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2024年高三上学期数学期中考试试题
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（本题5分）若 ,且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题5分）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若
一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥
的轴在同一条直线上，截面图如下，其中 ， ， ，若不考
虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据： ，铜的密度为8.96
）（ ）
A．1kg B．2kg C．3kg D．0.5kg
4．（本题5分）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（本题5分）在 中， 为边 上一点， ，且的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）设函数 在区间 恰有三个极值点，两个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题5分）直线l过双曲线E： 的左顶点A，斜率为 ，与双
曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（本题5分）已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x( ，a≠1)，对任意x，x∈[0,1]，不
1 2
等式|f(x)－f(x)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（ ）
1 2
A． B．[2，e]
C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)
二、多选题（共20分）
9．（本题5分）已知数列 是等差数列， 是等比数列，则下列说法中正确的是
（ ）
A．将数列 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列
B．数列 ， ， ，…，是等差数列
C．将数列 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列D．数列 ， ， ， ，…，是等比数列
10．（本题5分）已知函数 和 且 ，若两函数图象相交，
则其交点的个数可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（本题5分）已知函数 的定义域为R， ，
，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．
12．（本题5分）设 是定义在 上的可导函数，其导数为 ，若 是奇函
数，且对于任意的 ，f (4−x)=f (x)，则对于任意的 ，下列说法正确的是
（ ）
A． 都是 的周期 B．曲线y=g(x)关于点 对称
C．曲线y=g(x)关于直线 对称 D． 都是偶函数
三、填空题（共20分）
13．（本题5分）已知sin α＝ ，sin(α－β)＝－ ，α，β均为锐角，则β＝ .
14．（本题5分）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随
机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ．
15．（本题5分）设函数 ，若 恒成立，则 的最小值为
.16．（本题5分）已知函数 若存在实数 满足 ，且
，则 的取值范围为 .
四、解答题（共70分）
17．（本题10分） 的内角 所对的边分别为 ， 是 边上的一点，且
满足 ，若 ， ．
(1)求 ；
(2)求三角形 的面积．
18．（本题12分）已知向量 ， ，函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若
恰好为函数 的最大值，且此时 ，求3a＋4b的最小值．
19．（本题12分）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 ，若 对于 恒成立，求 的最小值．
20．（本题12分）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮
按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 ）开始
计算时间．(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直
的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示
为时间t（单位：秒）的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
21．（本题12分）已知椭圆 的标准方程 ，其左右焦点分别为 ．
(1)过点 的直线交椭圆 于 两点，若 ，求直线 的方程；
(2)直线 过右焦点 ，且它们的斜率乘积为 ，设 分别与椭圆交于点 和 ．
若 分别是线段 和 的中点，证直线 过定点，并求 面积的最大值．
22．（本题12分）多元导数在微积分学中有重要的应用.设 是由 ， ， …等多个自变
量唯一确定的因变量，则当 变化为 时， 变化为 ，记 为 对 的导数，
其符号为 .和一般导数一样，若在 上，已知 ，则 随着 的增大而增大；
反之，已知 ，则 随着 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还
具有下列性质：①可加性： ；②乘法法则： ；
③除法法则： ；④复合法则： .记.（ 为自然对数的底数），
(1)写出 和 的表达式；
(2)已知方程 有两实根 ， .
①求出 的取值范围；
②证明 ，并写出 随 的变化趋势.参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A A B A C ABD ABC
题号 11 12
答案 BCD BC
13．
14．
15． /0.5
16．
17．(1)
(2)
18．(1)
(2)
19．(1)
(2)单调递增区间是 ，递减区间是
(3)
20．(1)
(2)2秒
21．(1) 或
(2，
22．(1) ，(2)① ；②， 随 增大而减小
