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2023届高考数学三轮冲刺卷：平面向量的坐标运算
一、选择题（共20小题；）
1. 已知向量 ⃗a=(1,m)，⃗b=(m,2)，若 ⃗a∥⃗b，则实数 m 等于 ()
A. −√2 B. √2 C. −√2 或 √2 D. 0
2. 设 ⃗a=(1,−2)，⃗b=(−3,4)，⃗c=(3,2)，则 (⃗a+2⃗b)⋅⃗c= ()
A. (−15,12) B. 0 C. −3 D. −11
3. 若向量 ⃗BA=(2,3)，⃗CA=(4,7)，则 ⃗BC= ()
A. (−2,−4) B. (3,4) C. (6,10) D. (−6,−10)
4. 设平面向量 ⃗a=(3,5)，⃗b=(−2,1)，则 ⃗a−2⃗b= ()
A. (7,3) B. (7,7) C. (1,7) D. (1,3)
5. 若 A(2,−1)，B(−1,3)，则 ⃗AB 的坐标是 ()
A. (1,2) B. (−3,4) C. (3,−4) D. 以上都不对
6. 已知向量 ⃗a=(1,2)，⃗b=(2,−3)，若向量 ⃗c 满足 (⃗c+⃗a)∥⃗b，⃗c⊥(⃗a+⃗b)，则 ⃗c= ()
(7 7) ( 7 7) (7 7) ( 7 7)
A. , B. − ,− C. , D. − ,−
9 3 3 9 3 9 9 3
7. 设向量 ⃗a= (1,cosθ) 与 ⃗b =(−1,2cosθ) 垂直，则 cos2θ 等于 ()
√2 1
A. B. C. 0 D. −1
2 2
8. 已知向量 ⃗a=(1,2)，⃗b=(1,0)，⃗c=(3,4)．若 λ 为实数，(⃗a+λ⃗b)∥⃗c，则 λ= ()
1 1
A. B. C. 1 D. 2
4 2
9. 已知向量 ⃗a=(2,4),⃗b=(−1,1) ，则 2⃗a−⃗b= ()
A. (5,7) B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)
10. 与向量 ⃗a＝(1,√3) 的夹角为 30∘ 的单位向量是 ()
(1 √3) (√3 1)
A. , 或 (1,√3) B. ,
2 2 2 2
(√3 1)
C. (0,1) D. (0,1) 或 ,
2 2
11. 已知向量 ⃗a=(λ+2,λ)，⃗b=(λ,1)，若 ⃗a⊥⃗b，则实数 λ 的值为 ()
A. 0 或 3 B. −3 或 0 C. 3 D. −3
12. 质点 P 在平面上做匀速直线运动，速度向量 ⃗v=(4,−3) （即点 P 的运动方向与 ⃗v 相同，
且每秒移动的距离为 ∣⃗v∣ 个单位）．设开始时点 P 的坐标为 (−10,10)，则 5s 后点 P
的坐标为 ()
A. (−2,4) B. (−30,25) C. (10,−5) D. (5,−10)13. 已知四边形 ABCD 为平行四边形，其中 A(5,−1),B(−1,7),C(1,2)，则顶点 D 的坐标为
()
A. (−7,0) B. (7,6) C. (6,7) D. (7,−6)
1 3
14. 已知平面向量 ⃗a=(1,1)，⃗b=(1,−1)，则向量 ⃗a− ⃗b= ()
2 2
A. (−2,−1) B. (−2,1) C. (−1,0) D. (−1,2)
15. 设 A(a,1)，B(2,b)，C(4,5) 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 ⃗OA 与 ⃗OB 在 ⃗OC
方向上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为 ()
A. 4a−5b=3 B. 5a−4b=3 C. 4a+5b=14 D. 5a+4b=14
π
16. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD= ，AB=2，AD=1，若 M，N 分别是边 AD，
3
MD NC
CD 上的点，且满足 = =λ，其中 λ∈[0,1]，则 ⃗AN⋅⃗BM 的取值范围是 ()
AD DC
A. [−3,1] B. [−3,−1] C. [−1,1] D. [1,3]
17. 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，设向量 ⃗OA=⃗a,⃗OB=⃗b, 其中 ⃗a=(3,1),⃗b=(1,3) ．若
⃗OC=λ⃗a+μ⃗b, 且 0≤λ≤μ≤1 ， C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 ()
A. B.
C. D.
18. 在 △ABC 中，|⃗AB+⃗AC|=|⃗AB−⃗AC|，AB=2，AC=1，E，F 为 BC 的三等分点，
则 ⃗AE⋅⃗AF=()
8 10 25 26
A. B. C. D.
9 9 9 9
19. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，⃗AB=(2,−2)，⃗AD=(2,1)，
则 ⃗BD⋅⃗AC= ()A. −4 B. 4 C. −3 D. 3
20. 已知 M(−1,0)，N(5,6)，P(3,4)，P 为 ⃗MN 的定比分点，则 λ 的值是 ()
1 1
A. B. 3 C. D. 2
3 2
二、填空题（共5小题；）
21. 已 知 向 量 ⃗a=(cosθ,sinθ)， 向 量 ⃗b=(√3,−1)， 则 ∣2⃗a−⃗b∣ 的 最 大 值 是
．
22. 已 知 向 量 ⃗a=(x,y) ， ⃗b=(−1,2) ， 且 ⃗a+⃗b=(1,3) ， 则 ∣⃗a−2⃗b∣ 等 于
．
23. 若向量 ⃗a=(3,−2)，⃗b=(−2,1)，⃗c=(7,−4)，现用 ⃗a，⃗b 表示 ⃗c，则 ⃗c= ．
24. 已知 x，y，a，b 均为实数，且满足 x2+ y2=4，a2+b2=9，则 ax+by 的最大值 m 与最小
值 n 的乘积 mn= ．
25. 已知向量 ⃗a=(2,−1)，⃗b=(x,−2)，⃗c=(3,y)，若 ⃗a∥⃗b，(⃗a+⃗b)⊥(⃗b−⃗c)，M(x,y)，
N(y,x)，则向量 ⃗MN 的模为 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知 ⃗a=(6,2)，⃗b=(−3,k)，当 k 为何值时，
（1）⃗a∥⃗b ?
（2）⃗a⊥⃗b ?
（3）⃗a 与 ⃗b 的夹角为钝角?
27. 设两个非零向量 ⃗e 和 ⃗e 不共线，如果 ⃗AB=⃗e +⃗e ，⃗BC=2⃗e +8⃗e ，⃗CD=3(⃗e −⃗e )．
1 2 1 2 1 2 1 2
（1）求证：A,B,D 三点共线；
（2）试确定实数 k 的值，使 k⃗e +⃗e 和 ⃗e +k⃗e 共线．
1 2 1 2
28. 如图所示，已知 △ABC 中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N 是 AB，AC 的中点，D
是 BC 的中点，MN 与 AD 交于 F，求 ⃗DF．
29. 已知 点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，⃗OP=⃗OA+t⃗AB(t∈R)．
（1）要使点 P 分别在 x 轴上、 y 轴上、第二象限内，则 t 分别应取什么值?
（2）四边形 OABP 是否有可能是平行四边形?如可能，求出相应的 t 的值；如不可能，说明
理由．30. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 A(1,2)，B(4,5)，⃗OP=m⃗OA+⃗AB （ m∈R ）．
（1）求使得点 P 在函数 y=x2+x−3 的图象上的 m 的值．
（2）以 O，A，B，P 为顶点的四边形能否成为平行四边形?若能，求出相应的 m 的值；若
不能，请说明理由．答案
1. C
2. C 【解析】(⃗a+2⃗b)⋅⃗c=(−5,6)⋅(3,2)=−3．
3. A 【解析】⃗BC=⃗BA−⃗CA=(−2,−4)．
4. A
5. B
6. D 【解析】设 ⃗c=(x,y)，则 ⃗c+⃗a=(x+1,y+2) ．由 (⃗c+⃗a)∥⃗b，⃗c⊥(⃗a+⃗b)，⃗a+⃗b=(3,−1)，
得 −3(x+1)−2(y+2)=0 ①，3x−y=0 ②，
7 7
由①②解得 x=− ，y=− ．
9 3
( 7 7)
故 c= − ,− ．
9 3
7. C 【解析】因为 ⃗a⊥⃗b，所以 ⃗a⋅⃗b=0，所以 −1+2cos2θ=0，所以 cos2θ=2cos2θ−1=0．
故选C．
1
8. B 【解析】⃗a+λ⃗b=(1+λ,2)，由 (⃗a+λ⃗b)∥⃗c，得 6−4(1+λ)=0，解得 λ= ．
2
9. A
10. D
11. B 【解析】因为 ⃗a⊥⃗b，
所以 ⃗a⋅⃗b=(λ+2)λ+λ=0，
即 λ(λ+3)=0，解得 λ=−3或0．
12. C 【解析】设 5s 后点 P 的坐标为 (x,y)，则 (x+10,y−10)=5(4,−3)，解得 x=10，
y=−5 ．
13. D 【解析】设 D(x,y)，由 ⃗AD=⃗BC，所以 (x−5,y+1)=(2,−5)，所以 x=7，y=−6．
14. D 【解析】
1
⃗a=
(1
,
1)
，
3
⃗b=
(3
,−
3)
，故
1
⃗a−
3
⃗b=(−1,2)．
2 2 2 2 2 2 2 2
15. A
16. B 【解析】建立如图所示的以 A 为原点，AB，AD 所在直线为 x，y 轴的直角坐标系．
(1 √3)
则 B(2,0)，A(0,0)，D , ．
2 2MD NC
因为满足 = =λ，λ∈[0,1]，
AD DC
⃗AN =⃗AD+⃗DN=⃗AD+(1−λ)⃗DC
(1 √3)
¿ = , +(1−λ)(2,0)
2 2
¿ ¿
⃗BM =⃗BA+⃗AM
(1 √3)
¿ =(−2,0)+(1−λ) ,
2 2
¿ ¿
则
(5 √3) ( 3 1 √3 )
⃗AN⋅⃗BM = −2λ, ⋅ − − λ, (1−λ)
2 2 2 2 2
¿
=λ2+λ−3
¿ ¿
1
因为 λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为 λ=− ，则 [0,1] 为增区间，
2
故当 λ∈[0,1] 时，λ2+λ−3∈[−3,−1]．
17. A
18. B
19. C
20. D
【解析】因为 P 为 ⃗MN 的定比分点，所以 ⃗MP=λ⃗PN，即 (4,4)=λ(2,2)，解得 λ=2．
21. 4
【解析】由题知 ⃗a 表示起点在原点，终点在单位圆上的向量，将 ⃗a 和 ⃗b 在平面直角坐标系中表示，
如图，
由此，当 ⃗a 和 ⃗b 反向时，取得最大值．
22. 5
23. ⃗a−2⃗b
【解析】提示：设 ⃗c=x⃗a+ y⃗b(x,y∈R)，由坐标运算可解．
24. −36
25. 8√2【解析】由 ⃗a∥⃗b 可得，x=4．又因为 (⃗a+⃗b)⊥(⃗b−⃗c)，所以 y=−4．故 ⃗MN=(−8,8)，模长为
8√2．
26. （1） 当 ⃗a∥⃗b 时，6k−2×(−3)=0，解得 k=−1．
（2） 当 ⃗a⊥⃗b 时，⃗a⋅⃗b=0，即 6×(−3)+2k=0，得 k=9．
⃗a⋅⃗b
（3） 设 ⃗a 与 ⃗b 的夹角为 θ，则 cosθ= ，所以
∣⃗a∣⋅∣⃗b∣
⃗a⋅⃗b
−1< <0，
∣⃗a∣⋅∣⃗b∣
解得 k<9 且 k≠−1．
27. （1） ∵ ⃗BD=⃗BC+⃗CD=5⃗e +5⃗e =5⃗AB，
1 2
∴ ⃗AB 与 ⃗BD 共线．
又 B 为公共点，∴A,B,D 三点共线．
（2） ∵k⃗e +⃗e =λ(⃗e +k⃗e )，
1 2 1 2
{k=λ,
∴
1=λk.
解得 k=±1．
28. ∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴⃗AB=(3−7,5−8)=(−4,−3)，⃗AC=(4−7,3−8)=(−3,−5)．
又 ∵D 是 BC 的中点，
1
∴⃗AD= (⃗AB+⃗AC)=(−3.5,−4)．
2
又 ∵M，N 分别为 AB，AC 的中点，
∴F 为 AD 的中点，
1
∴⃗DF=− ⃗AD=(1.75,2)．
2
29. （1） 设 P(x,y)，则 ⃗OP=(x,y)，⃗OA+t⃗AB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，故
(x,y)=(1+3t,2+3t)．
2
要使点 P 在 x 轴上，需 y=2+3t=0，即 t=− ，
3
1
要使点 P 在 y 轴上，需 x=1+3t=0，即 t=− ，
3
{x=1+3t<0, 2 1
要使点 P 在第二象限，需 ，解得 − 0, 3 3
（2） 要使 OABP 是平行四边形，应使 ⃗OB=⃗OA+⃗OP，
{4=2+3t,
即 (4,5)=(1,2)+(1+3t,2+3t)，即 ⇒ 无解，
5=4+3t所以四边形 OABP 不可能是平行四边形．
30. （1） 设 P(x,x2+x−3) ．依题意，有 (x,x2+x−3)=m(1,2)+(3,3)=(m+3,2m+3)，所以
{ x=m+3,
x2+x−3=2m+3,
解得 m=−2 或 m=−3 ．
（2） 能．设 P(x,y)，依题意，有
(x,y)=(m+3,2m+3)，
{ x=m+3,
所以
y=2m+3.
①在平行四边形 OAPB 中，⃗OA=⃗BP，即 (1,2)=(x−4,y−5)，所以 x=5，y=7，所以 m=2 ．
②在平行四边形 OABP 中，⃗OA=⃗PB，即 (1,2)=(4−x,5−y)，所以 x=3，y=3，所以 m=0 ．
综上，符合题意的 m 值为 0 或 2 ．
