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平谷区 2021～2022 学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 如果3x=5y，则下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、由 得5x=3y，故本选项不正确；
B、由 得3x=5y，故本选项正确；
C、由 得5x=3y，故本选项不正确；
D、由 得5x=3y，故本选项不正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2. 如图，在△ABC中，DE//BC， =2， 若AE=6，则EC的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 9
【答案】A
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ = =2，
∵AE=6，
∴EC=3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
3. 将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A. ； B. ；
C. ； D. .
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析
式为 ，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
4. 如图，角 在边长为1的正方形网格中，则 的值是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】网格中的三角函数问题，根据网格的特点，先找到直角三角形，进而根据定义求解即可
【详解】解，如图
故选A
【点睛】本题考查了正切的定义，网格问题，理解正切的定义是解题的关键．在 中，
．
5. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（
）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．
【详解】解：连接OC，如图∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出 ．
6. 如图，Rt ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作∠CAD=30°，CD⊥AD于D，若 ADC的面积为1，则
ABC的面积△为（ ） △
△
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据30度的锐角三角形函数， ADC的面积为1，分别用 表示出 ，进而根据三角形
△
面积公式求解即可
【详解】解：Rt ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
△∠CAD=30°，CD⊥AD于D，
在 中， ,
,
ADC的面积为1，
△
即 ,
故选C
【点睛】本题考查了解直角三角形，将 都用 表示出来是解题的关键．
7. 为了解不等式“ ”，明明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该不等式的解集为（
）A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式“ ”的解集即为直线 的图像在反比例函数 的图像上方的自变量
的取值范围，进行求解即可．
【详解】解：由函数图像可知，不等式“ ”的解集即为直线 的图像在反比例函数 的
图像上方的自变量的取值范围，
∴不等式“ ”的解集即为 或 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了利用图像法求不等式的解集，解题的关键在于能够根据题意得到，不等式“
”的解集即为直线 的图像在反比例函数 的图像上方的自变量的取值范围．
8. 用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为
（ ）
A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系
.
C 一次函数关系 D. 二次函数关系【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得矩形的一边长为 米，则另一边长为 米，根据矩形的面积公式计算即可求得
则S与x的函数关系
【详解】解：设矩形的一边长为 米，则另一边长为 米，
则
则S与x的函数关系为二次函数关系
故选D
【点睛】本题考查了二次函数的识别，表示出矩形的另一边的长是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 函数 中，自变量x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
故答案为x≠2．
10. 如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为_______．
【答案】35°##35度
【解析】
【分析】利用圆周角定理求出所求角度数即可．【详解】解： 与 都对 ，且 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
11. 如图，若点P在反比例函数y＝﹣ （x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点
N，则矩形PMON的面积为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】设PN＝a，PM＝b，根据P点在第二象限得P（﹣a，b），根据矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：设PN＝a，PM＝b，
∵P点在第二象限，
∴P（﹣a，b），代入y＝ 中，得
k＝﹣ab＝﹣3，
∴矩形PMON的面积＝PN•PM＝ab＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，即S =
矩形PMON
12. 在Rt ABC中，∠C=90°，如果cosA= ，AC=2，那么AB的长为________．
△
【答案】6
【解析】
【分析】根据余弦的定义可得 ，代入AC=2即可求得【详解】解：如图，
故答案为：6
【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在 中， ．
13. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明
与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，
则旗杆的高度为________．（单位：m）
【答案】9
【解析】
【分析】如图，BC=2m，CE=12m，AB=1.5m，利用题意得∠ACB=∠DCE，则可判断 ACB∽△DCE，然
后利用相似比计算出DE的长． △
【详解】解：如图，
BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，
由题意得∠ACB=∠DCE，∵∠ABC=∠DEC，
∴△ACB∽△DCE，
∴ ，即 ，
∴DE=9．
即旗杆的高度为9m．
故答案为：9
【点睛】本题考查了相似三角形 的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的
高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
14. 若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______．
【答案】m＜1
【解析】
【分析】根据△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴4-4m＞0，
∴m＜1．
故答案为：m＜1．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△＞0⇔抛
物线与x轴有两个交点，△＜0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．
15. 如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________．
【答案】130°
【解析】
【分析】由题意易得 ，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵ 是 的切线，∴ ，
∴由四边形内角和可得： ，
∵ ，
∴ ；
故答案为130°．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16. 某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与
月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的
抛物线，观察两幅图表，试判断_____ 月份出售这种药材获利最大．
月份 ... 3 6 ...
每千克售价 ... 8 6 ...
【答案】5
【解析】
【分析】分别求出售价与月份之间的函数关系式、成本与月份之间的函数关系式以及利润与售价、成本之
间的关系，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设每千克的售价是y元，月份为x，则可设
把（3，8），（6，6）代入得，
解得，∴
设每千克成本是z元，根据图象可设
把（3，4）代入 ，得
∴
∴
∴设利润为w，则有：
∵
∴ 有最大值，
∴当x=5时，w有最大值，
∴5月份出售这种药材获利最大．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解
析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27、28
题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】解：原式 ，．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
18. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,
（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.
【详解】证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴
∵AD=2, AB=5
∴
∴AC=
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.
19. 已知二次函数 ．（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数 的图象；
的
（4）结合函数图象，直接写出当 时，x 取值范围．
【答案】（1）顶点坐标（-1，-4）；（2）抛物线与x轴交点为（-3，0），（1，0）；抛物线与y轴交点
为（0，-3）；（3）见解析；（4） ．
【解析】
【分析】（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答；
（2）令y=0，得一元二次方程，求出x的值，可得函数图象与x轴的交点，令x=0，可得y的值，从而可
得函数图象与y轴的交点；
（3）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数
图象；
（4）根据函数图象，可以写出x的取值范围．
【详解】解：（1）
∴顶点坐标（-1，-4）（2）令y=0，得
解得，
∴抛物线与x轴交点为（-3，0），（1，0）；
令x=0，则y=-3
∴抛物线与y轴交点为（0，-3）
（3）如图所示．
（4）根据图象可得，当 时，x的取值范围是：
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思
想解答是解答本题的关键．
20. 如图，A是 上一点，过点A作 的切线．
（1）①连接OA并延长，使AB=OA；
②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l（保留作图痕迹）．（2）直线l即为所求作的切线，完成如下证明．
证明：在 中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且__________，
∴直线l是 的切线（____________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）l⊥OA，经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【解析】
【分析】（1）根据题中给出的作图步骤完成作图即可；
（2）根据切线的判定定理证明即可
【详解】（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形如图所示；
（2）完成下面的证明
证明：在 中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且l⊥OA，
∴直线l是 的切线(经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线) ．
【点睛】本题考查了做垂线，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．
21. 如图，二次函数 的图象过点A（0，3），B（2，3），C（-1，0）则（1）该抛物线的对称轴为_________；
（2）该抛物线与x轴的另一个交点为_______；
（3）求该抛物线的表达式．
【答案】（1）x=1；（2）（3，0）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据 坐标即可确定对称轴，根据函数值相等即可确定对称轴；
（2）根据对称轴以及C点的坐标即可确定另一个交点；
（3）根据待定系数法求解析式即可．
【详解】（1） A（0，3），B（2，3）
该抛物线的对称轴为x=1
故答案为：
（2） ，对称轴为
该抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）;
故答案为：（3,0）
,
（3）∵抛物线过点（0 3）、（-1,0）、（2,3）
设二次函数的解析式为
由题意得，
解得，
∴
【点睛】本题考查了根据二次函数的对称性求对称轴，根据对称轴求与 轴的交点问题，待定系数法求解
析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东
70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的
距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）【答案】AC之间的距离约为12.8千米．
【解析】
【分析】过B作BH⊥AC于H，利用三角函数求出AH=9.4千米，BH=3.4千米，再根据CH=BH=3.4千米，
求出AC之间的距离即可．
【详解】（1）过B作BH⊥AC于H，由题意，
∠BHC=∠BHA=90°，∠ABH=70°，∠CBH=45°，AB=10千米，
在Rt ABH中，
△
∵sin∠ABH= ，
∴AH=9.4千米
∵cos∠ABH=
∴BH=3.4千米
在Rt BHC中，
∵∠B△HC=90°，
∠HBC=∠C=45°
∴CH=BH=3.4千米
∴AC=9.4+3.4=12.8（千米）
答：AC之间的距离约为12.8千米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练构建直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
23. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象与直线 交于点 ．（1）求a、 的值；
（2）已知点 ，过点 作垂直于 轴的直线，与反比例函数图象交于点 ，与直线交于点 ．
横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点 ， 之间的部分与线段 ， 围成的区
域（不含边界）为Ｗ．
①当 时，直接写出区域Ｗ内的整点个数；
②若区域Ｗ内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）a=2，k=4；（2）①区域Ｗ内的整点个数为2个；② 或 ．
【解析】
【分析】（1）把 代入 求得 ，然后根据待定系数法即可求得 的值；
（2）①当 时，得到 为 ， ， ， ，结合图象于是得到结论；
②分两种情况，根据图象即可得到结论．
【详解】解：（1）反比例函数 的图象与直线 交于点 ．
，
，反比例函数 的图象经过 ，
；
（2）①当 时，则 为 ， ，
在 区域内有2个整数点： ， ；
②由图可知，若区域 内的整点恰好为2个，当 点在 点的右方时，则 ；
当 点在 点的左方时，则 ，
综上所述，若区域 内恰有2个整点， 的取值范围为： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，解题的关键是利用
数形结合及分类讨论进行求解．
24. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD 弦BC．
（1）求证：弧AD=弧CD；
（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）CD= ，EF=1．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到 ；根据平
行线的性质，得到 ；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．
（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾
股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据勾股定
理求出CD，因为 ，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．
【详解】（1）解：连结OC．
∵
∴∠1=∠B
∠2=∠C
∵OB =OC
∴∠B=∠C
∴∠1=∠2
∴弧AD=弧CD
（2）∵AB是 的直径
∴∠ACB=90°
∵
∴∠AEO=∠ACB=90°
Rt ABC中，∠ACB=90°，
∵△BC=6，AB=10
∴AC=8∵半径OD⊥AC于E
∴EC=AE=4
OE=
∴ED=2
由勾股定理得，CD=
∵
∴△EDF∽△CBF
∴
设EF=x，则FC=4-x
∴EF=1，经检验符合题意.
【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的
判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，两线相交于
点E，连接DE．
（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若 ，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE=5．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB于D，即可证明；
（2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE，再根据 ，得出 ，得出
，在 中即可得出．
【详解】证明：（1） CE∥AB，AE∥CD，
四边形AECD是平行四边形，
CD⊥AB于D，
∠CDA=90°，
四边形AECD是矩形；
（2） 四边形AECD是矩形，
∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE，
∠ACB=90°，
∠DCB+∠ACD=90°，
∠ACE+∠ACD=90°，
∠BCD=∠ACE，
，
，
，
，
，
，
，在 中，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴是直线x＝1．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若当－2≤x≤3时，y的最大值是7，求a的值；
（3）若点A（-2，m），B（3，n）为抛物线上两点，且mn<0，求a的取值范围．
【答案】（1） ；（2）a=1；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为 ，即可得；
（2）由抛物线的对称轴及自变量的取值范围可得（开口向上，距离对称轴越远，函数值越大）：在
处取得最大值7，将其代入函数解析式求解即可得；（3）根据题意可得在 时，y随x的增大而减小， ， ，代入函数解析式，组成不等式组求
解即可得．
【详解】解：（1）根据抛物线的对称轴为： ，
可得： ；
（2） 抛物线的对称轴为： ，自变量的取值范围为： ，
∵
在 处取得最大值7，
∴
抛物线 过点
∴
∴
解得： ；
（3） 抛物线的对称轴为： ，
∵
当 时，y的值与当 时y的值相同，
∴
设点 ，
∴
，
∵
在 时，y随x的增大而减小，且 ，
∴
， ，
∴
代入可得：
，
解得： ，
∴a的取值范围为： ．【点睛】题目主要考查二次函数得性质，解不等式组等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
27. 如图，∠MAN=45°，B是射线AN上一点，过B作BC⊥AM于点C，点D是BC上一点，作射线AD，
过B作BE⊥AD于点E，连接CE．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠CAE=∠DBE；
（3）用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）见解析；（3） ，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意，补全作图即可；
（2）由等角的余角相等，即可得到结论成立；
（3）过点C作CM⊥CE，先证明△ACM≌△BCE，得到CE=CM，AM=BE，然后得到 CME为等腰直角三角
形，即可得到结论成立． △
【详解】解：（1）依据题意补全图形；
（2）证明：∵BC⊥AM
∴∠ACB=90°
∠CAD+∠CDA=90°
∵ BE⊥AD
∴∠AEB=90°∠EBD+∠EDB=90°
∵ ∠CDA=∠EDB
∴∠CAD=∠CBE
（3）结论:
证明：过点C作CM⊥CE．
∵∠MAN=45°，BC⊥AM
∴AC=BC
∵∠ACB=∠ECM=90°
∴∠ACB ∠MCD=∠ECM ∠MCD
即∠ACM=∠ECB
又∵∠CAD=∠CBE
∴ ACM≌△BCE
∴C△E=CM，AM=BE
为
即 CME 等腰直角三角形
△
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了作垂线，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，解
题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
28. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，-1），以O为圆心，OA长为半径画圆，P为平面上一点，若存在
⊙O上一点B，使得点P关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点P是⊙O的以A为中心的“关联点”．（1）如图，点 ， ， 中，⊙O的以点A为中心的“关联点”是________；
（2）已知点P（m，0）为x轴上一点，若点P是⊙O的以A为中心的“关联点”，直接写出m的取值范
围；
（3）C为坐标轴上一点，以OC为一边作等边 OCD，若CD边上至少有一个点是⊙O的以点A为中心的
“关联点”，求CD长的最大值． △
【答案】（1）P，P；（2） ；（3） ．
1 2
【解析】
【分析】（1）根据题意，点 的对称点的轨迹是以 为圆心2为半径的圆，则平面上满足条件的点P在
以A为圆心2为半径的圆上或圆内，据此即可判断；
（2）根据（1）的结论求得 与 轴的交点即可求解；
（3）根据题意可知，平面上满足条件的点P在以A为圆心2为半径的圆上或圆内，根据题意求 的最
大值，即求得 的最大值，故当 点位于 轴负半轴时，画出满足条件的等边三角形 OCD，进而根据
△
切线的性质以及解直角三角形求解即可
【详解】（1）根据题意，点 的对称点的轨迹是以 为圆心2为半径的圆，则平面上满足条件的点P在
以A为圆心2为半径的圆上或圆内，由图可知 符合条件，
故答案为：P，P；
1 2
（2）如图，设 与坐标轴交于点 ，
,
,
则
；
（3）如图，由题意可知，平面上满足条件的点P在以A为圆心2为半径的圆上或圆内
因此满足条件的等边三角形 OCD如图所示放置时，CD长度最大，
△设切点为G，连接AG
∵∠AGC=90°，∠OCD=60°，AG=2
∴
∴
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，切线的性质，等边三角形的性质，从题意分析得出
“点 的对称点的轨迹是以 为圆心2为半径的圆”是解题的关键．
