对的圆周角相等）
∴AP平分∠BAC．
故此项正确.
故正确的序号为：①④
【点睛】本题考查了圆中内接三角形定义、垂径定理与圆周角定理的应用，熟练掌握定理是解决此题的关
键.
三、解答题（共68分，其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）
17. 计算： ．
【答案】5
【解析】
【分析】求算术平方根、负指数幂、零指数幂，再代入特殊角的三角函数值即可．
【详解】原式＝
=5-1+1
=5
【点睛】熟练掌握实数的运算及熟记特殊三角函数值是解答此题的关键.
18. 已知：在 ABC中，点D、点E分别在边AB、AC上，且DE // BC，BE平分∠ABC．
△
（1）求证：BD=DE；（2）若AB=10，AD=4，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）15
【解析】
【分析】（1）利用平行线性质及角平分线线定理得到∠DEB=∠DBE，再利用等腰三角形判定得到
BD=DE ，即得到答案.
（2）利用相似的判定得到 ADE∽△ABC，再利用相似的性质得到 ，代入值即可得到答案.
△
【详解】（1）证明： ∵DE // BC，
∴∠DEB=∠EBC
∵ BE平分∠ABC
∴∠DBE=∠EBC
∴∠DEB=∠DBE
∴BD=DE
(2) 解：∵AB=10，AD=4
∴BD=DE=6
∵DE // BC
∴ ADE∽△ABC
△
∴
∴
∴BC=15
【点睛】本题考查平行线性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定、性质，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
19. 已知二次函数y = x2 -4x + 3．（1）用配方法将y = x2 -4x + 3化成y = a(x - h)2 + k的形式；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．
（3）结合函数图象，直接写出y＜0时自变量x的取值范围 ．
【答案】(1) ；（2）见解析；（3） 1 < x < 3
【解析】
【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；
（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；
（3）运用数形结合思想解答即可．
【详解】(1)
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象如下：
（3）y＜0即在x轴下方的点，由图形可以看出自变量x的取值范围为： 1 < x < 3
【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的
关键．
20. 已知：如图，在⊙O中，弦 交于点 ， ．求证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由圆周角定理可得∠ADE=∠CBE，从而利用AAS可证明△ADE≌△CBE，继而可得出结论．
【详解】证明:∵同弧所对的圆周角相等，
在 和 中
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是由圆周角定理得出
∠ADE=∠CBE．
21. 已知：在 ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，分别过点A和点C作BC、AD边的平行线交于点E．
△
（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）连结BE，若 ，AD= ，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件证四边形ADCE是平行四边形，再加上∠ADC=90°，证平行四边形ADCE
是矩形；
（2）根据 ，得到BD与AB的关系，通过解直角三角形，求AD长，则可求EC的值，在
Rt△BDE中，利用勾股定理得BE.
【详解】（1）证明：∵AE // BC，CE // AD
∴ 四边形ADCE 是平行四边形
∵AD ⊥BC，AB=AC
∴∠ADC=90°，
∴ 平行四边形ADCE是矩形
（2）解：连接DE,如图：
在Rt ABD中，∠ADB =90°
△
∵
∴
∴设BD=x，AB=2x
∴AD=
∵AD=∴x=2
∴BD=2
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BC=2BD=4
∵矩形ADCE中，EC=AD= , BC=4
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE= = =
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、等腰三角形性质的应用，
熟练掌握相关性质和定理是解决问题的关键．
22. 某次足球比赛，队员甲在前场给队友乙掷界外球．如图所示：已知两人相距8米，足球出手时的高度
为2.4米，运行的路线是抛物线，当足球运行的水平距离为2米时，足球达到最大高度4米．请你根据图
中所建坐标系，求出抛物线的表达式．
【答案】y= -0.4x2+4
【解析】
【分析】根据题意设抛物线的表达式为y=ax2+4 ( )，代入（-2,2.4），即可求出a．
【详解】解：设y=ax2+4 ( )
∵ 图象经过（-2,2.4）
.
∴ 4a+4=2 4
a= -0.4
∴ 表达式为y= -0.4x2+4
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型.
23. 在平面直角坐标系中，直线 y = x与反比例函数 的图象交于点A（2，m）.（1）求m和k的值；
（2）点P（x ，y ）是函数 图象上的任意一点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x于点
P P
B.
①当y = 4时，求线段BP的长；
P
②当BP 3时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标y 的取值范围．
P
【答案】（1）m=2，k=4 ；（2）①BP=3 ； ② y ≥4或0<y ≤1
P P
【解析】
【分析】（1）将A点坐标代入直线y = x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式
中求出k的值；
（2）①由题可知点P 和点B的纵坐标都为4，将纵坐标分别代入两个函数解析式得相应横坐标，即可得
到点的坐标,求出BP.②根据函数与不等式的关系，即可得到答案.
【详解】（1）解：将A（2，m）代入直线 y = x，得m=2,所以A(2,2),
将A（2,2）代入反比例函数 ，得： ，则k=4
.
综上所述，m=2，k=4
（2）①解：作图：
当y = 4时
P
点P 和点B的纵坐标都为4当将y=4，代入 得x=1,即P点坐标（1,4）
当将y=4，代入y=x得x=4,即B点坐标（4,4）
∴BP=3
②由图可知BP 3时，纵坐标y 的范围： y ≥4或0<y ≤1
P P P
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数参数的求法，以及函数与不等式的关系，掌握解题方法是解答
此题的关键.
24. 已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的
延长线于点F .
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连结BC，若⊙O的半径为2，tan∠BCD= ，求线段AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由垂径定理可证AB⊥CD，由CD∥BF，得AB⊥BF，则BF是⊙O的切线；
（2）连接BD，根据同弧所对圆周角相等得到∠BCD =∠BAD，再利用圆的性质得到∠ADB=90°，
tan∠BCD= tan∠BAD= ，得到BD与AD的关系，再利用解直角三角形可以得到BD、AD与半径的关
系，进一步求解即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵ ⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点
∴ AB ⊥CD, ∠AED =90°
∵ CD // BF∴ ∠ABF =∠AED =90°
∴ AB⊥BF
∵ AB是⊙O的直径
∴ BF是⊙O的切线
（2）解：连接BD
∵∠BCD、∠BAD是同弧所对圆周角
∴∠BCD =∠BAD
∵ AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵ tan∠BCD= tan∠BAD=
∴
∴设BD=3x，AD=4x
∴AB=5x
∵ ⊙O的半径为2，AB=4
∴5x=4，x=
∴AD=4x=
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的知识．关键是利用圆周
角定理将已知角进行转化，利用直径证明直角三角形．
25. 如图，点E是矩形ABCD对角线AC上的一个动点（点E可以与点A和点C重合），连接BE．已知
AB=3cm，BC=4cm．设A、E两点间的距离为xcm，BE的长度为ycm．某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：
说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BE=2AE时，AE的长度约为 cm．（结果保留
一位小数）
【答案】解：（1）2.5；（2）图象见解析；（3）1.2（1.1—1.3均可）
【解析】
【分析】（1）根据画图测量即可；
（2）按照（1）中数据描点画图即可；
（3）当BE=2AE时，即y=2x时，画出图形观察图像即可得到值.
【详解】解：（1）根据测量可得：2.5；
（2）根据数据描点画图，即可画图象（3）当BE=2AE时，即y=2x时，如图，y=2x与原函数图像的交点M的横坐标即为所求，可得AE≈1.2
（1.1—1.3均可）.
【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时用到了数形结合和转化的数学思想．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 ( )．
（1）写出抛物线顶点的纵坐标 (用含a的代数式表示)；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，AB=4．
①求a的值；
②记二次函数图象在点 A，B之间的部分为W(含 点A和点B)，若直线 ( )经过（1，-1），
且与 图形W 有公共点，结合函数图象，求 b 的取值范围．【答案】（1）4a+8；（2）①a=-1；② 或 或
【解析】
【分析】（1）将原表达式变 为顶点式，即可得到答案；
（2）①根据顶点式可得抛物线的对称轴是x=1 ，再根据已知条件得到A、B两点的坐标，将坐标代入
，即可得到a的值；②分情况讨论，当 ( )经过（1，-1）和A
（-1,0）时，以及当 ( )经过（1，-1）和B（3，0）时，代入解析式即可求出答案.
【详解】（1） = =
所以顶点坐标为（1,4a+8）,则纵坐标为4a+8.
（2）①解：∵原解析式变形为：y=
∴抛物线的对称轴是x=1
又∵ 抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，AB=4
∴ 点A和点B各距离对称轴2个单位
∵ 点A在点B的左侧
∴A（-1,0），B（3，0）
∴将B（3，0）代入
∴9a-6a+5a+8=0
a=-1
②当 ( )经过（1，-1）和A（-1,0）时
，
当 ( )经过（1，-1）和B（3，0）时
，∴ 或 或
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的综合性题目，数形结合是解答此题的关键.
27. 已知：在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边中点．点M为线段BC上的一个动点（不
与点C，点D重△合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME，连接EC．
（1）如图1，若点M在线段BD上．
① 依据题意补全图1；
② 求∠MCE的度数．
（2）如图2，若点M在线段CD上，请你补全图形后，直接用等式表示线段AC、CE、CM之间的数量关
系 ．
【答案】（1）①见解析；②∠MCE=∠F=45°；（2）
【解析】
【分析】（1） ① 依据题意补全图即可；② 过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F ，利用同角的余
角相等，得到∠FMA= ∠CME，再通过等腰三角形的判定得到FM=MC，再通过判断 ，
得到∠MCE的度数.
（2）通过证明 ，得到 AF=EC，将 转化为 ，再在Rt△FMC中，利用边角关系求出FC= ，即可得到 .
【详解】（1） ① 补全图1：
② 解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F
∵FM⊥BC
∴ ∠FMC =90°
∴ ∠FMA+∠AMC=90°
∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME
∴∠AME=90° ，AM=ME
∴ ∠CME+∠AMC=90°
∴∠FMA= ∠CME
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠FCM=45°
∴∠F=∠FCM=45°
∴FM=MC
在 FMA和 CME中
△ △
∴∴ ∠MCE=∠F=45°
（2）解：过点M作BC边的垂线交CA延长线于点F
∵FM⊥BC
∴ ∠FMC =90°
∴ ∠FME+∠EMC=90°
∵将线段AM绕点M顺时针旋转90°，得到线段ME
∴∠AME=90° ，AM=ME
∴∠FME +∠AMF=90°
∴∠EMC = ∠AMF
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠FCM=45°
∴∠MFC=90°-∠FCM=45°
∴FM=MC
在 FMA和 CME中
△ △
∴
∴ AF=EC
∴
∵∠FCM=45°，∠FMC=90°
∴FC=
∴
综上所述，
【点睛】本题是旋转图形考查，掌握旋转前后不变的量是解答此题的关键，涉及到的知识点相似的判定及性质、等腰三角形的性质等.
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离
d，满足 ，则称点P为⊙O的“随心点”．
（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（ ，2），D（ ， ）中，⊙O的“随心点”
是 ；
（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=- x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在
⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围 ．
【答案】(1) A,C ；（2） ；(3) 1≤b≤ 或- ≤b≤-1．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出d的范围：1≤d≤3，再将各点距离O点的距离，进行判断是否在此范围
内即可，满足条件的即为随心点；
（2）根据点E（4，3）是⊙O的“随心点”，可根据 ，求出d=5，再求出r的范围即可；
（3）如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，求出随心点范围 ，再分情况点N在y轴正半轴时，当点
N在y轴负半轴时，分情况讨论即可.
【详解】(1) ∵⊙O的半径r=2，∴ =3， =1
∴1≤d≤3
∵A（3，0），
∴OA=3，在范围内
∴点A是⊙O的“随心点”
∵B（0，4）
∴OB=4，而4＞3，不在范围内
∴B是不是⊙O的“随心点”，
∵C（ ，2），
∴OC= ，在范围内
∴点C是⊙O的“随心点”，
∵D（ ， ），
∴OD= ＜1，不在范围内
∴点D不是⊙O的“随心点”，
故答案为：A,C
（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”
∴OE=5，即d=5
若 ， ∴r=10
若 ，∴
(3)
∵如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r=2，随心点范围
∴
∵直线MN的解析式为y=x+b，
∴OM=ON，
①点N在y轴正半轴时，
当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（-1，0），
将M（-1，0）代入直线MN的解析式y=x+b中，解得，b=1，
即：b的最小值为1，
过点O作OG⊥M'N'于G，
当点G是⊙O的“随心点”时，此时OG=3，
在Rt ON'G中，∠ON'G=45°，
∴GO△=3
∴在Rt△GNN’中， = = = ，
b的最大值为 ，∴1≤b≤ ，
②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出- ≤b≤-1．
综上所述，b的取值范围是：1≤b≤ 或- ≤b≤-1．
【点睛】此题考查了一次函数的综合题，主要考查了新定义，点到原点的距离的确定，解（3）的关键是
找出线段MN上的点是圆O的“随心点”的分界点，是一道中等难度的题目．
