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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京交大附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题符合题意的选项只有一个。
1. 5的平方根是（ ）
A. B. C. D. ±5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求一个数的平方根，理解平方根的定义是解题的关键．
如果 ，那么 叫做 的平方根，记作 ，据此求解即可．
【详解】5的平方根是 ．
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了第四象限的点坐标的特征．熟练掌握：第四象限点坐标的特征为 ，是解题的关
键．
根据第四象限的点坐标的特征，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知， 位于第四象限，
故选：D．
3. 在下列实数 ， ，2.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）， ， ， 中，无理
数的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念：无理数是指无限不循环小数．无理数包括三方面的数：①含π的，②开
方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．
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【详解】解： ，
无理数有： ，2.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）， ， ，共4个．
故选：D．
4. 如图，在数轴上表示的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
【详解】如图，
在数轴上表示的x的取值范围为x＜2，
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
5. 如图，直线 ，三角板的直角顶点放在直线 上，两直角边与直线 相交，如果 ，那么
等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠3=∠1=60°，再由已知直角三角板得∠4=90°，然后由
∠2+∠3+∠4=180°求出∠2．
【详解】已知直线a∥b，
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∴∠3=∠1=60°（两直线平行，同位角相等），
∠4=90°（已知），
∠2+∠3+∠4=180°（已知直线），
∴∠2=180°-60°-90°=30°．
故选：A．
【点睛】此题考查平行线性质的应用，解题关键是由平行线性质：两直线平行，同位角相等，求出∠3．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直
B. 如果 ，那么
C. 如果两直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D. 如果α与β都是γ的邻补角，那么α与β一定相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据平行线的性
质、不等式的性质，邻补角、垂线的概念，真假命题的概念判断即可．
【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原选项不是真命题，不符
合题意．
B、如果 ，若 ，那么 ；若 ，那么 ，此选项不是真命题，不符合题意；
C、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，此选项不是真命题，不符合题意；
D、如果α与β都是γ的邻补角，那么α与β一定相等,是真命题，符合题意，
故选：D．
7. 方程组 的解满足的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】两式相加得到x，代入②得到方程组的解，即可得到答案；
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【详解】解：两式相加得，
，解得 ，
将 代入②得，
，
∴ ， ， ，
故选B；
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确解出方程组的解在代入代数式判断．
8. 某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新
综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球（ ）
A. 第4名 B. 第3名 C. 第2名 D. 第1名
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标确定问题，两个排名表相互结合即可得到答案
【详解】解：根据中国创新综合排名全球第22名，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11名，
再根据中国创新产出排名为第11名在另一排名中找到创新效率排名为第3名，
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故选：B
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 写出一个大于2且小于3的无理数______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义即可求出答案．
【详解】解：依题意，写出一个大于2且小于3的无理数可以是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
10. 如图，点A，B，C，D，E在直线 上，点P在直线 外，PC⊥ 于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE
中，最短的一条线段是_____，理由是___
【答案】 ①. PC ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．
【详解】根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所
作的垂线段最短．
故答案是：PC；垂线段最短．
【点睛】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
11. 红领巾公园健走步道环湖而建，以红军长征路为主题．如图是利用平面直角坐标系画出的健走步道路
线上主要地点的大致分布图，这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，如果表示遵义的
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点的坐标为 ，表示腊子口的点的坐标为 ，那么表示泸定桥的点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用遵义和腊子口的位置进而确定原点的位置．建立平面直角坐标系，再找出泸定桥的点的
坐标，即可作答．此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点坐标得出原点位置是解题关键．
【详解】解：∵表示遵义的点的坐标为 ，表示腊子口的点的坐标为
∴建立平面直角坐标系，如图所示：
∴表示泸定桥的点的坐标是
故答案为：
12. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点 ，则
点 表示的数为______．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，首先求出正方形对角线的长度，再根据点 A在数轴上的位
置，确定点A表示的数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
【详解】∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度 ，
∴点A表示 ．
故答案为： ．
13. 2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个．到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有2261个，
其中滑冰场地比2018年滑冰场地的2倍多232个，滑雪场地比2018年滑雪场地增加了287个．求2018年
全国滑冰场地和滑雪场地各有多少个．设2018年全国滑冰场地和滑雪场地分别有 个， 个，依据题意，
可列二元一次方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个；到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有
2261个，列方程组即可．
详解】解：由题意得： ．
【
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组．
14. 在平面直角坐标系中，点 坐的标为 ，若线段 轴，且 ，则点 的坐标为_____．
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【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了平行于坐标轴的点的坐标特征，掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特征是解题
的关键．直线平行于 轴，则直线上的点的横坐标不变，如果直线平行于 轴，则直线上的点的纵坐标不
变，再根据两点间的距离确定这一点的另一坐标.
【详解】解： 轴，
点横坐标为 ，
又 ，
当 点在 点下方时， ，
当 点在 点上方时， ，
故答案为： 或 .
15. 在数轴上，点M表示数2，点A表示数 ，点A关于点M的对称点为点B，则点B表示的数为_____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴以及数轴上两点的中点计算公式，根据题意可知点 M是点A和点B的
中点，根据数轴上两点中点计算公式进行求解即可．
【详解】解：设点A关于点M对称的点为B，且B表示的数为x，
由题意得， ，
解得 ，
∴点B表示的数为
故答案为： ．
16. 在平面直角坐标系xOy中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有如下四个结论：
①第二象限内有无数个“2和点”；
②第一、三象限的角平分线上的“3和点”有两个；
③y轴上没有“5和点”；
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④若第三象限内没有“k和点”，则 ．
其中正确的结论序号是_________．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】根据“k和点”的定义，设点的坐标为 ，逐项判断即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，设点的坐标为
．
① 由题意得 ，且满足 ，这样的点有无数个，故①正确；
②由题意得“3和点”在第一、三象限的角平分线上，则 ， ，∴ ，∴第一、
三象限的角平分线上的“3和点”有一个，故②错误；
③由题意得“5和点”在y轴上，则 ， ，∴ ，故③错误；
④第三象限内点 ， ，故 ，若第三象限内没有“k和点”，则 ，故④正确．
故答案为：①④
【点睛】本题为新定义问题，考查了平面直角坐标系相关知识，熟知平面直角坐标系知识，理解“k和
点”的定义是解题关键．
三、解答题（本题共 60分，17题5分，18题7分，19-20题每题5分，21-24题每题6分，
25、26题每题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简 ，
然后再进行加减运算即可．
【详解】解：
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．
18. 解方程或方程组：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方根和二元一次方程组，掌握平方根的定义以及加减消元法或代入消元法解二元一
次方程组是解答本题的关键．
（1）方程移项，然后开方，即可得解；
（2）直接由 消去未知数 ，求出未知数 ，再代入 即可解出答案．
【小问1详解】
解： ，
，
解得： ， ；
【小问2详解】
解：
由 得： ，解得 ，
将 代入 得 ，
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故原方程的解为： ．
19. 解不等式 ，并在数轴上表示其解集．
【答案】 ，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，先根据去括号、移项、合并后系
数化为1后即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并得， ，
系数化为1，得： ，
在数轴上表示如下：
20. 已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【答案】∠DOE＝110°
【解析】
【分析】根据邻补角的性质得到∠BOC＝140°，由角平分线的定义得到∠COE＝70°，再根据邻补角的性质
可求出答案．
【详解】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°−∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝ ∠BOC＝70°，
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∴∠DOE＝180°−∠COE＝110°．
【点睛】本题考查的是邻补角的性质，角平分线的定义，掌握邻补角的和等于180°是解题的关键．
21. 如图，已知 ， 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，且 ，求 的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据垂直的定义可得 ，再根据平行线的判定可得 ，然后根据平
行线的性质可得 ，从而可得 ，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）连接 ，设 ，则 ，再根据
建立方程，解方程可得 ，然后根据平行线的性质即可得．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
，
，
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，
，
，
．
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
设 ，
，
，
，
由（1）已得： ，
，
，
解得 ，
即 ，
由（1）已证： ，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
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22. 在平面直角坐标系 中， 的三个顶点分别是 ．
（1）在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
（2）点A经过平移后对应点为 ，将 作同样的平移得到 ，点B、C分别与点E、F
对应，画出平移后的 ；
（3）在（2）的条件下，在坐标轴上找到点Q，使得 的面积与 的面积相等，则 的面
积为_______，点Q的坐标为________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10，（0，1）或（0，-7）
【解析】
【分析】（1）根据三个点的坐标作图即可；
（2）将点B、C分别向右平移5格、向下平移3格得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据三角形的面积公式计算可得△ABC的面积，由S =S ，而△DEF与△DFQ共底知点Q不可
△ABC △DEF
能在x轴上，且点Q在平行于DF、到DF的距离为4个单位长度的直线上，据此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示；
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（2）如图所示，△DEF即为所求．
（3）∵S =S = ×5×4=10，而△DEF与△DFQ共底，
△ABC △DEF
的
∴点Q不可能在x轴上，且点Q在平行于DF、到DF 距离为4个单位长度的直线上，
∴点Q坐标为（0，1）、（0，-7），
故答案为：10，（0，1）、（0，-7）．
【点睛】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对
应点．
23. 已知正实数 的平方根为 和 ．
（1）当 时， 的值为 ；
（2）若 ，则 的值为 ．
【答案】（1）9 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列式求解；
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（2）根据平方根的定义得到 ， ，最后代入求解即可．
本题考查平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握平方根的定义及性质是解题的关键．
【小问1详解】
解： 正实数 的平方根是 和 ，
，
，
，
；
．
故答案为：9；
【小问2详解】
解： 正实数 的平方根是 和 ，
， ，
，
，
，
，
．
故答案为：2
24. 定义：形如关于 的方程 与 的两个方程互为共轭二元一次方程，其中 ；
由这两个方程组成的方程组 ，叫做共轭方程组．
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（1）请写出方程 的共轭二元一次方程： ；
（2）若方程 中 的值满足表格：
﹣
x 2
1
y 2 1
求这个方程的共轭二元一次方程；
（3）若共轭方程组 的解是 ，请你求出 的数量关系．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确
定共轭方程及方程组是解题的关键．
（1）根据共轭二元一次方程的定义即可得到；
（2）根据表格的数据求得 ，即可求得这个方程的共轭二元一次方程；
（3）分别根据代入法或是加减法解方程组，观察解中 与 的关系即可得到答案．
【小问1详解】
解：方程 的共轭二元一次方程是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：方程 中，当 时， ；当 时， ，
，
解得 ，
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的
这个方程 共轭二元一次方程是 ；
【小问3详解】
解： ，
得， ，
得， ，
解得 ，
将 代入 得， ，
解得 ，
，
共轭方程组 的解是 ，
．
25. 如图，已知直线 与直线 ，直线 分别交于点E，F， 平分 交直线 于点M，
且 ．
（1）求证： ；
（2）点G是射线 上的一个动点(不与点M，F重合)， 平分 交直线 于点H，过点H作
交直线 于点N，设 ．
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①点G在点F右侧，且 ，求 的度数；
②点G在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请写出结论．
【答案】（1）见解析 （2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）由角平分线的定义即得出 ，结合题意可证明 ，即得出
；
（2）① 平分 和 ，可得 ，从而得到
，再由 ，可得 ，即可
求解；②分两种情况讨论：当点G在点F的右侧，当点G在点F的左侧时，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ 平分 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①如图1，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
② 和 之间的数量关系为 或 ．理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）得 ，
当点G在点F的左侧时，如图2，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
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∴ ，
即 ，
综上所述， 和 之间的数量关系为 或 ．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
26. 在平面直角坐标系 中，对于点 ， ，记 ， ，将
称为点 ， 的横纵偏差，记为 ，即 ．若点 在线段 上，将
的最值称为线段 关于点 的横纵偏差，记为 ．
（1） ， ，
① 的值是 ；
②点 在 轴上，若 ，则点 的坐标是 ．
（2）点 ， 在x轴上，点 在点 的左侧， ，点 的坐标为 ．
①当点 的坐标为 时，求 的值；
②当线段 在 轴上运动时，直接写出 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1）① ；② 或
（2）① ；② 的最小值为 ，点 的坐标为 或
【解析】
【分析】考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中
及 的意义．
（1）①根据 的含义即可求得；②设 ，则可得 与 ，由
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即得关于 的方程，解方程即可；
（2）①由已知易得点 的坐标，设点 为线段 上任意一点，则 ，从而可得 与 ，进
而求得 ，由 的取值范围即可求得 的最大值，最后可求得 的值；②由已知
易得 或 ，设点 ，则 ，求出 ，
，当 时， 有最小值，从而可得关于 的方程，解方
程即可求得 的值，从而可求得此时 的最小值及点 的坐标．
【小问1详解】
① ， ，
， ，
则 ，
故答案为： ；
② ，点 在 轴上，设 ，
， ，
，
，
或 ，
解得 或 ，
的坐标是 或 ，
故答案为： 或 ；
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【小问2详解】
① 点 ， 在x轴上，点 在点 的左侧， ，点 的坐标为
点 ，
设点 为线段 上任意一点，则 ，
点 的坐标为 ，
， ，
，
由 ，可得 ，
，
的最大值是 ，
；
② 或 ，
设点 ，则 ，
，
， ，
当 时， 有最小值，即 时，有最小值，
或 ，则有最小值为 ，点 的坐标为 或 ．
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