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昌平区 2020－2021 学年第一学期初三年级期末水平测试
数 学 试 卷
本试卷共5页，共100分，考试时长120分钟
一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（ ）
A. PA B. PB C. PC D. PD
2. 已知 ，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 二次函数 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
的
4. 如图，AB是⊙O 直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A. 36° B. 44° C. 54° D. 56°
5. 已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，若点A（0，y）和B（3，y）在此函数图象上，则y 与y 的大小关系是
1 2 1 2
（ ）
A. y＞y B. y＜y C. y＝y D. 无法确定
1 2 1 2 1 26. 小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是（ ）
A. 南偏东40度 B. 南偏西40度 C. 北偏东50度 D. 北偏西50度
7. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另
一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得
最大值时，点D的坐标为（ ）
A. （0， ） B. （1， ） C. （2，2） D. （2，4）
二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）
9. 请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ___．
10. 点 ， 是反比例函数 图象上的两点，那么 ， 的大小关系是 ______ ．
（填“＞”，“＜”或“＝”）
11. 图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则 的长为__________．12. 图，平行四边形ABCD中，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE，交CD于点F，若△DEF的面积
为2，则△CBF的面积为__________．
13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E， CD＝16，BE＝4，则CE＝____，⊙O的半径为
_____．
14. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则
∠BOC＝__________°，∠DEF＝__________°．
15. 二次函数y＝ax²＋bx＋c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣ ﹣ 0 1 2 … m …2 1
﹣
y … 0 4 6 6 4 … …
6
则这个二次函数的对称轴为直线x＝________，m＝________（m＞0）．
16. 抛物线 交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为
D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛
物线上有两点P（ ， ）和Q（ ， ），若 ＜ ，且 ＋ ＞2，则 ＞ ．其中结论正确的
序号是______________________．
三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）
17. 计算： ．
18. 如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．
19. 已知二次函数 ．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
的
（2）结合函数图象，直接写出 时x 取值范围．的
20. 下面是小东设计 “过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；
②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；
③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交
于点A和点B；
④作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝ MN，
∴点A是OE的中点．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于点A （ ）（填推理的依据）．同理PB⊥OB于点B．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．（ ）（填推理的依据）．
四、解答题（共2道小题，21题5分，22题6分，共11分）
21. 某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心
公园的仿古建筑“弘文阁”AB的高度．他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为
30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°．求“弘文
阁”AB的高（结果精确到0.1m，参考数据：，tan50°≈1.19，tan40°≈0.84， ）．
22. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，AD平分∠BAC，过点D作AC的垂线，垂足为点
E．
的
（1）求证：DE是⊙O 切线；
（2）延长AB交ED的延长线于点F，若⊙O半径的长为3，tan∠AFE＝ ，求CE的长．
五、解答题（共3道小题，每小题7分，共21分）
23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；
②用含a的代数式表示b；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与 轴交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分
与线段PQ所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．
24. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上的动点（BD＞CD），作射线AD，点B关于
射线AD的对称点为E，作直线CE，交射线AD于点F．连接AE，BF．
（1）依题意补全图形，直接写出∠AFE的度数；
（2）用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．
25. 在平面直角坐标系 中，给出如下定义：若点 在图形 上，点 在图形 上，如果 两点间
的
距离有最小值，那么称这个最小值为图形 的“近距离”，记为 ．特别地，当图形 与
图形 有公共点时， ．
已知A（－4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，－4），
（1）d（点A，点C）＝________，d（点A，线段BD）＝________；
（2）⊙O半径为r，
① 当r ＝ 1时，求 ⊙O与正方形ABCD的“近距离”d（⊙O，正方形ABCD）；
② 若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，则r ＝___________．
（3）M 为x轴上一点，⊙M的半径为1，⊙M与正方形ABCD的“近距离”d（⊙M，正方形ABCD）＜
1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围．
