2023届湖南省永州市高三第二次适应性考试（二模）数学试题_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考

永州市 2023 年高考第二次适应性考试试卷 数学 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 ，则集合 （ ） A. B. C. D. 2.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则在复平面内复数 对应的点在（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.“ 是锐角”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 为 所在平面内一点， ，则（ ） A. B. C. D. 5.若存在常数 ，使得函数 对定义域内的任意 值均有 ，则 关于点 对称，函数 称为“准奇函数”.现有“准奇函数” 对于 ， ，则函 数 在区间 上的最大值与最小值的和为（ ） A.4 B.6 C.7 D.8 6.如图， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线于 两点，且 ， 为线段 的 中点，若对于线段 上的任意点 ，都有 成立，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C.2 D. 7.已知数列 ，若对任意的 ，则实数 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 8.如图，在三棱锥 中， ，点 在平面 内，过 作 于 ，当 与面 所成最大角的正弦值是 时， 与平面 所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.已知函数 ，则（ ） A. 的最大值为1 B.直线 是 图象的一条对称轴 C. 在区间 上单调递减D. 的图象关于点 对称 10.已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交抛物线于 两点，下列 说法正确的有（ ） A.线段 长度的最小值为4 B.过点 与抛物线只有一个交点的直线有两条 C.直线 交抛物线的准线于点 ，则直线 平行 轴 D. 可能为直角三角形 11.如图，棱长为3的正方体 的顶点 在平面 内，其余各顶点均在平面 的同侧，已知 顶点 到平面 的距离分别是1和2.下列说法正确的有（ ） A.点 到平面 的距离是3 B.点 到平面 的距离是4 C.正方体底面 与平面 夹角的余弦值是 D. 在平面 内射影与 所成角的余弦值为 12.已知 ，则有（ ） A. B.C. D. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.数据：2，5，7，9，11，8，7，8，10中的第80百分位数是__________. 14. 的展开式中 的系数是__________. 15.三个元件 独立正常工作的概率分别是 ，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒 中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________. 16.对平面上两点 ，满足 的点 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼 斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点 是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另 一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数 只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知 ，与 两点距离比是 的点 的轨迹 方程是 ，则 的最小值是__________；最大值是 的__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知 的内角 的对边分别为 ，且向量 与向量 共线. （1）求 ； （2）若 的面积为 ，求 的值. 18.（本题满分12分）已知数列 的前 项和为 ，若 . （1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 求数列 的前10项和 . 19.（本题满分12分）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， 是 的中点， . （1）求证： 平面 ； （2）若 是线段 上的动点（不含线段端点），当平面 与平面 的夹角为 时，求线段 的 长度. 20.（本题满分12分）椭圆 的离心率是 ，且过点 . （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 的另一个交点分别是 ，与 轴分别交于 ，且 于点 ，是否存在定点 使得 是定值？若存在，求出点 的坐标与 的值；若不存在，请说明理由. 21.（本题满分12分）当前，新冠病毒致死率低，但传染性较强.经初步统计，体质好的人感染呈显性（出现 感染症状）或呈隐性（无感染症状）的概率都是 ，体质不好的人（易感人群）感染会呈显性，感染后呈显 性与呈隐性的传染性相同，且人感染后在相当一段时期内不会二次感染.现有甲乙丙三位专家要当面开个小型研究会，其中甲来源地人群的感染率是 ，乙来源地人群的感染率是 ，丙来源地无疫情，甲乙两人体质很 好，丙属于易感人群，参会前三人都没有感染症状，只确定丙未感染.会议期间，三人严格执行防疫措施，能 隔断 的病毒传播，且会议期间不管谁感染，会议都要如期进行，用频率估计概率. （1）求参会前甲已感染的概率； （2）若甲参会前已经感染，丙在会议期间被感染，求丙感染是因为乙传染的概率； （3）若参会前甲已感染，而乙､丙均未感染，设会议期间乙､丙两人中感染的人数为随机变量 ，求随机变 量 的分布列与期望. 22.（本题满分12分）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 时， ，求实数 的取值范围. 永州市 2023 年高考第二次适应性考试试卷 数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B D B C 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 题号 9 10 11 12 答案 ABC AC ACD BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．10 14．40 15． 16． ；5 部分小题答案 8．解：由于 过 作 的垂面 ， 如图可知 过 作平面 上的垂面 ,如图，即面 面 ， 可得 与 的交点即为满足条件的P点， 从而 为 与面 所成角的最大角， 故 . ∵平面 平面 ，过 作 于 ，连接 ， 可知 就是 与平面 所成角， 在 中， ， ，且 为等腰直角三角形， 则 . 而 ， 11．解：如图建系， ＝（3，0，0）， ＝（0，3，0）， . 设平面α的法向量 ＝（a，b，c）， 依题知： ， 求得 ， 所以点C到平面 的距离 ， 所以 到平面 的距离是5，故A对B错；平面ABCD与平面α夹角的余弦值是 ，C对． 因为点 到平面α的距离为2， ， 所以AB在面α内射影向量是 ， ＝(0，3，3)， 所以 与 夹角的余弦值是 ， 所以AB在平面α内射影与AD 所成角的余弦值为 ， D 1 对．正确答案ACD． 方法二：由勾股定理，易得点C到平面α的距离是3，A对； 如图一延长BD交面α于点M，易知DM＝BD= ，在 △AMD中，∠ADM＝135o, 由余弦定理求得AM＝ ， （第11题图一） 过D作DN⊥AM于N，由面积法求得DN＝ ， 如图二延长DD交面α于点E，过D作DH⊥EN于H， 1 则DH⊥面α于H， （第11题图二） Rt△EDH中，DN＝ ，DH＝1，HN＝ ，EH＝ ， ED＝ ，ED＝ ， 1 故D 到平面α的距离是3，C 到平面α的距离是5，B错； 1 1 正方体底面ABCD与平面α夹角的平面角为∠DNE， cos∠DNE= ,C对； 如图三，分别过B，D 作BP⊥面α于P，DQ⊥面α 于Q， 1 1 过B作BF//PQ交DQ于F， 1 BP＝2，DQ＝3，DB＝ ，PQ＝BF＝ ， 1 1 AP＝ ， DP＝ ， 1 （第11题图三） 由余弦定理求得 ， 则AB在平面α内射影AP与AD 所成角的余弦值是 ， 1 D对．正确答案ACD．12．解：构造函数 ， ， ， 在区间 上递减，在区间 上递增， ， 在 上递减，在 上递增， 由极值点偏移知A错B对， 1＜aa，ad＜1， 在 上递增， ＝ ， ， ＝ ＝2.857＜2.86＝ ， ， ，选BCD． 16．解：依题知｜PB｜=2|PA|，2|PD|+|PB|＝2|PD|＋2|PA|≥2｜AD｜＝ ， 设点D关于圆C对应的阿波罗点为E（0，m）， 依题知点（0，2），（0，－2）分别到点E，D的距离之比为 ， 求得 ， ，E（0， ）， |PE|= |PD|， 3|PA|－2|PD|＝3（|PA|－ |PD|） ＝3（|PA|－|PE|） 3｜AE｜=5. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分） 解：（1）∵向量 与向量 共线， ∴ ， …………………1分 即 ， …………………2分 ∴ ， ∵ ，∴ ， …………………4分又∵ ， ∴ ． …………………5分 （2）由已知 ………………6分 ， 所以 ． ………………7分 由余弦定理得 ， 即 ，联立 ………………8分 解得 或 ， ………………9分 所以 ． ……………10分 18．（本题满分12分） 解：（1）当 时， ，即有 ， ……………1分 所以 时 ， ……………2分 因为 不符合上式， ……………4分 所以数列 的通项公式为 . ……………6分 （2）由（1）知，当n是奇数时,b a ， n n 记{b}的前10项的奇数项和为T ，则 n 奇 T a a a a a 23(223 25 27)512； ……………7分 奇 1 3 5 7 9 n+1 n1 2n2 2 2(n2 1)4 1 1 当 是偶数时,b  +   22(  )， n n n1 n+1 (n1)(n1) n2 1 n1 n1 n1 n1 n12 n12 1 1 （或者b     22(  )），……………9分 n n1 n1 n1 n1 n1 n1 记{b}的前10项的偶数项和为T ，则 n 偶 1 1 1 1 1 1 1 1 1 20 T 252(1         )10 ， ……………11分 偶 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 20 5762 所以数列 的前10项和T T T 51210  . 10 奇 偶 11 11 （注：写成 也可） ……………12分 19．（本题满分12分） 解：（1）由题可知四边形 是正方形，E是 的中点， 所以 ， ……………1分又 ， 所以 ， ……………2分 又 ， ，由余弦定理可得: ． ……………3分 ，即 ， ……………4分 又 且 ， ， ……………6分 （2）由(1)知 两两垂直．以B为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建 立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，E(0，2，1)， ， ， ， 于是 ， ， ， ……………7分 设 ， 则 ， ……………8分 设平面 的法向量为 ， 则 ， 令 ，则 ， ， ………9分 可知平面PAB的一个法向量 ， ………10分 所以 ， 解得 或者 （舍去）． ………11分 又 ，所以 ， 即当平面 与平面 所成的夹角为 时，段 长度为 . ………12分 20．（本题满分12分） 解：（1）因为椭圆C： 的离心率是 ， 所以 ，即a= b， ………………………2分 因为 过点P（2,1）， 有 ， ………………………3分 联立a= b解得 ， ， 故椭圆C的方程是 ． ………………………5分 法二： 因为椭圆C： 的离心率是 ， 所以 ， ………………………1分 联立 可得a= b， ………………………2分 因为 过点P（2,1）， 所以 ， ………………………3分 联立a= b解得 ， ， 故椭圆C的方程是 ． ………………………5分 （2）依题意，直线AB存在斜率，设直线AB方程是 ， 联立 ，消去y得， ， 设A（x，y），B(x，y)， 1 1 2 2 则x＋x ，xx ， ………………………6分 1 2 1 2 直线PA： ， 令x=0，得 ， 同理 ， 依题意知 ， 即 ， ………7分 ，， ， ………8分 ， 整理得 ， 即 ， ………9分 若 ，则直线AB过点P（2，1），不合题意，舍去， ………10分 若 ，则直线AB过点（0 ,－3）， 令D（0,－3），则点Q在以PD为直径的圆上， ……………11分 所以当R为PD的中点，即以PD为直径的圆的圆心时，|RQ|等于圆的半径， 故存在定点 ，使得|RQ|为定值 . ……………12分 21．（本题满分12分） 解：甲，乙，丙第i轮次感染分别记为事件A，B，C ,且参会前的感染为第1轮感 i i i 染，无症状记为事件E. （1）依题意，参会前甲已感染事件 即是无症状感染事件A|E ， ……………1分 1 所以P(A）＝P(A|E)= ……………2分 1 1 ……………4分 （2）丙感染记为事件F， ， ， ……………5分 则 ， ， …………6分 病毒由乙传染丙记为事件M＝ ， P(M)＝ ， ……………7分丙感染是因为乙传染的事件即为M|F， ． 故丙感染是因为乙传染的概率是 ． ……………8分 （3）X的取值为0，1，2． P(X＝0)＝P( ) ， ……………9分 P(X＝1)＝P( ) ， ……………10分 P(X＝2)＝P( ) ， ……………11分 X的 分 布 列 为： X 0 1 2 P ． ……………12分 22．（本题满分12分） 解：（1）由 ，可得 ， ………1分 ①当t=0时， ，由 得 ，由 得 ， 故 在 单调递增，在 单调递减； ………2分 ②当 时,令 ，可得 的两根分别是1和 ， i）当 时， ， 由 ，得 ， 由 ，得 或 故 在区间 上单调递增， 在区间 和 上单调递减. ………3分 ii）当 时，由 ，得 或 ， 由 ，得 . 故 在区间 上单调递减， 在区间 和 上单调递增. ………4分 综上所述，当t=0时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 和 上单调递减； 当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增. ………………………………………5分 （2）由 ， ， 可得： ， 即 ， ………6分 构造函数 ，则原不等式转化为 时， 恒成立. ， ………7分 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ， ………8分 ①当 时， 在 上单调递减，在区间 和 上单调递增， 又 ，且当 趋向正无穷时， 的值趋于0， 故 成立； ………9分 ②当t=0时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ， 又 ，故 成立； ……10分 ③当 时， 在 单调递增，在 和 上单调递减， i)若 ，则 ， 当 时，则 ，当 时，则 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 所以 又因为 ， 恒成立，所以 ，解得 ， 所以 ， ………11分 ii)若 ，则 ， 由（1）可知 在 单调递增，在 和 上单调递减， 此时有 ， 不恒成立 所以 不符合题意. 综上，实数 的取值范围为 . ………12分