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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京理工大学附属中学分校
八年级（下）月考数学试卷（4 月份）
一、单选题
1. 光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示为（ ）千米/秒
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数，按要求表
示即可．
【详解】解： 光在真空中的速度约为每秒30万千米，
光在真空中的速度约为30万千米/秒，
30万千米 千米，3后面有5个0，
用科学记数法表示为 千米/秒，
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定 与 的值是解决问题的关键．
2. 下列图形不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
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【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，实数的加法、减法、乘法运算的理解，掌握
“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键．根据数轴上右边的数总比左边的大，结合绝对值的几
何意义和实数的运算法则逐一分析判定即可．
【详解】解：观察数轴可得： ， ，
A． ，错误，该选项不符合题意；
B． ，错误，该选项不符合题意；
C． ，错误，该选项不符合题意；
D． ，正确，该选项符合题意；
故选：D．
4. 一把直尺和一块三角板ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直
角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF
的大小为（ ）
A. 20° B. 40° C. 45° D. 50°
【答案】A
【解析】
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【分析】根据平行线的性质得出∠AFC的度数，然后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】∵DE∥AF，
∴∠AFC=∠CDE=50°，
根据三角形外角的性质可得：∠AFC=∠B+∠BAF，∴∠BAF=50°－30°=20°，故选A．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，属于基础题型．明白平行线的性质是解
题的关键．
5. 已知 =1，则代数式 的值为（ ）
A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】由 =1利用分式的加减运算法则得出m-n=-mn，代入原式= 计算可得．
【详解】∵ =1，
∴ =1，
则 =1，
∴mn=n-m，即m-n=-mn，
则原式= = = =-3，
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用．
6. 已知一正 边形的内角和等于 ，则这个正多边形的每个外角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和求出 的值，再根据正多边形的每个外角相等、多边形的外角和等于
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即可得．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
则这个正多边形的每个外角等于 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题关键．
的
7. 罚球是篮球比赛中得分 一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球
员罚球训练时命中情况的统计：
下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着
罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命
中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，所以“罚球命中”的概率是0.809．
其中合理的是（ ）
A. ① B. ② C. ①③ D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答本题
【详解】当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500＝0.822，
但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；
随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚
球命中”的概率是0.812．故②正确；
虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，但是“罚球命中”的概率不是0.809，故③错误．
故选B．
【点睛】此题考查了频数和频率的意义,解题的关键在于利用频率估计概率.
8. 如图，正方形边长为a，点E是正方形 内一点，满足 ，连接 ．给出下面四个结
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论：① ；② ；③ 的度数最大值为 ；④当 时，
．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，连接 交 于H，取 中点O，连接 ，先证明点E在以点O为圆心，
为直径的圆上运动，当 三点共线，即点E运动到点H时 ， 当 三点
共线时， 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当 与 相切时 有最大值，证明
，得到 ， ，则 ，再证明
，得到 ，即可判断③④．
【详解】解：如图所示，连接 交 于H，取 中点O，连接 ，
∵四边形 是正方形，
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∴ ；
∵ ，
∴点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∵ ，
∴点H在圆O上，
∵ ，
∴当 三点共线，即点E运动到点H时， ，故①正确；
∵点E在以点O为圆心， 为直径的圆上运动，
∴当 三点共线时， 有最小值，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，故②错误；
如下图所示，当 与 相切时 有最大值，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ 的度数最大值不是 ，故③错误；
∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹
是解题的关键．
二、填空题
9. 若分式 的值为0，则 的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴x-1=0且x≠0，
∴x=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
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10. 方程 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
解分式方程的一般步骤是：去分母转化为整式方程，解整式方程，检验得分式方程的解，据此求解即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
11. 将抛物线 先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为
___________．
【答案】
【解析】
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右
减”即可得出结论．
【详解】解：将抛物线 先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解
析式为 ，
故答案为： ．
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12. 如图，A，B，D三点在半径为5的 上， 是 的一条弦，且 ，垂足为C，若
，则 的长为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得出 ，然后根据勾股定理求出
结果即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，
∴ ，
故答案为：3．
13. 有甲､乙两组数据，如表所示：
1
甲 11 12 13 15
4
1 1
乙 12 13 14
2 4
甲､乙两组数据的方差分别为 ，则 ______________ （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可．
【详解】解：由题意得：
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， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ；
故答案为＞．
【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键．
14. 如图，菱形 的对角线交于点 ，点 为 的中点， ， ，则 的长为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性
质得 ， ， ，由勾股定理得
，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解．根据勾股定
理求出 的长是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ．
故答案为： ．
15. 如图，点 在正六边形的边 上运动．若 ，写出一个符合条件的 的值_________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先求得 ，在根据点 的不同位置，求得 的取值范围，从而得解．
【详解】解：∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
当点 在点 处时，
∵ ， ，
∴ ，
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当点 在点 处时，延长 交 的延长线于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 即 ，
∴ 是正三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为 （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正
多边形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键．
.
16 某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，施工要求如下：
①先完成工序A，B，C，再完成工序D，E，F，最后完成工序G；
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②完成工序A后方可进行工序B，工序C可与工序A，B同时进行；
③完成工序D后方可进行工序E，工序F可与工序D，E同时进行；
④完成各道工序所需时间如下表所示：
工序 A B C D E F G
1
所需时间/天 11 15 28 17 31 25
6
（1）在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少________天完成；
（2）现因情况有变，需将工期缩短到80天，工序A，C，D每缩短1天需增加的投入分别为5万元，4万
元，6万元，其余工序所需时间不可缩短，则所增加的投入最少是______万元．
【答案】 ①. 86 ②. 38
【解析】
【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式准确计算．
（1）在完成C 的同时完成A、B，然后完成D，E的同时完成F，最后完成G，列式计算即可；
（2）根据题意可以缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，然后列出算式进行计算即可．
【详解】解：（1）在完成C的同时完成A、B，最少需要28天，完成D，E的同时完成F最少需要
天，完成G需要25天，
∴在不考虑其它因素的前提下，该施工任务最少需要：
（天）；
故答案为：86；
（2） （天），
∴至少需要将整个任务缩短6天，
∵B，E，F，G不可缩短，
∴ 工序最多可以缩短 天，
∵ 天，
∴只缩短 工序2天，A工序可以不缩短，然后 工序每缩短1天，C工序就要缩短1天，
∴当缩短A工序2天，缩短C工序4天，缩短D工序2天，正好可以将工期缩短到80天，此时增加的投入
最少，且最少为：
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（万元），
故答案为：38．
三、解答题
17. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
【详解】原式=
【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18. 解不等式组 ，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式解集为 ，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．
【详解】解： ，
解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
原不等式解集为 ，
在数轴上表示为：
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【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式组的解集，正确的计算是解题的关键．
19. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求 的取值范围；
（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求 的值．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（ ）根据根的情况确定参数 的范围，由 即可求解；
（ ）利用根与系数的关系得出 ，解方程即可；
此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程
根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两个相等的实数根时，
；当方程没有实数根是解题的关键时， ，熟记：一元二次方程 的两个
根为 ， ，则 ， ．
【小问1详解】
∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
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∴ 的取值范围是 ；
【小问2详解】
设 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，
则 ，
解得： ．
20. 下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．
已知：线段 ．
求作：等边三角形 ．
作法：如图，
①以点A为圆心，以 的长为半径作 ；
②以点B为圆心，以 的长为半径作 ，交 于C；
③连接 ．
所以 就是所求作的三角形．
根据小方设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点B，C在 上，
∴ （_____________）（填推理的依据）．
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同理∵点A，C在 上，
∴ ．
∴______=_______=_______．
∴ 是等边三角形．（_____________）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；
（2）同圆的半径相等； ；三边都相等的三角形是等边三角形．
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图：作等边三角形，圆的基体性质，等边三角形的判定等知识；
（1）按照题干要求补全画图即可；
（2）根据同圆的半径相等可分别得到 、 ，从而可得 等边三角形．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：完成下面的证明．
证明：∵点B，C在 上，
∴ （同圆的半径相等）．
同理∵点A，C在⊙B上，
∴ ．
∴ ．
∴ 是等边三角形．（三边都相等的三角形是等边三角形）．
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故答案为：同圆的半径相等； ；三边都相等的三角形是等边三角形．
21. 在平而直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ， ，
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接
写出m的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）把两点坐标代入 ，可得关于k、b的方程组，解得k、b的值，进而可得函数解析
式；
（2）当 时，求出 的值，然后根据题意，结合图象，即可求出m的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象经过点 和点 ，
∴把点 ， 代入 得：
，
解得：
∴一次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
把 代入 ，求得 ，
把点 代入 ，得 ，
解得 ，
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∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象
上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
22. 为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选
拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，
从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数
据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组： ， ， ，
， ， ）：
b．甲学校学生成绩在 这一组的是：
80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：
平均数 中位数 众数 优秀率
83.3 84 78
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示
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排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；
（2）根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为____________________________
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到
_________分的学生才可以入选．
【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；（3）88.5
【解析】
【分析】（1）先算出甲校的中位数，发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以
此判断排名；
（2）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可；
（3）先计算90-100分的人数为96人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需要补充x个人，根据题
意，得 ，解得x即可．
【详解】解：（1）甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和81.5
∴中位数为：
∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
（2）乙校，理由如下：甲校的优秀率为： ，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙
校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（3）根据题意，90-100分的人数为为： 人，不够120人，要从80-90分之间补充，设需
要补充x个人，
根据题意，得 ，解得x=3，
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而这个3个数依次为89，89，88.5，至少要88.5分，
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图
的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
23. 如图，在 中， ， 是 边上的中线，延长 至点 ，作 的角平分线
，过点 作 于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中线的定义及等腰三角形三线合一性质得 ， ，
，继而得到 ，结合 即可得证．
（2）根据 ， 是 边上的中线，得 ， ，结合，设
， ，根据勾股定理得 ，继而得到 ，根据矩形的性
质即可得解．
【小问1详解】
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证明：∵ ， 是 边上的中线，
∴ ， ， ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
【小问2详解】
解：∵ ， 是 边上的中线， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ．
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【点睛】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，三角函数定义等知识．
掌握矩形的判定与性质和三角函数的定义是解题的关键．
24. 如图， 是 的直径，过 外一点P作 的两条切线 ，切点分别为C，D，连接
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， , ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，全等三角形的判定和性质和勾股定理，
（1）先判断出 ，得出 ，即可得出结论；
（2）先求出 ，得出 是等边三角形，最后运用勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，
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∴ ，
∵ 是 的切线，
∵ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
由（1）知， ，
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在 中，
∴
∴ ．
25. 小云在学习过程中遇到一个函数 ．下面是小云对其探究的过程，请补充
完整：
（1）当 时，对于函数 ，即 ，当 时， 随 的增大而 ，且
；对于函数 ， 当时， 随 的增大而 ，且 ；结合上述分析，
进一步探究发现，对于函数 ，当 时， 随 的增大而 ．
（2）当 时，对于函数 ，当 时， 与 的几组对应值如下表：
0 1 2 3
0 1
综合上表，进一步探究发现，当 时， 随 的增大而增大．在平面直角坐标系 中，画出当
时的函数 的图象．
（3）过点 ， 作平行于 轴的直线 ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线 与函数
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的图象有两个交点，则 的最大值是_________．
【答案】（1）减小，减小，减小；
（2）见解析； （3） ．
【解析】
【分析】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常
考题型．
（1）利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）观察图象可知， 时， 的值最大．
【小问1详解】
当 时，对于函数 ，即 ，当 时， 随 的增大而减小，且 ；对
于函数 ，当 时， 随 的增大而减小，且 ；结合上述分析，进一步探究
发现，对于函数 ，当 时， 随 的增大而减小．
故答案为：减小，减小，减小；
【小问2详解】
函数图象如图所示：
【小问3详解】
观察图象可知， 时， 的值最大，最大值 ，
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故答案为： ．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点 ， 是抛物线 （ ）上任意两
点．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若 ， ，比较 与 的大小，并说明理由；
（3）若对于 ， ，总有 ，求m的取值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；
（2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可
得到m的取值范围．
【小问1详解】
解：抛物线 （ ）的对称轴为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
∵ ，抛物线开口向上，对称轴 为直线 ， ，
∴ ， 都在对称轴右侧，
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∵当 时，y随x的增大而增大，且 ，
∴ ；
【小问3详解】
∵ ， ，
∵ ，
∴ 距离对称轴更近， ，则 的中点在对称轴的右侧，
∴ ，
解得： ．
27. 在 中， ， 于点M，D是线段 上的动点（不与点
M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ．
（1）如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
（2）如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，直接写出
的大小．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得 ，利用三角形外角的性质求出∠
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，可得 ，等量代换得到 即可；
（2）延长 到H使 ，连接 ，可得 是 的中位线，然后求出
，设 ，求出 ，证明
，得到 ，再根据等腰三角形三线合一证明 即可．
【小问1详解】
由旋转的性质得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D是 的中点；
【小问2详解】
，
证明：如图，延长 到H使 ，连接 ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
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由旋转的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴
设 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及
全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
28. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，将一个图形先绕点S顺时针
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旋转α，再绕点T逆时针旋转α．
（1）点R在线段ST上，则在点 ， ， ， 中，有可能是由点R经过一
次“ 对称旋转”后得到的点是_________；
（2）x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q．
①当 时， ________；
②当 时，若 轴，求点P的坐标；
（3）以点O为圆心作半径为1的圆．若在 上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的
点在x轴上，直接写出α的取值范围．
【答案】（1）B，C；
（2）①2；② ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确理解题目所给“对称旋
转”的定义，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
（1）根据“α对称旋转”新定义即可判断;
（2）①由旋转可得 和 均为等边三角形，进而推出 即可证得结论;
② 根据“α 对称旋转”新定义得点 Q 的坐标为 ， ， ，进而得出
，再利用勾股定理即可求得答案;
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(3) 点M在 上，则M绕S顺时针旋转α度以后的 的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的 上，
关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在 关于T逆时针旋转α度以后的 上，只需 与x
轴有交点 在粉弧上，且 ,则 与x轴相切，再证得 ，即可求得答
案；
【小问1详解】
解：由一次“对称旋转”定义，将 先绕点T顺时针旋转 得 ，再绕点S逆时针旋转 得 ，
如图所示：
不是由点R经过一次“ 对称旋转”后得到的点；
同理可得 ，是由点 经过一次“ 对称旋转”后得到的点； 是由点 经过
一次“ 对称旋转”后得到的点； 不是由点R经过一次“ 对称旋转”后得到的点；
故答案为： B，C；
【小问2详解】
①当 时，如图，
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x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，
和 均为等边三角形，
， ，
，
，
，
，
故答案为：2；
②当 时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点 ，则,
如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线 ，
轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q，
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点Q的坐标为 ，
点 绕点T逆时针旋转30°得到点Q，
， ，
，
，
，
，
，
，
,
点P的坐标为 ．
【小问3详解】
点M在 上，则M绕S顺时针旋转α度以后的 的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的 上，
关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在 关于T逆时针旋转α度以后的 上，只需 与x轴有
交点 在粉弧上，且 ,
如图， 与x轴相切，则 ，在x轴上取点R,连接 ，使 ，
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″
，
， ， ，
，
，
故 ；
如图， 与x轴相切，则 ，在x轴上取点R,连接 ，使 ，
，
，
，
，
，
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，
，
，
；
综上所述， 或 ．
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