文档内容
哈三中 2024—2025 学年度上学期高三学年十月月考
数学试卷
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间
为120分钟.
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工
整，字迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、
试题卷上答题无效.
4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出集合 ， ，再根据交集的定义求 .
【详解】对集合 ：因为 ，所以 ，即 ；
对集合 ：因为 恒成立，所以 .
所以 .
故选：B
2. 已知 是关于 的方程 的一个根，则 （ ）
A. 20 B. 22 C. 30 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为 ，再由韦达定理计算可得.
【详解】因为 是关于 的方程 的一个根，
所以方程的另一个虚根为 ，所以 ，解得 ，所以 .
故选：D.
3. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得 ，利用 ，结合基本不等式可求最小值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.
4. 数列 中，若 ， ， ，则数列 的前 项和 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合递推关系利用分组求和法求 .
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
又 ， ， ，
所以 .
故选：C.
5. 在 中， 为 中点， ， ，若 ，则 （
）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】选择 为平面向量的一组基底，表示出 ，再根据 表示的唯一性，可求 的值.
【详解】选择 为平面向量的一组基底.
因为 为 中点，所以 ；
又
.
由 .
故选：C
6. 在三棱柱 中，点 在棱 上，且 ，点 为 中点，点 在棱
上，若 平面 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的
性质即可得结论.
【详解】依题意，作出图形如图所示
设 为 的中点，因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
连接 ，又因为 平面 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又平面 平面 ，平面 ，
所以 ，又 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：B.
7. 已知偶函数 定义域为 ，且 ，当 时， ，则函数
在区间 上所有零点的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】函数 在区间 上的零点的集合等于函数 和函数
在区间 内的交点横坐标的集合，分析函数 的图象特征，作出两函数的图
象，观察图象可得结论.
【详解】因为函数 ， 的零点的集合与方程 在
区间 上的解集相等，
又方程 可化为 ，
所以函数 ， 的零点的集合与函数 和函数 在
区间 内的交点横坐标的集合相等，
因为函数 为定义域为 的偶函数，
所以 ，函数 的图象关于 轴对称，
因为 ，
取 可得， ，
所以函数 为偶函数，
所以函数 的图象关于 对称，又当 时， ，
作出函数 ， 的区间 上的图象如下：
观察图象可得函数 ， 的图象在区间 上有 个交点，
将这 个交点的横坐标按从小到大依次记为 ，
则 ， ， ， ，
所以函数 在区间 上所有零点的和为 .
故选：A.
8. 已知平面向量 ， ， ，满足 ，且 ， ，则 的最小
值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】可设 ， ， ，由 得到 满足的关系，再求
的最小值.
【详解】可设 ， ， ，
则 .
可设： ，则
.
故选：B
【点睛】方法点睛：由题意可知： ， 都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定 ， ，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的最大值为
B. 是函数 图象的一个对称中心
C. 是函数 图象的一个对称轴
D. 将函数 的图象向右平移 个单位，即可得到函数 的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数 化成
的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.
【详解】因为
.
所以 ，故A正确；
函数 对称中心的纵坐标必为 ，故B错误；
由 ， 得函数 的对称轴方程为： ， .
令 ，得 是函数 的一条对称轴.故C正确；
将函数 的图象向右平移 个单位，得
，即将函数
的图象向右平移 个单位，可得到函数 的图象.故D正确.
故选：ACD10. 在正方形 中， ， 为 中点，将 沿直线 翻折至 位置，使得二面
角 为直二面角，若 为线段 的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若点 在线段 上，则 的最小值为
B. 三棱锥 的体积为
C. 异面直线 、 所成 角为
D. 三棱锥 外接球的表面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A， 的最小值为 可判断A；对于B，过 作 于 ，求得
，可求三棱锥 的体积判断B；对于C；取 的中点 ，则 ，取 的中点
，连接 ，求得 ，由余弦定理可求异面直线 、 所成的角判断C；对于D，
取 的中点 ，过点 在平面 内作 的垂线交 于 ，求得外接球的半径，进而可求表面
积判断D.
【详解】对于A，将 沿直线 翻折至 ，可得 的最小值为 ，故
A正确；
对于B，过 作 于 ，因为二面角 为直二面角，
所以平面 平面 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，
由题意可得 ，
由勾股定理可得 ，
由 ，即 ，解得 ，
因为 为线段 的中点，所以 到平面 的距离为 ，
又 ，所以 ，故B错误；对于C，取 的中点 ，则 ，且 ， ，
所以 ，因为 ，所以 是异面直线 、 所成的角，
取 的中点 ，连接 ，
可得 ，所以 ，
在 中，可得 ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，所以异面直线 、 所成的角为 ，故C正确；
对于D，取 的中点 ，过点 在平面 内作 的垂线交 于 ，
易得 是 的垂直平分线，所以 是 的外心，
又平面 平面 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，
又因为 直角三角形 的外心，所以 是三棱锥 的外球的球心，
又 ，所以 ，
所以三棱锥 外接球的表面积为 ，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数 有两个零点
B. 恒成立C. 若方程 有两个不等实根，则 的范围是
D. 直线 与函数 图象有两个交点
【答案】BCD
【解析】
【分析】分 和 两种情况探讨 的符号，判断 A 的真假；转化为研究函数
的最小值问题，判断 B 的真假；把方程 有两个不等实根，为
有两个根的问题，构造函数 ，分析函数 的图象和性质，可得 的取值
范围，判断C的真假；直线 与函数 图象有两个交点转化为 有两解，分
析函数 的零点个数，可判断D的真假.
【详解】对A：当 时， ；当 时， ； 时， ，
所以函数 只有1个零点.A错误；
对B：欲证 ，须证 在 上恒成立.
设 ，则 ，
由 ；由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的最小值为 ，因为 ，所以 .故B正确；
对C： .
设 ，
则 ， .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 单调递减.所以 的最大值为： ，又当 时， .
如图所示：
所以 有两个解时， .故C正确；
对D：问题转化为方程： 有两解，即 有两解.
设 ， ，所以 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 的最大值为 .
因为 ， ，所以
所以 .
且当 且 时， ； 时， .
所以函数 的图象如下：
所以 有两解成立，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：
（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.
（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12. 等差数列 中， 是其前 项和.若 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】设数列 的公差为 ，将条件关系转化为 的方程，解方程求 ，由此可求结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .
13. 在 中， ， 的平分线与 交于点 ，且 ， ，则
的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求 ，再由三角形面积公式求结论.
【详解】因为 ， 为 的平分线，
所以 ，又 ，
所以 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以
所以 ，
所以 的面积 .
故答案为： .
14. 已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， 、
分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得 的中点 外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段 的长度的最小值.
【详解】因为 平面 ，所以 是直角三角形，
所以 ， ，
在 中，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，所以 是直角三角形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
结合已知可得 平面 ，所以 是直角三角形，
从而可得 的中点 外接球的球心，故外接球的半径为 ，
设内切球的球心为 ，半径为 ，由 ，
根据已知可得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
内切球在平面 的投影为内切球的截面大圆，且此圆与 的两边相切（记与 的切点为
），
球心 在平面 的投影为 在 的角平分线上，所以 ，
由上易知 ，所以 ，
过 作 于 ， ，从而 ，所以 ，所以两球心之间的距离 ，
因为 、 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，
所以线段 的长度的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球 半径和球心距离，再利用空间想象判断
两球心与 位置关系求最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在三棱柱 中， ， ， ， ， 为 中
点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，利用勾股定理的逆定理可得 ，可证结论；
（2）以 为坐标原点， 所在直线为 ，过 作 的平行线为 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，利用向量法可求得直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】
连接 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ；
【小问2详解】
以 为坐标原点， 所在直线为 ，过 作 平行线为 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
因为 ，所以 ，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
又 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
16. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设函数 ，若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2） 的取值范围为 .
【解析】
【分析】（1）求函数 的定义域及导函数，分别在 ， ， ， 条件
下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得 ，设 ，利用导数求其最小值，由此可得结
论.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，导函数 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 且 时，即 时，
，函数 在 上单调递增，
当 时， ，当且仅当 时 ，
函数 在 上单调递增，
当 时，方程 有两个不等实数根，设其根为 ， ，
则 ， ，
由 ， 知， ， ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 在 上单调递增，
当 时，函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递减，
函数 在 上单调递增，
【小问2详解】
因为 ， ，
所以 ，
不等式 可化为 ，因为 在 恒成立，
所以
设 ，
则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
故 ，
所以 的取值范围为 .
17. 已知在锐角 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边， .
（1）求 ；
（2）若 ， 为 中点， ，求 ；
（3）若 ，求 内切圆半径的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求
，进而得到角 .
（2）利用向量表示 ，借助向量的数量积求边 .
（3）利用 与正弦定理表示出 ，借助三角函数求 的取值范围.
【小问1详解】
因为 ，
根据正弦定理，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
【小问2详解】因为 为 中点，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
故 .
【小问3详解】
由正弦定理： ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以
，
，
设 内切圆半径为 ，
则 .
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
即 内切圆半径的取值范围是： .
18. 某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.
（1）求 的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；
（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在 内的天数为 ，
在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求 的分布列及数学期望；
（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥
中， 、 均是边长为2的正三角形， ，现从写有数字1~8的八个标签中
随机选择两个分别贴在 、 两个顶点，记顶点 、 上的数字分别为 和 ，若 为侧棱 上一个
动点，满足 ，当“二面角 大于 ”即为中奖，求中奖的概率.
【答案】（1） ，175
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1可求 的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.
（2）根据条件概率计算，求 的分布列和期望.
（3）根据二面角 大于 ，求出 可对应的情况，再求中奖的概率.
【小问1详解】
由 .
因为： ， ，
所以每日汽车销售量的第60百分位数在 ，且为 .【小问2详解】
因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为 ，
抽取的1天汽车销售量在 内的概率为 .
所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在 内的概率为
.
由题意， 的值可以为：0，1，2，3.
且 ， ，
， .
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
【小问3详解】
如图：取 中点 ，链接 ， ， ， ， .
因为 ， 都是边长为2的等边三角形，
所以 ， ， ， 平面 ，所以 平面 .
平面 ，所以 .
所以 为二面角 DE 平面角.
在 中， ，所以 .
若 ，在 中，由正弦定理： .此时： ， .
所以，要想中奖，须有 .
由 是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有 个，
满足 的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ，
共9个，
所以中奖的概率为： .
【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量
不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在 内的概率”.
19. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 是 中点， 平面
， .
（1）求四棱锥 体积的最大值；
（2）设 ， 为线段 上的动点.
①求平面 与平面 的夹角余弦值的取值范围；
②四棱锥 的外接球记为球 ，当 为线段 中点时，求平面 截球 所得的截面面
积.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）设 ，用 表示四棱锥 体积，分析函数的单调性，可求四棱锥
体积的最大值.
（2）①建立空间直角坐标系，设点 坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得
二面角余弦的取值范围.
②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.
【小问1详解】设 则 ，
所以四棱锥 体积 ， .
所以： .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以四棱锥 体积的最大值为 .
【小问2详解】
①以 为原点，建立如图空间直角坐标系.
则 ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则
.
令 ，则 .
取平面 的法向量 .
因为平面 与平面 所成的二面角为锐角，设为 .
所以 .
因为 ， ，所以 .
②易得 ，则 ，此时平面 的法向量 ，所以 点到平面 的距离为： ，
设四棱锥 的外接球半径为 ，则 ,
所以平面 截球 所得的截面圆半径 .
所以平面 截球 所得的截面面积为： .
【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再
利用勾股定理，求出截面圆的半径.
