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2022 北京北大附中初二（上）期中数学
一、选择题
1. 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较
高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后
可重合．
2. 如图，在△ABC中，AC边上的高线是（ ）
A. 线段DA B. 线段BA C. 线段BC D. 线段BD
【答案】D
【解析】
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
【详解】由图可知， △ABC 中AC边上的高线是BD．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条
高所在直线相交于三角形外一点．3. 正五边形的每个内角度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据多边形的内角和公式 求出内角和，然后除以5即可；
【详解】根据多边形内角和定理可得：
，
，
故选∶C．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，解题的关键是熟记多边形内角和公式 ．
4. 已知 （ ），用尺规作图的方法在 上确定一点P，使 ，则符合要求的
作图痕迹是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【详解】解：A、如图所示：此时 ，则无法得出 ，故不能得出 ，故此
选项错误；
B、如图所示：此时 ，则无法得出 ，故不能得出 ，故此选项错误；
C、如图所示：此时 ，则无法得出 ，故不能得出 ，故此选项错误；D、如图所示：此时 ，故能得出 ，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
5. 如图所示，点 是 内一点， 平分 ， 于点 ，连接 ，若 ，
，则 的面积是（ ）
A. 20 B. 26 C. 60 D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的性质求出 ，最后用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过O作 于点E，
∵ 平分 ， 于点 ，，
∴ ，
∴ 的面积＝ ，
故选：C．【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出 解答．
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 等腰三角形高线、中线和角平分线互相重合
B. 全等三角形对应边相等
C. 三个角都相等的三角形是等边三角形
D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据三线合一定理即可判断A；根据全等三角形的性质即可判断B；根据等边三角形的判定条件
即可判断C；根据角平分线的性质即可判断D．
【详解】解：A、等腰三角形底边上的高线、中线和顶角的角平分线互相重合，故A选项是假命题，符合
题意；
B、全等三角形对应边相等，是真命题，不符合题意；
C、三个角都相等的三角形是等边三角形，是真命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了判定命题真假，熟知三线合一定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定条件，
角平分线的性质是解题的关键．
7. 点 在 的平分线上（不与点 重合）， 于点 ， 是 边上任意一点，连接 ．
若 ，则下列关于线段 的说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. 存在无数个点 使得 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到 的距离为2，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：∵点P在 的平分线上， ， ，
∴点P到 边的距离等于2，
∴点P到 的距离为2，∵点D是 边上的任意一点，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的
关键．
8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将
图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．
【详解】
还原后只有B符合题意，
故选B．
【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直
观的得到答案．
9. 如图所示，已知 ，点 在边OA上， ，点 ， 在边 上， ，若
，则 的长为（ ）A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】首先过点P作 于点D，利用直角三角形中 所对边等于斜边的一半得出 的长，
再利用等腰三角形的性质求出 的长．
【详解】解：过点P作 于点D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直角三角形中 所对边等于斜边的一半得出 的长以及等腰三角形的性质，得出 的长是解题关键．
10. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．若 是等腰直角三角形，且
，当 时，点 的横坐标 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作 轴于D，可证 ，可得 ，
即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 轴于D，
∵点 ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形
是本题的关键．
二、填空题
11. 等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为__________．
【答案】22
【解析】
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还
要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当腰为9时，周长＝ ；
当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为9，这个三角形的周长是22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两
种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12. 如图， ， ，点 在 的延长线上，若 ，则 ___________°．【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：由三角形的外角性质得， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
13. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则 的度数为 __．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出 ，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，
由三角形内角和定理得， ，
两个三角形全等，
，或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理和全等的性质，注意多种情况．
14. 如图，在△ABC 和△DBC，BA=BD中，请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC，这个条件可以是
________（写出一个即可）．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】由已知有BA=BD，BC边公共，由三角形全等的判定定理，可以添加这两边的夹角相等或第三边
相等，均可使得△ABC ≌△DBC．
【详解】添加CA=CD，则由边边边的判定定理即可得△ABC ≌△DBC
故答案为：CA=CD（答案不唯一）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键．
15. 如图，在等边三角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为
_______．
【答案】3
【解析】
的
【分析】由等边三角形 性质可得AC＝BC＝AB＝2，根据BD是AC边上的高，可得AD＝CD＝1，再
由题中条件CE＝CD，即可求得BE．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，
∵BD是AC边上的高，
∴D为AC的中点，
∴AD＝CD＝ AC＝1，
∴CE＝CD＝1，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3．
故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到
AD＝CD＝ AC是正确解答本题的关键．
16. 如图，“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能
三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点
固定， ，点D、E可在槽中滑动．若 ，则 的度数是___________．
【答案】 ##80度
【解析】
【分析】根据 ，可得 ，根据三角形的外角性质可知
，进一步根据三角形的外角性质可知 ，即可
求出 的度数，进而求出 的度数．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的
关键．
17. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为
10cm，双翼的边缘 cm，且与闸机侧立面夹角 ，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________cm．
【答案】65
【解析】
【分析】过点A作 于点E，过点B作 于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即
可求出 与 的长度，然后求出 的长度即可得出答案．
【详解】解：过点A作 于点E，过点B作 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
由对称性可知： ，
∴通过闸机的物体最大宽度为 cm，
故答案为：65 cm．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础
题型．18. 在平面直角坐标系 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点 的坐标为(3，5)，点 的
坐标为(2，2)，点 为网格中第一象限内的整点，不共线的 三点构成轴对称图形，则点 的坐标
可以是_________（写出一个即可），满足题意的点 的个数为________．
【答案】 ①. （1，5）（答案不唯一） ②. 10
【解析】
【分析】构造以 为边的等腰三角形，确定点的坐标和个数即可．
【详解】解：如图所示，以 为边画等腰三角形，共11个点，其中一个点的坐标为（1，5）；
故答案为：（1，5），10．
【点睛】本题考查了轴对称图形，解题关键是会画等腰三角形．
三、解答题19. 小明制作的风筝形状如图（8）所示，他根据 ， ，不用测量就知道 ，
请你运用所学知识给予证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用全等三角形或者等腰三角形的知识解决即可．
【详解】（法一）：连结 ．
在 和 中
，
∴ （ ），
∴ ；
（法二）：连结EF，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ．
20. 已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数是6
【解析】
【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和为2×360=720度．n边形的内角
和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，即可得到方程，从而求出边数．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：(n－2)×180°＝2×360°，
解得n＝6，
∴这个多边形的边数是6．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n-2）
•180°，外角和为360°．
21. 如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，可得 ，再证 和 全等即可；
（2）利用全等三角形的性质，求出 ，根据 即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵ ，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考
常考题型．
22. 数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
的
作法：①作线段AB 垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
的
（2）完成下面 证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝ ，( )（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ，( )（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【答案】（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC； 等边对等角．
【解析】
【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．
（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．
【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；
(2)解：证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ， ( 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ) （填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等
边对等角的性质，是解决该题的关键．
23. 如图，在 中， 平分 ， 是 上一点， ，且 ．（1）如果 ，则 的度数为 °；
的
（2）探究 与 数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义求出 ，根据等腰三角形的性质得到
，根据三角形外角的性质计算，得到答案；
（2）作 于F，根据等腰三角形的性质得到 ，证明 ，根据
全等三角形的性质可得结论．
【小问1详解】
解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【小问2详解】证明：过点E作 于点F，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角
形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
24. 如图， 中， 平分 ， ，若 与 互补， ，求 的长．【答案】10
【解析】
【分析】延长 交于点E，证明 ，得出 ，证
出 ，得出 即可．
【详解】解：如图，延长 交于点E．
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∵ 与 互补， 与 互补，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
25. 在 中， ， ，直线 上有一点 ，连接 ， 分别为A
关于直线 的对称线段．
（1）如图 ，当点 在线段 上时，求 和 的度数；
（2）如图 ，当点 在线段 的延长线上时，
①依题意补全图 ；
②探究是否存在点 ，使得 ，若存在，直接写出满足条件时 的长度；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ，
（2）①见解析；② 或
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出 ，根据轴对称的性质可得
∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，结合图形求解即可；
（2）①依据轴对称图形的特点补全图形即可；
②根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设 ，则 或 ，，利用 和线段的和差列出方程求解即可．
【小问1详解】
， ，
，
， 分别为点 关于直线 ， 的对称点，
， ， ，
，
．
【小问2详解】
图形如图所示．
存在．
设 ，则 或 ， ，
，
或 ，
或 ．经检验 或 为方程的解，
或 ．
【点睛】题目主要考查轴对称图形的特点，角度的计算，分式方程的应用等，理解题意，熟练掌握运用轴
对称图形的性质是解题关键．
26. 已知：线段 及过点 的直线 ．如果线段 与线段 关于直线 对称，连接 交直线 于点
，以 为边作等边 ，使得点 和点 在直线 的同侧，作射线 交直线 于点 ，连接
．
（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果 ．
① ， （用含有 代数式表示）；
②用等式表示线段 ， 与 的数量关系，并证明．
（3）如图2，如果 ，直接写出线段， ， 与 的数量关系，不证明．【答案】（1）见解析 （2）① ，② ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
②结论： ．在 上截取 ，连接 ．证明 ，推出
．
（3）解题思路同（2）②．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
①∵线段 与线段 关于直线 对称，
∴ ， 垂直平分线段 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案是： ；
②结论： ．
理由：在 上截取 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
【小问3详解】
解： ．
理由：在 延长线上截取 ，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性
质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27. 在平面直角坐标系 中，对于任意图形 及直线 ， ，给出如下定义：将图形 先沿直线 翻折
得到图形 ，再将图形 沿直线 翻折得到图形 ，则称图形 是图形 的< ， >双反图形．例如：
点 的 轴， 轴>双反图形是点 ．
（1）点 的 轴， 轴>双反图形点 的坐标为 ；
（2）已知 ， ， ，直线 经过点 ．
①当 ，且直线 与 轴平行时，点 的 轴， 双反图形点 的坐标为 ；
②当直线 经过原点时，若 的 轴， 双反图形上只存在两个与 轴的距离为1的点，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1）（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）点Q关于x轴对称的点坐标为 ，再关于y轴对称的点坐标为 ，故可得点的双反
图形点 坐标；
（2）① 时，C点坐标为 ，直线m为 ，此时点C先关于x轴对称的点坐标为 ，
再关于m轴对称的点坐标为 ，进而得到点的双反图形点 坐标；
②由题意得，直线 为 ， 、 、 三点的 轴， 双反图形点坐标依次表示为： 、
、 ，由题意可得 或 ，解出 的取值范围即可
【小问1详解】
解：由题意知 沿x轴翻折得点坐标为 ；
沿y轴翻折得点坐标为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：① 时，C点坐标为 ，直线m为 ，
沿x轴翻折得点坐标为 ，
沿直线 翻折得点坐标为 ，
故答案为： ；
② 直线 经过原点，且经过点 ，
直线 为 ，
、 、 三点沿 轴翻折点坐标依次表示为： 、 、 ，、 、 三点沿直线m翻折点坐标依次表示为： 、 、 ，
由题意可知： 或 ，
解得： 或
【点睛】本题考查了直角坐标系中 的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐
标表示出来．
