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北京市密云区 2021-2022 学年度第一学期期末考试九年级数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合
题意的．
1. 如果4m=5n（n≠0），那么下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A. OP>4 B. 0≤OP<4 C. OP>2 D. 0≤OP<2
3. 抛物线 的对称轴是 （ ）
A. 直线 ＝－1 B. 直线 ＝1 C. 直线 ＝－2 D. 直线 ＝2
4. 在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影
子CE的长是2米，则路灯AB的高为（ ）
A. 5米 B. 6.4米 C. 8米 D. 10米
6. 如图，在⊙O中，C、D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，则∠BDC的度数为（
）
A. 65° B. 50° C. 30° D. 25°7. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则 ABC的面积与 DEF的面积
比为（ ） △ △
.
A B. C. 2 D. 4
的
8. 如图，一个矩形 长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化
时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
.
A S=4x+6 B. S=4x-6 C. S=x2+3x D. S=x2-3x
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若cosA ，则锐角A的度数为_______．
10. 点A（2，y），B（3，y）是反比例函数 图象上的两点，那么y，y 的大小关系是
1 2 1 2
y_________y．（填“＞”，“＜”或“=”）
1 2
11. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为________．
12. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-5）的抛物线的表达式________．
13. 一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为_______cm2
14. 如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD=8cm，∠CDE=60°，则点C到
底座DE的距离为__________cm（结果保留根号）．
15. 如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________．
16. 如图，抛物线y=-x2+2．将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作C ，将x轴下方的部分沿x轴翻折后
1
记作C ，C 和C 构成的图形记作C ．关于图形C ，给出如下四个结论：①图形C 关于y轴成轴对称；②
2 1 2 3 3 3
图形C 有最小值，且最小值为0；③ 当x>0时，图形C 的函数值都是随着x的增大而增大的；④
3 3
当-2≤x≤2时，图形C 恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．以上四个结论中，所有正确结论
3
的序号是________．
三、解答题（共68分，其中17~22题每题5分，23~26题每题6分，27、28题每题7分）
17. 计算： ．18. 下面是小玟同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：在 ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求作：∠△BPC，使∠BPC=∠BAC．
作法：① 分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点E和点F，
连接EF交BD于点O；
② 以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；
③ 在劣弧AB上任取一点P（不与点A、B重合），连接BP和CP．所以∠BPC=∠BAC．
根据小玟设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA、OC．
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC且AD=CD．
∴OA=OC．
∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴OB= ．
∴OB=OA．
∴⊙O为 ABC的外接圆．
∵点P在△⊙O上，
∴∠BPC=∠BAC（ ）（填推理的依据）．
19. 已知二次函数 ．
用配方法将其化为 的形式；
在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象．20. 已知：如图，在 ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证： ABD∽ ACB．
△ △ △
21. 如图，在 ABC中，∠C = 90°， ，D为AC上一点，∠BDC = 45°，CD=6．求AD的长．
△
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，反比例函数的图象经过点A（4，1），点B（x，y）是
该函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数的表达式；
的
（2）当y>1时，结合图象直接写出x 取值范围．
23. 在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A．（1）求证： DCF∽ CEB；
△ △
（2）若BC=4，CE= ，tan∠CDF= ，求线段BE的长．
24. 从2020年3月开始，一群野生亚洲象从云南西双版纳傣族自治州走出丛林，一路北上，历经17个月
迁徙逾500公里安全返回栖息地，引发国内外一波“观象热潮”．象群北移途经峨山县时，一头亚洲象曾
脱离象群．如图，A，B，C分别表示峨山县、象群位置和独象位置．经测量，象群在峨山县西北方向约12
公里处，独象位于象群的正东方向和峨山县北偏东30°方向的交汇处，请你计算此时独象距离象群多少公
里？（结果保留根号）
25. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是 ACD的外角∠DAF的平分线．
△
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC = 30°，求CD的长．
26. 在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y= -2ax+b与y轴相交于点（0，-3）．（1）当抛物线的图象经过点（1，-4）时，求该抛物线的表达式；
的
（2）求这个二次函数 对称轴（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（ ， ）和B（ ， ），其中 - =0， + =0．当 <0， >0时，
总有 + >0，求a的取值范围．
27. 如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE
的垂线交CB延长线于点F，连接EF．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求∠AEF的度数；
（3）连接AC交EF于点H，若 ，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．
28. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0）和点B（5，0）．对于线段AB和直线AB外的一点C，
给出如下定义：点C到线段AB两个端点的连线所构成的夹角∠ACB叫做线段AB关于点C的可视角，其
中点C叫做线段AB的可视点．（1）在点D（-2，2）、E（1，4）、F（3，-2）中，使得线段AB的可视角为45°的可视点是 ；
（2）⊙P为经过A，B两点的圆，点M是⊙P上线段AB的一个可视点.
① 当AB为⊙P的直径时，线段AB的可视角∠AMB为 度；
② 当⊙P的半径为4时，线段AB的可视角∠AMB为 度；
（3）已知点N为y轴上的一个动点，当线段AB的可视角∠ANB最大时，求点N的坐标．
