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2020－2021 学年北京市平谷区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1. 平谷是中国著名的大桃之乡，每年4月桃花竞相开放，漫山遍野，如霞似锦，如海如潮，最是壮观．吸
引无数市民和游客慕名前往．桃园内弥漫着桃花花粉，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学
记数法表示为（ ）
A. 0.3×10﹣4 B. 3×10﹣5 C. 0.3×10﹣5 D. 3×10﹣4
2. 若实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A. a﹣b＞0 B. a﹣c＜0 C. a﹣c＞0 D. a＋c＞b
3. 下列计算正确的是（ ）
A. a2•a3＝a6 B. （a2）3＝a5
C. 3a2＋2a2＝5a2 D. （2xy）3＝6x3y3
的
4. 在下列因式分解 过程中，分解因式正确的是（ ）
A. x2＋2x＋4＝（x＋2）2 B. x2﹣4＝（x＋4）（x﹣4）
C. x2﹣4x＋4＝（x﹣2）2 D. x2＋4＝（x＋2）2
5. “十三五”时期是北京市迄今为止大气污染治理力度最大，成效最明显的五年，2020年空气质量优良
天数继续增加，大气主要污染物中细颗粒物（PM2.5）年均浓度首次实现38微克/立方米，空气质量改善
取得标志性、历史性突破．小明收集了2021年3月北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立
方米），并整理如表：
PM2.5 的浓
79 80 81 83 84 86
度
城区的个数 3 1 2 4 5 1
则北京市16个城区的PM2.5的浓度均值（单位：微克/立方米）的众数和中位数分别为（ ）
A. 83，82 B. 84，82 C. 84，83 D. 83，84
的
6. 关于命题“若a＝b，则|a|＝|b|”与其逆命题 真假性，下列判断正确的是（ ）
A. 原命题与其逆命题都是真命题 B. 原命题与其逆命题都是假命题
C. 原命题是假命题，其逆命题是真命题 D. 原命题是真命题，其逆命题是假命题
7. 如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A. 10° B. 20° C. 50° D. 70°
8. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．当直线CD绕点O顺时针旋转
°（0＜ ＜180）时，下列各角的度数与∠BOD度数变化无关的角是（ ）
A. ∠AOD B. ∠AOC C. ∠EOF D. ∠DOF
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 用不等式表示：a的3倍与b的和不小于3____．
10. 如果把方程x﹣2y＋3＝0写成用含y的代数式表示x的形式，那么x＝___．
11. 若多项式（x﹣1）（x＋3）＝x2＋ax＋b，则a＋b＝___．
12. 若 是方程3x＋ay＝4的解，则a的值为____．
13. 计算：（1） ＝___；
（2）（2x＋y）2＝___．
14. 将一副直角三角板如图摆放，点D落在AB边上，BC∥DE，则∠1＝___°．15. 已知方程组 则 的值为_________．
16. 2020年比较流行一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结
论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏：
①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块；
②红桃右边有且仅有一张方块；
③6的左边至少有一张是8；
④8的右边至少有一张是8．
请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：___．（填写正确的序号）
①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18、19题，每题5分，第20题10分，第21、
22题，每题5分，第23题6分，第24、25题，每小题10分，第26、27题，每小题10分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 分解因式：
（1）a2﹣9；
（2）a3﹣8a2＋16a．
18. 解不等式 ，并求出非负整数解．
19. 解不等式组 并把它的解集在数轴上表示出来．
20. 用适当的方法解下列方程组．
（1） ；
（2） ．21. 计算：（﹣3a2）3＋（a3）2＋a2•a4
的
22. 已知3x2＋2x﹣5＝0，求代数式（2x＋1）（2x﹣1）﹣x（x﹣2） 值．
23. 列方程（组）、解应用题
2021年4月世界休闲大会在北京平谷举办，本届大会秉承了“全域、全季、全民休闲”的理念，多角度呈
现．大会的主会场馆﹣金海湖国际会展中心，位于金海湖畔，屹立于桃花海中，将为大家呈现了一幅用建
筑写就的“山水画卷”．周末小明与父母去金海湖参观，在迎宾大道看到一种园艺造型，他们一家子有如
下交流：
（1）爸爸说：“如果搭配这个园艺造型需要花卉50盆，绿植90盆，每盆花卉的价格比每盆绿植的价格贵
2元，而搭配这样一个园艺造型需要花费1500元，你知道每盆花卉和绿植各多少元吗？”请你帮小明解决
此问题并写出求解过程．
（2）妈妈说：“若需要同样的花卉和绿植布置某个展厅，要求绿植比花卉多100盆，花费不低于6500元
但也不能超过7000元，”请你帮小明写出一种购买方案．
24. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OA上一点，作∠AEF＝∠AOB，交AB于点F．
求证：∠EFA＝∠C
证明：∵∠AEF＝∠AOB，
∴ ∥ （ ）．
∴∠EFA＝∠B．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C ．
∴∠EFA＝∠C ．
25. 2021年平谷区创建文明城区的工作已全面启动．区教育系统结合《北京市生活垃圾管理条例》实施周
年的重要节点，大力普及中学生垃圾分类知识，某校组织学生收集废弃塑料瓶活动以减少环境污染，现从
七年级（2）班随机抽取了20名学生，对这20名学生一周内进行收集废弃塑料瓶活动的数量进行整理、描
述和分析．下面给出了部分信息．
过程如下：a．收集废弃塑料瓶的数量：
66 70 71 78 71 78 75 78 58 80
63 90 80 85 80 89 85 86 80 87
b、整理、描述数据：
数量 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
人数 1 2 m 9 1
c．收集废弃塑料瓶的数量统计图：
d．样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级（2）班 77.5 n k
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，k＝ ；
（2）在扇形统计图中，“60≤x＜70”所在的扇形的圆心角等于 度；
（3）七年级共有200人，估计七年级收集数量不少于80个塑料瓶的学生总人数为 ．
26. 已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，
连接CD．
（1）在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．
①依题意补全图形；
②求证：∠ADC＋∠BEC＝90°；
（2）如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝ ，分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线
交于点G，请用含有 的代数式来表示∠DGF，直接写出无需证明．27. 定义：若一个整数能表示成a2＋b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；
再如：因为a2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．
的
（1）请直接写出一个小于10 “完美数”，这个“完美数”是 ；
（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；
（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整数，k是常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并
说明理由；
（4）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
