文档内容
燕山地区 2020—2021 学年度第二学期七年级期末考试
数 学 试 卷
1.本试卷共6页，共三道大题，27道小题，满分100分．考试时间100分钟．
考
2.在试卷和答题纸上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
生
3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．
须
4.在答题纸上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
知
5.考试结束，请将试卷和答题纸一并交回．
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意
的．
1. 北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移图
案得到的是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】【分析】根据平移只改变图形 的位置，不改变图形的形状与大小解答．
【详解】解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的平移，掌握平移的定义及性质是解题的关键．
2. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可．
【详解】解：∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a
的二次方根．
3. 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是( )
A. (－2，3) B. (2，3)
C. (2，－3) D. (－2，－3)
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负，
只有选项C符合条件，
故选C．
4. 下列调查中，不适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 调查新冠疫情期间乘坐地铁的乘客体温情况
B. 调查“祝融号火星车”零部件质量状况
C. 调查本校七年级（1）班学生观看电影《我和我的家乡》情况
D. 调查国产纯电动汽车蓄电池的续航里程情况
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用全面调查与抽样调查的意义分析得出答案．
【详解】解：A、调查新冠疫情期间乘坐地铁的乘客体温情况，适合采用全面调查，不符合题意；B、调查“祝融号火星车”零部件质量状况，适合采用全面调查，不符合题意；
C、调查本校七年级（1）班学生观看电影《我和我的家乡》情况，适合采用全面调查，不符合题意；
D、调查国产纯电动汽车蓄电池的续航里程情况，全面调查具有破坏性，所以不适合采用全面调查的方式，
符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查的适用范围，解题的关键是：掌握两种调查方式的适用范围．
5. 如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的几何学原理是（ ）
A. 垂线段最短
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解析】
【分析】利用垂线段最短的原理即可判断．
【详解】解：从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走且 ，所以由垂线段最短的原理可
以知，沿线路PB行走距离最短，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线段最短的原理，解题的关键是：掌握垂线段最短的原理．
6. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次进行判断．【详解】解：A、两边都加上1，不等号的方向不变，不符合题意；
B、两边都减1，不等号的方向不变，不符合题意；
C、两边乘上 ，不等号的方向改变，符合题意；
D、两边同时除以2，不等号的方向不变，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是：掌握不等式的相关性质．
7. 如图，直线a，b被c，d所截，∠1＋∠2＝180°，∠3＝60°，则∠4的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】由∠1＋∠2＝180°可知 ，则 ,根据对顶角相等即可求得 ．
【详解】
∠1＋∠2＝180°
∠3＝60°
故选C
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等，理解平行线的性质和判定是解题的关键．
8. 如图是老北京城一些地点的分布示意图，在图中，分别以正东，正北方向为 轴， 轴的正方向建立平
面直角坐标系．如果表示东直门的点的坐标为（3.5，4），表示宣武门的点的坐标为（－2，－1），那么坐标原点所在的位置是（ ）
A. 天安门 B. 正阳门 C. 西直门 D. 阜成门
【答案】A
【解析】
【分析】由东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格表示的长度，再进一步确定坐标原点位置．
【详解】解：根据东直门的坐标和宣武门的坐标，可以确定出每格的长度为1，
将宣武门的坐标向右平移两格，向上平移一格，即为原点坐标的位置，
根据图可知为：天安门，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了确定出原点、 轴， 轴的位置，解题的关键是：由东直门的坐标和宣武门的坐
标，确定出每格的长度．
9. 我们定义一个关于有理数a、b的新运算，规定：a*b＝3a-2b，例如，4*5＝3×4-2×5，若有理数m满足
m*2＜1，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据新运算可得m*2=3m-4，可得到关于m的不等式，解出即可．
【详解】解：根据题意得：m*2=3m-2×2=3m-4，
∵m*2＜1，
∴3m-4＜1，
解得： ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，明确题意，理解新运算是解题的关键．
10. 我国是一个水资源严重短缺的国家，本世纪以来，我国政府相继采取了南水北调、推进海绵城市建设、水资源循环利用等一系列措施来缓解水资源匮乏对经济社会发展的制约．下面是根据国家统计局发布的有
关信息绘制的统计图．
2014~2019年全国生活用水总量统计图
根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A. 2014－2019年，全国生活用水总量逐年增加
B. 2014－2019年，全国用水总量大约每年增长2%
C. 2019年，全国农业用水总量约为工业用水总量的3倍
D. 2019年，全国用水总量约为6020亿立方米
【答案】B
【解析】
【分析】分别根据条形统计图及扇形统计图的信息求出相应的数据量，即可得出结论．
【详解】解：A. 根据条形统计图可知：从左到右，条形统计图中的长方形的高度由低到高依次变化，所
以，2014－2019年，全国生活用水总量逐年增加，故此选项推断合理；
B. 根据条形统计图可知：2014－2015年，全国生活用水总量的增长率为 ，
所以，2014－2015年，全国用水总量的增长率为 ，故此选项推断不合理；
C. 由扇形统计图可知：61.15%÷20.22% ≈3，所以2019年，全国农业用水总量约为工业用水总量的3倍，
故此选项推断合理；
D. 根据条形统计图与扇形统计图可得： （亿立方米），所以， 2019年，全国用
水总量约为6020亿立方米，故此选项推断合理；
故选：B．
【点睛】此题考查了条形统计图与扇形统计图的结合，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的特点及相关统计量的计算方法是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11. 写出一个比－3小的无理数_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【详解】
比－3小的无理数可以为 ．
故答案为： ．
12. x的5倍与3的和是非负数，用不等式表示为 ______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用x的5倍为5x，非负数即大于等于0，即可列出表达式．
【详解】由题意可得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了实际问题中抽象出的一元一次不等式，正确得出不等关系是解题的关键．
13. 点A（m，5）到x轴和y轴的距离相等，则点A的坐标为 _______．
【答案】 或
【解析】
【分析】先根据题意可列式： ，求解出m，即可得出答案．
【详解】由题意知：点 到x轴和y轴的距离相等
∴
解得：
∴ 或
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了点的坐标，掌握点到x轴的距离是纵坐标的绝对值、点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．
14. 已知 是方程为 的解，则m的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将 代入 中，即可求出 的值．
【详解】解：将 代入 中，
得 ，
解得： ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是：理解方程的解是能使方程左右
两边相等的未知数的值．
15. 如图，AB⊥AC，∠1＝30°，要使AD∥BC，需再添加的一个条件为：_______．
【答案】∠B＝60°
【解析】
【分析】通过反推的方式分析问题：若 ，则 ，在 中，可求得 ，
即得出答案．
【详解】∵
∴
当 ，在 中，
∵
∴
∴故答案为：
【点睛】本题主要考查平行的判定条件、直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练地掌握平行的判定条
件、直角三角形的两个锐角互余等是解题的关键，属于基础知识题．
16. 关于 的不等式 的解集为 ，请写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝_____ ，b＝
________．
【答案】 ①. -1（答案不唯一） ②. 0（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，写出一组满足题意a与b的值即可．
【详解】解：∵不等式 的解集为 ，
∴ ，且a＜0，
则一组满足条件的实数a=-1，b=0，
故答案为：-1；0．（答案不唯一）
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
17. 在“互联网＋”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式
教学模式变革．为了解本校学生对融合式教学模式的喜爱程度，李校长对全校学生进行了问卷调查，并对
调查结果按“非常喜欢”，“喜欢”，“一般”，“不喜欢”四个等级进行统计，以下是排乱的统计步骤：
A.从扇形图中分析出学生对融合式教学模式的喜爱程度
B.发放调查问卷，并利用问卷星收集学生问卷数据
C.绘制扇形图来表示各等级所占的百分比
D.整理所收集的数据并绘制频数分布表
正确的统计步骤的顺序是______________．（用字母按顺序写出即可）
【答案】B D C A
【解析】
【分析】根据调查统计的基本步骤，即可得到答案．
的
【详解】对全校学生进行问卷调查 基本步骤如下：1、发放调查问卷，并利用问卷星收集学生问卷数
据；2、整理所收集的数据并绘制频数分布表；3、绘制扇形图来表示各等级所占的百分比；4、从扇形图
中分析出学生对融合式教学模式的喜爱程度．故答案是：B D C A．
【点睛】本题主要考查调查统计的一般步骤，掌握调查统计的基本顺序和步骤是解题的关键．
18. 我们知道“对于实数m，n，k，若m＝n，n＝k，则m＝k”，即相等关系具有传递性．小捷由此进行联
想，提出了下列命题：
①对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c；
②对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③对于角α，β，γ，若α与β互为邻补角，β与γ互为邻补角，则α与γ互为邻补角；
④对于图形M，N，P，若M可以平移到N，N可以平移到P，则M可以平移到P．
其中所有真命题的序号是_____________ ．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据不等式的性质、垂直、互为邻补角及平移的相关性质进行判断即可．
【详解】解：①对于实数a，b，c，若a＞b，b＞c，则a＞c，故此命题是真命题；
②对于直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，此命题是假命题；
③对于角α，β，γ，若α与β互为邻补角，β与γ互为邻补角，则α与γ互为邻补角，此命题是假命题；
④对于图形M，N，P，若M可以平移到N，N可以平移到P，则M可以平移到P，此命题是真命题．
故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
三、解答题（本题共46分．19题～20题，每题各4分；21题5分；22题6分；23题～25题，
每题各5分；26题～27题，每题各6分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】分别绝对值运算、算术平方根运算、立方根运算、合并同类项进行求解即可.
【详解】解：原式＝
＝ ．
【点睛】本题考查实数 的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键.
20. 解不等式 ，并写出它的所有正整数解．
【答案】不等式的解集是x≤2，它的所有正整数解为1，2【解析】
【分析】先移项解出不等式的解集，再写出不等式的正整数解即可．
【详解】解：移项合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2，
∴不等式的解集是x≤2，
∴它的所有正整数解为1，2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式的解集及正整数解，解题的关键是：熟练掌握解一元一次不等式的
基本方法．
21. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用两式相加消去 ，再求出 即可．
【详解】解：
①＋②得，4x＝8，
x＝2．
把x＝2代入②得，2＋ ＝7，
解得，y＝5．
∴原方程组的解是
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是：掌握解二元一次方程组的基本方法．
22. 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】－1＜x≤3，见解析
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式①，得4x＋1＞3x，
x＞－1．
解不等式②，得2x－2≤4，
x≤3，
∴不等式组的解集是－1＜x≤3．
解集在数轴上表示如图：
．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解题的
关键．
23. 如图，AD⊥BC，垂足为D，EF⊥BC，垂足为点F，∠E＝∠3，求证：AD是∠BAC的平分线．请将下面
的证明过程补充完整．
证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴∠4＝∠5＝90°，（垂直定义）
∴AD//EF，（ ）
∴∠E＝∠2，（ 两直线平行，同位角相等 ）
∠3＝ ．（ ）
∵ ，（已知）
∴ ，（等量代换）
∴AD是∠BAC的平分线．（角平分线定义）
【答案】同位角相等，两直线平行 ；∠1 ；两直线平行，内错角相等；∠E＝∠3 ；∠1＝∠2
【解析】
【分析】首先根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关角相等，运用等量代换
的方法证明 所分的两个角相等，即可证明．【
详解】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）
∴∠4＝∠5＝90°，（垂直定义）
∴AD//EF，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠E＝∠2，（ 两直线平行，同位角相等 ）
∠3＝ ∠ 1 ．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵ ∠ E ＝ ∠ 3 ，（已知）
∴ ∠1 ＝ ∠ 2 ，（等量代换）
∴AD是∠BAC的平分线．（角平分线定义）
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：掌握平行线的判定定理．
24. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．红星中学
在“世界读书日”开展“弘扬传统文化，阅读经典名著”主题活动，计划购置一批书籍．已知每本《诗
经》25元，每本《论语》18元，该学校决定购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元，
那么该学校最多可以购买《诗经》多少本？
【答案】28本
【解析】
【分析】设该学校购买《诗经》x本，抓住购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元，列
不等式，求解即可．
【详解】解：设该学校购买《诗经》x本，
由题意得，25x＋18(100－x)≤2000，
解得，x≤ ．
∵x为正整数，且 ＝ ，
∴x最大为28，
∴该学校最多可以购买《诗经》28本．
【点睛】本题考查列一元一次不等式解应用题，掌握一元一次不等式解应用题方法与步骤，抓住购买《诗
经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元构造不等式是解题关键．
25. 为庆祝中国共产党建党100周年，使学生进一步了解中国共产党的历史，某学校组织了“党史百年天
天读”活动，并进行了一次全校2000名学生都参加的书面测试，阅卷后，教学处随机抽取了100份答卷进
行分析统计，发现考试成绩x（分）的最低分为50分，最高分为满分100分，且分数都为整数，并绘制了
尚不完整的统计图表：分数段（x分） 频数 频率
50≤x＜60 4 0.04
60≤x＜70 a 0.20
70≤x＜80 30 0.30
80≤x＜90 26 b
90≤x＜100 15 0.15
100≤x＜110 5 0.05
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）在频数分布表中，a＝ ；b＝ ；
（2）请将频数分布直方图补充完整，并在图中标明相应数据；
（3）该校对成绩为90≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一，二，三等奖，各奖项的人数
占比如扇形统计图所示．
① 在扇形图中，二等奖所在扇形的圆心角度数为 °；
② 请你估算全校获得一等奖的学生人数约为 人．
【答案】（1）20；0.26；（2）见解析；（3）①108；②40
【解析】
【分析】（1）总人数乘以60≤x＜70频率即可求得a的值；80≤x＜90的频数除以总人数即可求得b；（2）补全频数分布直方图即可；
（3）① 乘以二等奖占得百分比即可求得；
②全校总人数乘以90≤x≤100范围内学生的频率再乘以一等奖所占百分比即可．
【详解】解：（1） ； ，
故答案为：20；0.26；
（2）补全频数分布直方图如图：
；
（3）① ，
故答案为：108；
② ，
故答案为：40．
【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布直方图，频数分布表，由样本估计总体等知识点，理解频率=频
数/总数的意义和使用方法是解决问题的前提．
26. 如图，AB∥CD，直线MN交AB于点E，交CD于点F，点P是直线MN上一个动点，过点P作
PG⊥MN交CD于点G．
（1） 当点P运动到图1位置时，① 依题意补全图1；
② 判断∠PGD与∠AEM的数量关系，并说明理由；
（2） 当点P运动到图2位置时，直接用等式表示出∠PGD与∠AEM的数量关系．（不需要证明）
【答案】（1）①见解析；②∠PGD＋∠AEM＝90°，见解析；（2）∠PGD－∠AEM＝90°
【解析】
【分析】（1）①据题意直接作垂直即可；②过点P作PH∥AB，可得∠AEM＝∠1，由AB∥CD，可得
PH∥CD，进而得到∠PGD＝∠2，再由PG⊥MN，即可得出结论；
（2）先由 ，得到 ，然后由 ，得到 ，再由
，得到 ， ，最后由 ，
即可证明．
【详解】解：（1）①依题意补全图1；
② ∠PGD＋∠AEM＝90°．
理由；如图所示，过点P作PH∥AB，
∴∠AEM＝∠1．
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠PGD＝∠2，
∵PG⊥MN，
∴∠MPG＝90°，
即∠1＋∠2＝90°，
∴∠PGD＋∠AEM＝90°．
（2）证明：如图所示：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、对顶角相等、邻角互补、直角三角形的两个锐角互余等知识点，
熟练掌握上述知识是解题的关键，属于基础题．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a－1，a＋2）位于第一象限，将点A向下平移一定单位长度
得到点B（1，0），以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．
（1） 求a的值及点D的坐标；
的
（2） 横、纵坐标都是整数 点叫做整点．已知点M（－5，0），N（0，5），将正方形ABCD向左
平移m（m＞0）个单位长度，得到正方形A′B′C′D′，记正方形A′B′C′D′ 和△OMN重叠的区
域（不含边界）为W．
① 当m＝3时，区域W内的整点个数为 ；
② 若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．【答案】（1）a＝2，点D的坐标为(5，4)；（2）①3；②2＜ ≤3或6≤ ＜7
【解析】
【分析】（1）点A(a－1，a＋2)向下平移得到点B(1，0)，即横坐标不变，列等式即可求得a的值，进而求
得正方形边长，求出点D坐标即可；
（2）①根据平移方式画出平移后的图形，再根据整点的意义找出符合要求的点即可；
②整点只有三个，则这些整点只能是 或者 ,将正方形移到范围内判
断即可．
【详解】解：（1）∵点A(a－1，a＋2)向下平移得到点B(1，0)，
∴a－1＝1，
∴a＝2，
∴点A坐标为(1，4)，
∴正方形ABCD的边长AB＝AD＝4．
∵AD∥ 轴，
∴点D的坐标为(5，4)．
（2）①如图；
当m＝3时，区域W内的整点个数为3个，
故答案为： 3；
②如图；当区域W内的整点为 三点时，
则m的取值为：6≤ ＜7；
当区域W内的整点为 三点时，
则m的取值为：2＜ ≤3，
综上：6≤ ＜7或2＜ ≤3．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平移的性质，利用树形结合的思想解决问题是本题
的关键．
