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专题 32 与圆有关的位置关系【十六大题型】
【题型1 点和圆的位置关系】..................................................................................................................................5
【题型2 直线与圆的位置关系】..............................................................................................................................6
【题型3 求平移到与直线相切时圆心坐标或运动距离】.....................................................................................7
【题型4 根据直线与圆的位置关系求交点个数】.................................................................................................8
【题型5 判断或补全使直线成为切线的条件】.....................................................................................................9
【题型6 利用切线的性质求值】............................................................................................................................11
【题型7 证明某条直线是圆的切线】....................................................................................................................12
【题型8 利用切线的性质定理证明】....................................................................................................................14
【题型9 切线的性质与判定的综合运用】...........................................................................................................15
【题型10 作圆的切线】............................................................................................................................................17
【题型11 应用切线长定理求解或证明】................................................................................................................18
【题型12 由外心的位置判断三角形形状】...........................................................................................................20
【题型13 求三角形外接圆的半径、外心坐标】...................................................................................................20
【题型14 由三角形的内切圆求值】........................................................................................................................22
【题型15 与三角形内心有关的应用】....................................................................................................................23
【题型16 三角形外接圆与内切圆综合】................................................................................................................25
【知识点 与圆有关的位置关系】
1.点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r ；
点P在圆上 d=r ；
点P在圆内 d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三
条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
2.直线和圆的位置关系
直线和圆有两个公共点时，我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。
直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
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直线和圆没有公共点时，我们说这条直线和圆相离。
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有：
直线l和⊙O相交 d＜r ；
直线l和⊙O相切 d=r ；
直线l和⊙O相离 d＞r 。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形
的内心。
【题型1 点和圆的位置关系】
【例1】（2023·上海闵行·校联考模拟预测）矩形ABCD中，AB=8，BC=3√5，点P在边AB上，且
BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外，点C在圆P内
C．点B在圆P内，点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内
【变式1-1】（2023·四川凉山·统考模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的
中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围
是（ ）
A．2.50)
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(1)求BD的长（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？
(3)若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围．
【变式2-3】（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知矩形ABCD，AD>AB
图1 图2
(1)如图1，若点B，D在以O为圆心，OA为半径的圆上，AB=OB，求证：AD=2AB；
(2)如图2，点E，F分别在AD，BC边上，若点D，点C关于直线EF对称的点分别为点B和点P，判断
直线DP与过A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由
【题型3 求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】
3
【例3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，直线y=− x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上
4
一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）
( 7 ) ( 7 ) ( 17 )
A． − ,0 B． − ,0 或 − ,0
3 3 3
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( 3 ) ( 3 ) ( 3 )
C． − ,0 D． − ,0 或 − ,0
7 7 17
【变式3-1】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标
为(−3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是
．
【变式3-2】（2023·四川凉山·统考模拟预测）如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，
且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式3-3】（2023·北京·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l和线段BC，
给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C' (B'，C'分别是B，C的对应点)，则
称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联
线段”．
(1)如图2，点B ，C ，B ，C ，B ，C 的横、纵坐标都是整数．
1 1 2 2 3 3
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① 在线段B C ，B C ，B C 中，以直线l ：y=x+4为轴的⊙O的“关联线段”是 ；
1 1 2 2 3 3 1
② 在线段B C ，B C ，B C 中，存在以直线l ：y=−x+b为轴的⊙O的“关联线段”，求b的值；
1 1 2 2 3 3 2
(2)已知直线l ：y=−√3x+m(m>0)交x轴于点A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若线段BC是以直线l
3 3
为轴的⊙O的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的AC的长．
【题型4 根据直线与圆的位置关系求交点个数】
【例4】（2023·河北沧州·校考三模）题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，以
点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答
12
案，甲答：r=4．乙答：3
