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专题 32 圆中的重要模型之隐圆模型
隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，
或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定
长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、
旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模
型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，
点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，连
接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在 ， ，E为 边上的任意一点，把
沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ．
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例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形 中， 、 分别是 ， 的中垂线， ，
，则 ___， ___．
例4．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中， ，E是 的中点．以点C
为圆心， 长为半径画圆，点P是 上一动点，点F是边 上一动点，连接 ，若点Q是 的中点，
连接 ， ，则 的最小值为 ．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中，
，点E在线段 上运动，点F在线段 上，
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，则线段 的最小值为 ．
例2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以 为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B
两点，与y轴交于C，D两点，点E为 上一动点，作 于点F．当点E从点B出发，顺时针旋
转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，若 ， ，点
从 点出发，在 内运动且始终保持 ，当 ， 两点距离最小时，动点 的运动路径长
为______．
例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，
连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
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A． π B． π C． π D．2π
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
1.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点 和点 的动直线 ， 夹角 ，
点 是 中点，连接 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
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例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边 中，点E在边 上自A向C运动，
点F在边 上自C向B运动，且运动速度相同，连接 交于点P，连接 ，在运动过程中，点P
的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形 中， ， ，点 是 上
的动点，以 为边作正方形 ，当点 从点 移动至点 时，求点 经过的路径长．
例4．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2 ，点C是优弧
AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过
的路径长为 ．
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模型4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模
型作相应练习即可。
1）若平面上A、B、C、D四个点满足 ，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
D
C
O
A B
2）若平面上A、B、C、D四个点满足 ，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，O为线段 的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则
∠A与∠C的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形 中， ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形 的边长为 ， ，点 为 边的中点．点
从点 出发，以每秒 个单位的速度向点 运动，点 同时从点 出发，以每秒 个单位的速度向点
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运动，连接 ，过点 作 于点 ．当点 到达点 时，点 也停止运动，则点 的运动路径
长是（ ）
A． B．12 C． D．
例4．（2023.江苏九年级期末）如图，在 中， ， ， ，点P为平面内一
点，且 ，过C作 交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M是 外一动点，满足
，若 ， ， ，则 的长度为 ．
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课后专项训练
1．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC＝
2，BF＝ ，△EFB绕点B旋转，∠BCF的最大度数（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图， 是等边三角形， ，点 是 内一点，且
，连接 ，则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（
）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点 在线段 上， ，以 为圆心，
为半径作 ，点 在 上运动，连接 ，以 为一边作等边 ，连接 ，则 长度的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为 ，
， ，以点C为圆心，3为半径画 ，点P在 上运动，连接 ，交 于点Q，点M为线
段 的中点，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
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A．7 B．10 C． D．
6．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上，
是弧 上的一个动点，连结 ，过点 点作 于点 ，连结 ，在点
移动的过程中．（1） ；（2） 的最小值是 ．
7．（2023上·山东日照·九年级校考期中）如图， 中， ，过点 作
的平行线 为直线 上一动点， 为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为 ．
8．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，N是矩形 内一
点， ，点M是 边上的动点，则 的最小值为 ．
9．（2023.湖北九年级期中）如图，在 中， ， ， ，点 在以 为直
径的半圆上运动，由点 运动到点 ，连接 ，点 是 的中点，则点 经过的路径长为 ．
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10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过
C点作CD⊥OB于点D，设 ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经
过的路径长为 ________． △
11．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边
上一动点 点 不与点 ， 重合 ，连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小
值为 ．
12．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形 中， ，
，点 是 边上一动点，连结 ，以 为直径的圆交 于点 ，则 长度的最小值是
．
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13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在 中， ，D为AB上一点， ，E为
AC上一点， ，连接BE、CD交于点O，则 的最大面积是 ．
14．（2021·广东·统考中考真题）在 中， ．点D为平面上一个动点，
，则线段 长度的最小值为 ．
15．（2023·浙江·一模）如图，在 中， ， ．分别以 、 为斜边，向三角形
外作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，则 和 面积之和为 ；连接
，则线段 的最大值为 ．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD
＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
17．（2023陕西中考模拟）如图，在等边 中， ，点P为AB上一动点， 于点D，
于点E，则DE的最小值为_____．
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18．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点 是 直径 上一点， ， ，过点
作弦 ，点 在 上运动，连接 ．(1)求 的长．(2)如图 ，连接 ，作 的角平分线
交 于点 ，在点 运动的过程中， 的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发
生变化，请求出其值．(3)如图 ，过点 作 于 ，连接 ，求 的最小值．
19．（2023下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点P是线段 上一动点
（点P不与A，C重合），连接 ，过点A作直线 的垂线段，垂足为点D，将线段 绕点A逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)连接 ，延长 交 于点F，若
的边长为2；①求 的最小值；②求 的最大值．
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20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出
（1）如图①， 内接于半径为4的 ， 是 的中位线，则 的最大值是_________；
问题探究（2）如图②，在等腰 中， ， ， 边上的中线 ，求等腰
外接圆的半径；
问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为 的部件，已知
的部件要满足 ， 边上的中线 ，且边 与边 之和要最大，是否能剪裁出满足
要求的三角形部件？若能，请求出 的最大值；若不能，请说明理由．
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