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专题 32 与圆有关的位置关系【十六大题型】
【题型1 点和圆的位置关系】..................................................................................................................................5
【题型2 直线与圆的位置关系】..............................................................................................................................6
【题型3 求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】.....................................................................................7
【题型4 根据直线与圆的位置关系求交点个数】.................................................................................................8
【题型5 判断或补全使直线成为切线的条件】.....................................................................................................9
【题型6 利用切线的性质求值】............................................................................................................................11
【题型7 证明某条直线是圆的切线】....................................................................................................................12
【题型8 利用切线的性质定理证明】....................................................................................................................14
【题型9 切线的性质与判定的综合运用】...........................................................................................................15
【题型10 作圆的切线】............................................................................................................................................17
【题型11 应用切线长定理求解或证明】................................................................................................................18
【题型12 由外心的位置判断三角形形状】...........................................................................................................20
【题型13 求三角形外接圆的半径、外心坐标】...................................................................................................20
【题型14 由三角形的内切圆求值】........................................................................................................................22
【题型15 与三角形内心有关的应用】....................................................................................................................23
【题型16 三角形外接圆与内切圆综合】................................................................................................................25
【知识点 与圆有关的位置关系】
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r ；
点P在圆上 d=r ；
点P在圆内 d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三
条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
2.直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
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直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：
直线l和⊙O相交 d＜r ；
直线l和⊙O相切 d=r ；
直线l和⊙O相离 d＞r 。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形
的内心。
【题型1 点和圆的位置关系】
【例1】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形ABCD中，AB=8，BC=3√5，点P在边AB上，且
BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内
【变式1-1】（2023·四川凉山·统考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的
中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围
是（ ）
A．2.5<r≤4 B．2.5<r<4 C．2.5≤r≤4 D．2.5≤r<4
【变式1-2】（2023·四川成都·统考二模）已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点
的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2−12ax−20=0的两个实数根，则⊙O的直
径为 ．
【变式1-3】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是平面内一点，以
P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（ ）
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4 7
A． B．1 C． D．2.5
5 5
【题型2 直线与圆的位置关系】
【例2】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，已知∠ACB=30°，CM=2，AM=5，以M为圆心，r为
半径作⊙M，⊙M与线段AC有交点时，则r的取值范围是 ．
【变式2-1】（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，E是AD
上一定点，AB=3,BC=6,AD=8,AE=2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若
⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是
．
【变式2-2】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）如图，线段BC=16cm，过点B在线段BC的上方作射线
4
BA，且tan∠ABC= ，动点O从点B出发，沿射线BA以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发，
3
沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点O，Q都停止运动．以点O为圆心，OB长
为半径的半圆与线段BC交于点D，与射线BA交于点P．连接PQ，设运动时间为t秒(t>0)
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(1)求BD的长（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？
(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
【变式2-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知矩形ABCD，AD>AB
图1 图2
(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，OA为半径的圆上，AB=OB，求证：AD=2AB；
(2)如图2，点E，F分别在AD，BC边上，若点D，点C关于直线EF对称的点分别为点B和点P，判断
直线DP与过A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由
【题型3 求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】
3
【例3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，直线y=− x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上
4
一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
( 7 ) ( 7 ) ( 17 )
A． − ,0 B． − ,0 或 − ,0
3 3 3
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( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
C． − ,0 D． − ,0 或 − ,0
7 7 17
【变式3-1】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标
为(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是
．
【变式3-2】（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，
且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式3-3】（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l和线段BC，
给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C' (B'，C'分别是B，C的对应点)，则
称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联
线段”．
(1)如图2，点B ，C ，B ，C ，B ，C 的横、纵坐标都是整数．
1 1 2 2 3 3
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① 在线段B C ，B C ，B C 中，以直线l ：y=x+4为轴的⊙O的“关联线段”是 ；
1 1 2 2 3 3 1
② 在线段B C ，B C ，B C 中，存在以直线l ：y=−x+b为轴的⊙O的“关联线段”，求b的值；
1 1 2 2 3 3 2
(2)已知直线l ：y=−√3x+m(m>0)交x轴于点A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若线段BC是以直线l
3 3
为轴的⊙O的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的AC的长．
【题型4 根据直线与圆的位置关系求交点个数】
【例4】（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以
点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答
12
案，甲答：r=4．乙答：3<r<4．丙答：r= ．则正确的是（ ）
5
A．只有乙答的对 B．甲、乙的答案合在一起才完整
C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．三人的答案合在一起才完整
【变式4-1】（2023·湖南·中考真题）已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l
与⊙O的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【变式4-2】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6.点O为对角线AC上一点
（不与A重合），⊙O是以点O为圆心，AO为半径的圆.当⊙O与矩形各边的交点个数为5个时，半径OA
的范围是 .
【变式4-3】（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，已知OA=6，OB=8，BC=2，⊙P与OB、AB均
相切，点P是线段AC与抛物线y=ax2的交点，则a的值为（ ）
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9 11
A．4 B． C． D．5
2 2
【题型5 判断或补全使直线成为切线的条件】
【例5】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下
列说法不正确的是（ ）
A．若DE=DO，则DE是⊙O的切线 B．若AB=AC，则DE是⊙O的切线
C．若CD=DB，则DE是⊙O的切线 D．若DE是⊙O的切线，则AB=AC
【变式5-1】（2023·天津西青·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P
的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ．
【变式5-2】（2023·吉林·一模）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图1所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是
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________________．
（2）如图2所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的
判断．
【变式5-3】（2023·贵州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使
DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（ ）
A．DE=DO B．AB=AC
C．CD=DB D．AC∥OD
【题型6 利用切线的性质求值】
【例6】（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B．若
△ABC∽△CBO，则sin∠ACB= ．
【变式6-1】（2023·海南三亚·统考二模）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C是
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⊙O上一点，若∠ACB=32°，则∠P的度数为 ．
【变式6-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，E是⊙O的直径AB延长线上一点，过点E作⊙O的切线
EC,C为切点，D是⊙O上一点（在直径AB的下方）．若∠AEC=50°，则∠ADC的度数为 ．
【变式6-3】（2023·广东汕头·汕头市第六中学校考一模）如图，△ABC内接于⊙O．AB是直径，过点A
作直线MN，且MN是⊙O的切线．
(1)求证：∠MAC=∠ABC．
(2)设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD=FG．
②若BC=3，AB=5，试求AE的长．
【题型7 证明某条直线是圆的切线】
【例7】（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为
⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
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(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若AC=5，∠E=30°，求CD的长．
【变式7-1】（2023·江苏淮安·校考模拟预测）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点
P，点 B 是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点 C，使得AB=AC．
(1)判断直线AB与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)PC=2√6，OA=4，求线段 PB的长．
【变式7-2】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，
BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
3
(2)若EF=6,cos∠ABC= ，
5
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
【变式7-3】（2023·广东茂名·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，
∠PAD=∠AED，且DE= √2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
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(1)求证：PA是⊙O的切线；
√2
(2)若tan∠DAE= ，求EF的长；
2
(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．
【题型8 利用切线的性质定理证明】
【例8】（2023·广东江门·统考一模）如图1，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过点C
作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，Q两点．
(1)求CP•CQ的值；
(2)如图2，连接PB，AQ交于点M，证明直线MC⊥AB．
【变式8-1】（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，连接AO并延
长，与PB的延长线相交于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB．
(1)求证：∠APO=∠BPO；（用两种证法解答）
(2)若DP=DB，试探究PB与PD之间的数量关系，写出并证明你的结论．
【变式8-2】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，圆O中内接△ABC，过点A作圆O的切线l，作直线
CD使得∠ACD=∠B，并交AB于E．
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(1)证明：CD∥l；
(2)若CE=CA=2EA=2，求ED的值；
(3)证明：BC2 ⋅ED=CE⋅BE⋅BA．
【变式8-3】（2023·河南许昌·统考二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书
中以23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题．其中，命题4．2
的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．
小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：
已知：如图1，△ABC为已知三角形，如图2，HG是⊙O的切线，D为切点，∠EDH=∠B，
∠FDG=∠C．
求证：△≝∼△ACB．
小冉在图2的基础上，添加了辅助线；如图3，连接并延长DO，交⊙O于点P，连接PE，PF．
(1)请在小冉所添辅助线的基础上，求证：△≝∼△ACB；
(2)若AB=AC=5，BC=8，EF=16，求⊙O的半径．
【题型9 切线的性质与判定的综合运用】
【例9】（2023·广东肇庆·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=13，AD=6．点E是CD上的动点，以
AE为直径的⊙O与AB交于点F，过点F作FG⊥BE于点G．
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(1)当E是CD的中点时：tan∠EAB的值为 ；
(2)在（1）的条件下，证明：FG是⊙O的切线；
(3)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时BE的长；若不能，请说明理由．
【变式9-1】（2023·山西太原·太原五中校考一模）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺
规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需
要，发明了一种简易操作工具-三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，
且AB的长度与半圆的半径相等，DB与AC垂直与点B，DB足够长．
使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点
A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，
并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B， ．
求证： ．
【变式9-2】（2023·山东·统考中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，CD=CB，BE切⊙O于点B，过
点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF=2BF．
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(1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
(2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN=60°，连接MN．请问：三条线段
MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【变式9-3】（2023·浙江杭州·校考二模）知：如图1，AB是⊙O的弦，点C是⊙O的半径OB的延长线上
一点，将ΔABC翻折得到△ABC'，AC'交半径OB于点D．
(1)求证：BC'∥OA．
(2)若AC与⊙O相切．
①如图2，点C'落在⊙O上，求sinC的值．
②如图3，若OA=10，AB=12，求△BDC'的面积．
【题型10 作圆的切线】
【例10】（2023·江苏南京·一模）过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线；
①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；
②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．
直线AD即为⊙O的切线．
如图，小明已经完成了作图步骤①．
(1)用尺规完成作图步骤②；
(2)连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；
(3)求证：直线AD为⊙O的切线．
【变式10-1】（2023·福建福州·统考三模）如图，已知⊙O及圆外一点P，请你利用尺规作⊙的切线PA．
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（不写作法，保留作图痕迹）
【变式10-2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交CA于D
点，O是BC上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．
(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：CA与⊙O相切：
(3)当BD=2√3，∠ABD=30°时，求劣弧BD的长．
【变式10-3】（2023·山东·统考中考真题）如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，
∠PAC=30°，AC=2√3．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留
作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．
【题型11 应用切线长定理求解或证明】
【例11】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC
4
＝ ，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB平移后的对应线段．
5
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(1)当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；
(2)当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；
(3)当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值 ．
【变式11-1】（2023·山东威海·统考一模）如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切
⊙O于E，交BN于C，设AD=x，BC= y．
(1)求证：AB2=4DE⋅CE；
(2)求y与x的函数关系式；
(3)若x，y是方程2x2−30x+a=0的两个根，求△OCD的面积．
【变式11-2】（2023·北京石景山·统考二模）如图，AD是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连接PO交⊙O
于点C，PB，PD分别切⊙O于点B，D，连接AB，AC．
（1）求证：AB//OP；
（2）连接PA，若PA=2√2，tan∠BAD=2，求PC长．
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【变式11-3】（2023·广东中山·统考三模）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C为圆上任意一点，过
点C作圆的切线，分别与过A，B两点的切线交于P，Q两点．
(1)求CP⋅CQ的值；
(2)如图，连接PB，AQ交于点M，证明直线MC⊥AB．
【题型12 由外心的位置判断三角形形状】
【例12】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦
相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心
在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式12-1】（2023·浙江温州·模拟预测）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（
）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
【变式12-2】（2023·河北沧州·模拟预测）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式12-3】（2023·广西玉林·统考中考真题）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，
B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外
心也是O的三角形都写出来 ．
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【题型13 求三角形外接圆的半径、外心坐标】
【例13】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的
延长线交边AC于点D．
(1)求证：∠BAC=2∠ABD；
(2)若AD:DC=2:3，BC=2√7时，求⊙O的半径．
【变式13-1】（2023·江苏南京·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为
D，BD＝6，DC＝4．
（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长．
【变式13-2】（2023·浙江温州·校考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A(−1,1)
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(1)利用网格确定△ABC的外接圆的圆心坐标为______；
(2)作出△ABC的外接圆；
(3)利用直尺作出∠ACB的角平分线．
【变式13-3】（2023·山东济宁·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为
A(−2,1),B(−1,4),C(−3,2)
(1)以原点O为位似中心，位似比为2:1，在y轴的左侧画出△ABC放大后的△A B C ；
1 1 1
(2)在（1）中，若点M(m,n)为线段BC上任一点，写出变化后点M的对应点M'的坐标___________．
(3)直接写出△A B C 外接圆的圆心D坐标____________．
1 1 1
【题型14 由三角形的内切圆求值】
【例14】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在直角坐标系中，一直线 经过点 ，与 轴、 轴
l M(√3,1) x y
分别交于A、B两点，且MA=MB，若⊙O 是△ABO的内切圆，⊙O 与⊙O 、l、y轴分别相切，⊙O
1 2 1 3
与⊙O 、l、y轴分别相切，……按此规律，则⊙O 的半径r = ．
2 2023 2023
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【变式14-1】（2023·福建泉州·模拟预测）作图题：如图，在矩形ABCD中，已知AD=10，AB=6，
(1)用直尺和圆规在AD上找一点E，使EC平分∠BED，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求△CDE内切圆半径r的值．
【变式14-2】（2023·山东淄博·统考一模）如图，在RtΔABC中，∠A=90°，点D，E分别在AC，BC
上，且CD⋅BC=AC⋅CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB，BC分别交于点F，
G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF=4，CG=5，求⊙E的半径；
（3）在（2）的条件下，若RtΔABC的内切圆圆心为I，直接写出IE的长．
【变式14-3】（2014·江苏南京·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm，
⊙O为△ABC的内切圆，
(1)求⊙O的半径；
(2)点P从点B沿边BA向点A以点1cm/s 的速度匀速运动，以点P为圆心，PB长为半径作圆，设点P运动
的时间为 t s，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
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【题型15 与三角形内心有关的应用】
【例15】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）综合与实践：（1）如图（1），有一块三角形
材料△ABC，准备裁剪成一个面积最大的圆形，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，求裁剪出的最大圆形
面积．
（2）如图（2），市政部门准备把一块四边形区域改造成公园，计划在主干道AB上确定大门M的位置，
且在M与另外两个小门E、F连接而成的三角形区域内设计一个面积尽可能大的圆形花园，部分数据如下：
∠B=∠C=60°，BE=CD=2EC=400米，点F为CD的中点，请按市政要求确定M的位置，画出图形
并求出BM长和最大的圆形花园的面积．
【变式15-1】（2023·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾
中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个
直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，
求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算
所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为
长度单位）
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【变式15-2】（2023·四川宜宾·统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角
形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积
为49，则大正方形的面积为 ．
【变式15-3】（2023·河北·一模）如图，三条笔直的小路a，b，c相交围成一个三角形公园ABC，在
△ABC的内心I处修建了一个凉亭，过凉亭的小路d∥c，并分别与△ABC的两边AB、AC相交于点D、
E，DE=150m，小路c与d之间相距60m，如果从凉亭分别向a，b，c修建一条石板路，那么这三条石板
路的长度之和最小为 m；若游人从B处出发，沿B→D→I→E→C的路线，到达C处，那么所走
的这段路程长为 m．
【题型16 三角形外接圆与内切圆综合】
【例16】（2023·浙江·校考三模）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
(1)若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
1
(2)连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝ ，求此⊙O的半径．
3
【变式16-1】（2023·福建厦门·统考二模）如图，在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，⊙O是
△ABC的外接圆，连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD，点E是△ABC的内心．
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（1）请用直尺和圆规作出点E，证明BD=DE；
（2）求线段CE长．
【变式16-2】（2023·湖北武汉·一模）在锐角△ABC中，BC=2√5，∠A=45°．
（1）如图1，求△ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为△ABC的内心，AI的延长线交△ABC外接圆于D，
①求证BD=DI；
②若AB=6，求△ABC内切圆的半径（不需化简）．
【变式16-3】（2023·湖南·统考中考真题）如图，在 ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，
CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．△
（1）求CE的长；
（2）求证： ABC为等腰三角形．
（3）求 AB△C的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
△
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