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昌平区 2023—2024 学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷
本试卷共8页，共三部分，28个小题，满分100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填
涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡．
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个
1. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直
线的位置关系是（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定
2. 如果 ，那么下列比例式成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（
）
A. B. C. D.
4. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 90°
5. 在平面直角坐标系xOy中，若点 和 在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的
是（ ）
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A. B. C. D.
6. 如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继
续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则 的距离可表示为（ ）
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
7. 如图，在等腰 中， 于点 ，则 的值（ ）
A. B. C. D.
8. 如图， 是等边三角形，D，E分别是 ， 边上的点，且 ，连接 ， 相交于
点F，则下列说法正确的是（ ）
① ； ② ；③ ；④若 ，则
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
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二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 写出一个开口向下且过 的抛物线的表达式______．
10. 如图，M为反比例函数 的图象上的一点， 轴，垂足为A， 的面积为3，则k的
值为______．
11. 在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，
让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形 ）的外接圆，已知正六
边形 的边长是4，则 长为______．
12. 如图，在平行四边形 中，E为 的中点， ， 交于点F，则 和 的面积
比为______．
13. 如图，在 中，半径 垂直弦 于点D，若 ， ，则 的长为______．
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14. 小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，
三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是______cm．
的
15. 如图， 是 直径，点C是 上一点， 且 ，点D是 中点，点P是
直径 上一动点，则 的最小值为______．
的
16. 已知抛物线 （a，b，c为常数， ） 对称轴是直线 ，其部分图象如图，则
以下四个结论中：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确结论的序号
是______．
三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每
小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
.
17 计算： ．
18. 如图， 中，点D是边AB上一点，点E为 外一点， ，连接BE．从下列条件中：
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① ；② ．选择一个作为添加的条件，求证： ．
19. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如下表：
x … 1 3 …
y … 0 1 0 …
（1）求这个二次函数表达式；
在
（2） 平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当x的取值范围为______时， ．
20. 如图，在 中， ， 于点D， ， ，求 及 的
长．
21. 已知：如图，在 中， ．
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求作：射线 ，使得 ．
作法：①以点A为圆心， 长为半径画圆；
②延长 交 于点D，以点D为圆心， 长为半径画弧，与 交于点P（点C，P在线段 的同
侧）；
③作射线 ．
射线 即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接 ．
∵ ，
∴点C在 上．
∵ ，
∴ （____________）（填推理依据）．
∵ ，
∴ ______．
∴ ．
22. 如图，在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，点B在双曲线
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上，且满足 ，连接 ．
（1）求双曲线 的表达式；
（2）若 ，求 的值．
23. 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度 ，其
中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪 测得塔顶A的仰角为
，然后沿 方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为 ．请根据他们的测量数据求
塔高 的长度大约是多少．（参考数据： ， ， ， ，
， ．）
24. 如图， 是 的直径，点 在 上，点 为 的中点，过点 作 的切线，交 延长线
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于点 ，连接 交 于点 ．
是
（1）求证：四边形 矩形；
（2）作射线 交 的延长线于点F，若 ， ，求 的长．
25. 如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，
小静和小林分别站在点O和点A处，测得 距离为 ，若以点O为原点， 所在直线为x轴，建立如
图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面 的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线 ：
的一部分，小静恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线 ：
的一部分．
（1）抛物线 的最高点坐标为______；
（2）求a，c的值；
（3）小林在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，若小林成功接
到小静的回传沙包，则n的整数值可为______．
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26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）当 时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线 经过点 ，当自变量x的值满足 时，y随x的增大
而增大，求a的取值范围；
（3）当 时，点 ， 在抛物线 上．若 ，请直接写出m的
取值范围．
27. 在 中， ， ，点M为 的中点，连接 ，点D为线段 上一动
点，过点D作 ，且 ，（点E在 的上方），连接 ，过点E作 的垂线交
边于点F．
（1）如图1，当点D为 的中点时，
①依题意补全图形；
②直接写出 和 的数量关系为______；
（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段 和 之间的数量关系，并证明．
28. 对于在平面直角坐标系中 和 外的点P，给出如下定义：已知 的半径为1，若 上存在点
Q，满足 ，则称点P为 的关联点．
（1）如图，若点T的坐标为 ，
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①在点 ， ， 中，是 的关联点的是______；
②直线 分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在 的关联点，求b的取值范围；
（2）已知点 ， ， ， 上的每一个点都是 的关联点，直接写出m的取
值范围．
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