文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市朝阳区 2023~2024 学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用）
（考试时间120分钟 满分100分）
考生须知
1．本试卷共8页，28道小题．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号．
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对
称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案；
【详解】解：点 关于原点对称的点的坐标是 ，
故选：D．
2. 下列事件中，是不可能事件的是（ ）
A. 一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有 的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数是8
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 通常温度降到 以下，纯净的水结冰
D. 在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查随机事件，掌握随机事件、不可能事件、必然事件的定义，事先能肯定它一定会发生的
事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定
的，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．据此逐一判断即可．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：A、一枚质地均匀骰子的六个面上分别刻有 的点数，掷一次骰子，骰子向上一面的点数
是8是不可能事件，符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意；
C、通常温度降到 以下，纯净的水结冰是必然事件，不符合题意；
D、在同一平面内，任意画两条直线，这两条直线平行是随机事件，不符合题意；
故选：A．
3. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个
数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分
折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称
图形的概念进行判断即可．
【详解】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图
形的图形有圆、正六边形，共两个．
故选：B．
4. 如图， 是 的弦，若 的半径 ，圆心 到弦 的距离 ，则弦 的长为（
）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
由题意知， ，则 ，由勾股定理得， ，进而可求 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
故选：C．
5. 不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植物种子”的卡片
有1张，写有“人工种子”的卡片有5张．随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件 的概率 事件 可能出现的结果数 所有可能出现的
结果数．
直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：随机摸出一张卡片写有“珍稀濒危植物种子”的概率为 ，
故选：A．
6. 把抛物线 向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到的抛物线的解析式为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律．
二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式．
【详解】解：依题得：抛物线 向左平移 个单位长度可得： ；
再向上平移 个单位长度可得 ，
故选： ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
7. 在如图所示的正方形网格中，四边形 绕某一点旋转某一角度得到四边形 （所有顶点都
是网格线交点），在网格线交点 中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连
接对应点线段的垂直平分线上，连接 ， ，作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交于点
M，则M为旋转中心．
【详解】解：连接 ， ， 作 的垂直平分线，作 的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋
转中心的是点M．如下图：
故选∶A．
8. 用一个圆心角为 （ 为常数， ）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为 ，所作的圆锥
的底面圆的周长为 ，侧面积为 ，当 在一定范围内变化时， 与 都随 的变化而变化，则 与 与
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 二次函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计
算公式得出 与 ， 与 的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：圆锥的底面圆的周长为 ，即扇形的弧长 ；
圆锥的侧面积 ，即扇形的面积 ，
所以 是 的一次函数， 是 的二次函数，
故选：C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 方程 的根是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先移项，再利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
10. 的直径为 ，若圆心 与直线 的距离为 ，则 与 的位置关系是______（填“相
交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相切
【解析】
【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由 的直径为 ，求得 的半径为 ，而圆心
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
与直线 的距离为 ，则圆心 与直线 的距离等于 的半径，所以 与 相切，于是得到问题
的答案．
【详解】解： 的直径为 ， ，
的半径为 ，
圆心 与直线 的距离为 ，
圆心 与直线 的距离等于 的半径，
与 相切，
故答案为：相切．
11. 抛物线 的顶点坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数 的性质，解答本题的关键是会将抛物线的解析式化为顶点式．将抛物线解析式
化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解： 抛物线 ，
该抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
12. 如图，在 中，弦 相交于点 ，则 的度数为______ ．
【答案】140
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理的应用，根据对顶角相等得 ，由三角形内角和定理得
，再根据圆周角定理得 ．
【详解】解：∵
∴
又
∴ ，
∴ ，
故答案为：140
13. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是
检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
合格的产品频率
0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
估计这批产品合格的产品的概率为______．
【答案】0.959（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，
并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近
似值就是这个事件的概率，据此求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由表格可得：估计这批产品合格的产品的概率为0.959，
故答案为：0.959（答案不唯一）．
14. 如图， 是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转 ，点B的对应点为 ，连接 ，若
，则图中阴影部分的面积是 ________．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后 与半圆 O交于点 C，连接 ，根据
求解即可．
【详解】解：设旋转后 与半圆O交于点C，连接 ，过点C作 于点D，如图，
，
，
， ，
，
，
，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
故答案为： ．
15. 对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度 ，初速度 ，抛出后所经历的时间 ，这三
个量之间有如下关系： （其中 是重力加速度， 取 ）．将一物体以 的
初速度向上抛，当物体处在离抛出点 高的地方时， 的值为______．
【答案】 或3
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确把已知数据代入是解题的关键，把
， 代入 得一元二次方程，求解即可．
【详解】解：将 ， 代入 得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
当物体处在离抛出点 高的地方时， 的值为 或 ，
∴
故答案为： 或 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
16. 已知函数 （ 是常数， ）， （ 是常数， ），在同一
平面直角坐标系中，若无论 为何值，函数 和 的图象总有公共点，则 的取值范围是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，分类讨论、数形结合是解题的关键．
求得函数 ( 是常数， 的图象过定点 ，函数 是常数，
与 轴的交点为 ，然后分两种情况讨论即可求得 的取值．
【详解】解：∵ ，
∴函数 ( 是常数， )的图象过定点
∵ ，
∴函数 是常数， 与 轴的交点为 ，
当 时，无论 为何值，函数 和 的图象总有公共点，
∴ 满足题意；
当 时，
∵无论 为何值，函数 和 的图象总有公共点，
∴ 时， ，即 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
解得 ，
∴ 满足题意；
∴无论 为何值，函数 和 的图象总有公共点，则 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此
题的关键．
【详解】解： ，
，
，
，
．
．
18. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一根小于0，求 的取值范围．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，公式法解一元二次方程；
（1）求出根的判别式 ，根据判别式的意义可得结论；
（2）利用公式法求出方程的解为 ， ，根据该方程有一根小于0可知 ，然后可求
出 的取值范围．
【小问1详解】
证明：依题意，得 ，
该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
， ，
∵该方程有一根小于0，
∴ ，
∴ ．
19. 已知一次函数 和二次函数 ，下表给出了 与自变量
的几组对应值：
… 0 1 2 3 4 …
… 5 4 3 2 1 0 …
… 0 3 4 3 0 …
（1）求 的解析式；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求二次函数；
（1）先确定抛物线顶点 ，用待定系数法求出 的表达式；
（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为 和 ， 时， ，从而得出不等式
的解集．
【小问1详解】
解：根据题意，当 时， ；当 时， ，
抛物线顶点为 ，
设该二次函数的解析式为 ，
当 时， ，代入表达式，
，
；
【小问2详解】
解：当 时， ；当 时， ，
∴直线与抛物线的交点为 和 ，
而 时， ，
∴不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
20. 如图，在等腰直角 中， 是 边上任意一点（不与 重合），将线段
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等腰直角三角形的性质可得 ，由旋转的性质可得： ，
，从而得到 ，证明 得出 ，从而得到
；
（2）由（1）可知， ，得到 ，由勾股定理可得 ，从而得出
，最后由勾股定理进行计算即可．
【小问1详解】
解： 是等腰直角三角形，
，
由旋转的性质可得： ， ，
，即 ，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知， ，
，
，
，
，
在 中，根据勾股定理 ．
21. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车
经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况．
（1）列举出所有可能的情况；
的
（2）求出至少有一辆车向左转 概率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况
数与总情况数之比．
（1）列表得出所有可能出现的情况即可；
（2）由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况
有5种，再由概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况，
车1 直行 左转 右转
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
车2
直行 （直行，直行） （左转，直行） （右转，直行）
左转 （直行，左转） （左转，左转） （右转，左转）
右转 （直行，右转） （左转，右转） （右转，右转）
的
【小问2详解】解：由（1）可知，所有可能出现 情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车
向左转的情况有5种，
所以 （至少有一辆车向左转） ．
22. 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的
四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．
已知：如图，在四边形 中， ．
求证：点 在同一个圆上．
他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点 的 ，
再证明第四个顶点 也在 上．
具体过程如下：
步骤一 作出过 三点的 ．
如图1，分别作出线段 的垂直平分线 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
设它们的交点为 ，以 为圆心， 的长为半径作 ．
连接 ，
（①______）．（填推理依据）
．
点 在 上．
步骤二 用反证法证明点 也在 上．
假设点 不在 上，则点 在 内或 外．
ⅰ．如图2，假设点 在 内．
延长 交 于点 ，连接 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（②______）．（填推理依据）
是 的外角，
（③______）．（填推理依据）
．
．
这与已知条件 矛盾．
假设不成立．即点 不在 内．
ⅱ．如图3，假设点 在 外．
设 与 交于点 ，连接 ．
．
是 的外角，
．
．
．
这与已知条件 矛盾．
假设不成立．即点 不在 外．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
综上所述，点 在 上．
点 在同一个圆上．
阅读上述材料，并解答问题：
（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）填推理依据：①______，②______，③______．
【答案】（1）见解析；（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．②圆内接四边形
的对角互补．③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【解析】
【分析】本题考查的是画三角形的外接圆，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，圆的内接四
边形的性质，反证法的运用，熟练的利用反证法证明命题的真假是解本题的关键；
（1）先作线段 ， 的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心， 为半径画圆即可；
（2）由线段的垂直平分线的性质可得 ，再利用圆的内接四边形的性质可得对角互补，结
合三角形的外角的性质可得推理的依据．
【详解】解；（1）补全图1，如图．
（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
②圆内接四边形的对角互补．
③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
23. 某校乒乓球队举行队内比赛，比赛规则是每两个队员之间都赛一场，每场比赛都要分出胜负，每一场
比赛结束后依据胜负给出相应积分．本次比赛一共进行了210场，用时两天完成．下面是第一天比赛结束
后部分队员的积分表：
比赛场
队员号码 胜场 负场 积分
次
1 10 8 2 18
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2 10 10 0 20
3 8 7 1 15
4 8 6 2 14
5 7 0 7 7
（1）在本次比赛中，有一名队员只输掉了一场比赛，则该名队员的积分是多少？
（2）如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于34分，那么他最多负______场．
【答案】（1）该名队员本次比赛中的积分是39分
（2）6
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用；
（1）设参加本次比赛的队员共 人，根据每两个队员之间都赛一场，一共进行了210场比赛列一元二次方
程，解方程求出参赛总人数，可得每个人都需要进行20场比赛，由表格数据分析得出胜一场积2分，负一
场积1分，再计算输掉一场比赛时的积分即可；
（2）设这名队员负m场，根据积分不低于34分列一元一次不等式，解不等式可得答案．
【小问1详解】
解：设参加本次比赛的队员共 人．
由题意，得 ，
解方程，得 （舍去），
所以参加本次比赛的队员共21人，每个人都需要进行20场比赛，
由2号队员胜10场积20分可知胜一场积2分，
由5号队员负7场积7分可知负一场积1分，
所以该名队员在本次比赛中的积分是 ，
答：该名队员本次比赛中的积分是39分．
【小问2详解】
设这名队员负m场，
由题意得： ，
解得： ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴他最多负6场，
故答案为：6．
24. 如图， 是圆内接四边形 的对角线， 于点 平分 ．
（1）求 的度数；
（2）点 在 的延长线上， 是该圆的切线．
①求证： 是该圆的切线；
②若 ，直接写出 的长．
【答案】（1）
（2）①见解析；② 的长为3．
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义求得 ，根据圆周角定理求得 ，利用
，据此可求解；
（2）①连接 ，证明 ，推出 ，即可证明 是该圆的切线；
②证明 和 都是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得半径为
1，据此求解即可．
【小问1详解】
解： 平分 ，
．
，
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
．
．
；
【小问2详解】
①证明：如图，取 的中点 ，连接 ．
，
是该圆的直径．
点 是该圆的圆心．
是 的切线，
．
，
．
，
．
．
是 的切线；
②∵ 、 都是 的切线，
∴ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的长为3．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25. 如图 所示，草坪上的喷水装置 高 ，喷头 一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流
在与喷水装置 的水平距离为 处，达到最高点 ，点 距离地面 ．
（1）请建立适当的平面直角坐标系 ，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头 能旋转 ，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪
的面积（ 取 ，结果保留整数）．
【答案】（1） ；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为 ．
【解析】
【分析】（ ）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（ ）令 ，求出图象与 轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出 的值；
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积，利用数形结合得出对应点的
坐标与线段的长是解题的关键．
【小问1详解】
解：以点 为坐标原点，原点与水流落地点 所在直线为 轴，喷水装置 所在直线为 轴，建立如图
所示的平面直角坐标系 ，
由题意可知，抛物线顶点 ，
设抛物线对应的函数解析式为 ，
由抛物线经过点 ，可得 ，
解得 ，
；
【小问2详解】
解：令 ，
解得 ， （舍去），
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
喷灌面积 ，
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为 ．
26. 在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，设抛物线的对称轴
为 ．
（1）若对于 ， ，有 ，求 的值；
（2）若对于 ， ，存在 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 的取值范围是
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求的对称轴即可求解．
（2）根据题意可得当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，设抛物线上的四
个点的坐标为 ， ， ， 可得 ，分情况讨论是否存在
即可解答．
【小问1详解】
解：由题意知， ．
．
．
【小问2详解】
，
当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
设抛物线上的四个点的坐标为 ， ， ， ．
点A关于对称轴 的对称点为 ．
抛物线开口向上，点 是抛物线顶点，
．
ⅰ．当 时， ．
．
．
不存在 ，不符合题意．
ⅱ．当 时， ．
．
．
存在 ，符合题意．
ⅲ．当 时，
的最小值为 ．
，
存在 ，符合题意．
ⅳ．当 时， ．
．
．
存在 ，符合题意．
ⅴ．当 时， ．
．
．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
不存在 ，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ．
27. 已知线段 和点 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，将线段
绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 为 的中点，连接 ．
（1）如图1，点 在线段 上，依题意补全图1，直接写出 的度数；
（2）如图2，点 在线段 的上方，写出一个 的度数，使得 成立，并证明．
【答案】（1）
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）依题意即可补全图形， 连接 ，由题意得 ，即
， ，推出 ，由旋转的性质得到
， 进 而 得 到 ， 易 得
， 根 据 F 为 的 中 点 ， 得 到 ， 易 证 ，
，推出 ，即可求解；
的
（2）延长 到点 ，使得 ，连接 ，连接 并延长，与 延长线相交于点 ．证
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
明 ， ，即可证明结论．
【小问1详解】
解：补全图1，如图，连接 ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
F为 的中点，
，
， ，
，
同理 ，
，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
，
，
；
【
小问2详解】
，
证明：延长 到点 ，使得 ，连接 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ．
是 的中点，
．
， ，
．
．
．
．
在 中，
．
， ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
．
．
．
，
．
．
．
．
【点睛】本题是一道几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定
与性质，三角形内角和定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，已知 ．
对于点 给出如下定义：若 ，则称 为线段 的“等直点”．
（1）当 时，
①在点 中，线段 的“等直点”是______；
②点 在直线 上，若点 为线段 的“等直点”，直接写出点 的横坐标．
（2）当直线 上存在线段 的两个“等直点”时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）① ， ；② 或
（2） 且
【解析】
【分析】（1）①根据题意作等腰直角 ，且 ，此时点 的坐标为 或点 的坐标为
，圆的半径为 ，根据点 、 、 、 到圆心的距离与半径比较，即可判断；
②作 轴于点 ，连接 ，设 ，利用勾股定理列式计算即可求解；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（2）当圆与直线 相切时，直线上开始存在线段 的“等直点”，再根据圆与切线的关系求
出t的临界值，即可求t的取值范围．
【小问1详解】
解：①∵ ，
∴ ，
作等腰直角 ，且 ，
此时 ，
∴点 的坐标为 或点 的坐标为 ，
∴圆的半径为 ，
∵ ，
∴点 是线段 的“等直点”；
∵ ，
∴点 不是线段 的“等直点”；
∵ ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴点 是线段 的“等直点”；
∵ ，
∴点 不是线段 的“等直点”；
故答案为： ， ；
②作 轴于点 ，连接 ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 （舍去 ），
∴点 的横坐标为 ；
同理，点 的横坐标为 ；
综上，点 的横坐标为 或 ；
【小问2详解】
解：作 轴交x轴于点 ，交直线 于点 ，作直线 的垂线，垂足为点 ，
则 ，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∵ ，
∴ ，
∴点 的横坐标为 ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
解得 ；
如图，同理求得 ；
当直线 经过点 或点 时，直线 上只存在线段 的一个“等直点”，
此时 或 ；
综上， 的取值范围为 且 ．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，圆周角与圆心角的性质，切
线与圆的性质是解题的关键．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
