2023届高考数学三轮冲刺卷：正态分布
一、选择题（共20小题；）
1. 在某次数学测试中，学生成绩 ξ 服从正态分布 N(100,σ2)(σ>0)，若 ξ 在 (80,120) 内的概
率为 0.8，则 ξ 在 (0,80) 内的概率为 ()
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2)，P(X≤4)=0.84，则 P(X≤0)= ()
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84
3. 已知随机变量 Z∼N(0,1)，且 P(Z<2)=a，则 P(−2<Z<2)= ()
A. 2a B. 2a−1 C. 1−2a D. 2(1−a)
4. 设随机变量 X 服从正态分布 N(4,σ2)，若 P(X>m)=0.3，则 P(X>8−m)= ()
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 与 σ 的值有关
5. 已知随机变量 X 服从正态分布 X∼N(μ,σ2)，且 P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6827，若随机变量
X∼N(2019,1)，则 P(X≥2020) 等于 ()
A. 0.34168 B. 0.31770 C. 0.15865 D. 0.15860
6. 已知 X∼N(4,σ2)，且 P(X≤2)=p，则 P(X≤6)= ()
p
A. p B. 1−2p C. 1− D. 1−p
2
7. 射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是 0.8，若枪内只有
3 颗子弹，则他射击次数的数学期望是 ()
A. 0.8 B. 0.992 C. 1 D. 1.24
8. 若随机变量 X 的概率分布列如下表：
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
则 E(5X+2019) 等于 ()
A. 2031 B. 12 C. 3.04 D. 15.2
9. 已知某公司生产的一种产品的质量（单位：千克）服从正态分布 N(90,64)．现从该产品的生产
线上随机抽取 10000 件产品，其中质量在区间 (82,106) 内的产品估计有 ()
附：若 X∼N(μ,σ2)，则 P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545．
A. 8186 件 B. 6826 件 C. 4772 件 D. 2718 件
10. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(a,4)，且 P(X>1)=0.5，P(X>2)=0.3，则 P(X<0) 等
于 ()
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
11. 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N(84,σ2)，且
P(78<X≤84)=0.2．该市某校有 400 人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于 90 分的人
数为 ()A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2)，且 P(X≤4)=0.88，则 P(0<X<4) 等于 ()
A. 0.88 B. 0.76 C. 0.24 D. 0.12
13. 随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2)，若 P(ξ<5)=0.7，则 P(−1<ξ<5) 的值为 ()
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1
14. 设 X∼N(μ ,σ2)，Y∼N(μ ,σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
1 1 2 2
()
A. P(Y≥μ )≥P(Y≥μ )
2 1
B. P(X≤σ )≤P(X≤σ )
2 1
C. 对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D. 对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
15. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4)，若 P(ξ<2a−3)=P(ξ>a+2)，则 a 的值为 ()
7 5
A. B. C. 5 D. 3
3 3
16. 淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共 500000 份，其中购买了下列四种商品
的人数统计为：服饰鞋帽 198000 人；家居用品 94000 人；化妆品 116000 人；家用电器
92000 人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行
调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了 116 份，则在购买“家居用品”这一类中应抽取
的问卷份数为 ()
A. 92 B. 94 C. 116 D. 118
17. 某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(105,102)，已知
P(95≤ξ≤105)=0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 ()
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
18. 据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布 N(1000,1002)，则在此期间的某
一天，该旅游景点的人数不超过 1300 的概率为 ()
附：若 X∼N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，
P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．
A. 0.4987 B. 0.8413 C. 0.9772 D. 0.9987
19. 下列三个判断：①某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是 m 和 n，某次数学测试平均分分别是
a+b
a，b，则这两个班的数学平均分为 ；
2
②从总体中抽取的样本 (1,2.5)，(2,3.1)，(4,3.9)，(5,4.4)，则回归直线 y=bx+a 必过点
(3,3.6)；
③已知 ξ 服从正态分布 N(1,22)，且 p(−1≤ξ≤1)=0.3，则 p(ξ≥3)=0.2 其中正确的个数
有 ()
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
20. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ2) ， 且 P(X≤4)=0.84 ， 则 P(2<X<4)= ()
A. 0.84 B. 0.68 C. 0.32 D. 0.16
二、填空题（共5小题；）
21. 已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布 N(1000,502)，那么该电子元件的使
用寿命超过 1000 小时的概率为 .
22. 2011 年中国汽车销售量达到 1700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个
汽车制造企业积极采用新技术降低耗泊量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，
共抽查了 1200 名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里 8.0L，并且汽车的耗油
量 ξ 服从正态分布 N(8,σ2)，已知耗油量 ξ∼[7,9] 的概率 0.7，那么耗油量大于 9L 的汽
车大约有 辆．
23. 设随机变量 X∼N(3,σ2)，若 P(X>m)=0.3，则 P(X>6−m)= ．
24. 某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩 ξ 近似服从正态分布 N(80,σ2)，（
σ>0），参赛学生共 500 名．若 ξ 在 (70,90) 内的取值概率为 0.80，那么 90 分以上（含
90 分）的学生人数为 ．
25. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ2)，若 P(1<X≤3)=0.3，则 P(X≥5)=
．
三、解答题（共5小题；）
26. 平均数为 μ，标准差为 σ 的正态分布在各区间的概率如图所示，试利用正态分布表验证该图的
正确性．
27. 在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从正态分布 N(90,100)．（1）试求考生成绩 X 位于区间 [70,110] 内的概率；
（2）若这次考试共有 2000 名考生参加，试估计成绩在 [80,100] 内的考生大约有多少人?
28. 2019 年 2 月 13 日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全 民阅读权利，培养全
民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来
全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名学生每周阅读时间 x（单位：小时）并绘制如图所
示的频率分布直方图．
40
参考数据：√178≈ ，0.773419≈0.0076．若 Y∼N(0,1)，则 P(Y≤0.75)=0.7734．
3
（1）求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 x 和样本方差 s2（同一组的数据用该组区
间中点值代表）；
（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间 x 服从正态分布 N(μ,σ2)，其中 μ
近似为样本平均数 x，σ2 近似为样本方差 s2．
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 X∼N(μ,σ2)，令
X−μ ( a−μ)
Y = ，则 Y∼N(0,1)，且 P(X≤a)=P Y≤ ．
σ σ
利用直方图得到的正态分布，求 P(X≤10)．
②该高校的学生中随机抽取 20 名，记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间超过 10 小时
的人数，
求 P(Z≥2)（结果精确到 0.0001）以及 Z 的均值．
29. 在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从一个正态分布，即 X∼N(90,100)
（1）求考试成绩X位于区间 (70,110) 内的概率
（2）若这次考试共有 2000 名考生，试估计考试成绩在 (80,100) 内的考生大约有多少人?
30. 某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 100 件作为样本，测量这些产品的一项
质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．参考数据，若 Z∼N(μ,δ2)，则
P(μ−δ<Z<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<Z<μ+2δ)=0.9544．（1）求直方图中 a 的值；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(200,12.22)，
试计算数据落在 (187.8,212.2) 上的频率；
（3）设生产成本为 y，质量指标为 x，生产成本与质量指标之间满足函数关系
{ 0.4x, x≤205
y= ，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产
0.8x−80, x>205
该食品的平均成本．答案
1. B 【解析】由题意，得 P(80<ξ<100)=P(100<ξ<120)=0.4，P(0<ξ<100)=0.5，
所以 P(0<ξ<80)=0.1．
2. A 【解析】随机变量 X 落在指定的两个数 a,b 之间的概率就是对应的正态曲线在 x=a,x=b
两直线之间的曲边梯形的面积，而 X∼N(2,σ2)，由 P(X≥4)=1−P(X≤4)=0.16，
P(X≤0)=P(X≥4)=0.16．
3. B 【解析】因为随机变量 Z∼N(0,1)，且 P(Z<2)=a，
所以 P(Z≥2或Z≤−2)=2−2a，
所以 P(−2<Z<2)=1−(2−2a)=2a−1，
故选：B．
4. C
5. C
6. D 【解析】因为 X∼N(4,σ2)，所以 P(X≥6)=P(X≤2)=p，
所以 P(X≤6)=1−P(X>6)=1−p．
7. D 【解析】记射击次数为随机变量 X，则 X 的可能取值为 1，2，3．
P(X=1)=0.8，
P(X=2)=0.2×0.8=0.16，
P(X=3)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.2×0.2=0.04，
所以 E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24．
8. A 【解析】据题意，得 E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4，
所以 E(5X+2019)=5E(X)+2019=5×2.4+2019=2031．
故选：A．
9. A 【解析】依题意，产品的质量 X（单位：千克）服从正态分布 N(90,64)，得 μ=90，σ=8，
0.9545−0.6827
所以 P(82<X<106)≈0.9545− =0.8186，
2
所以质量在区间 (82,106) 内的产品估计有 10000×0.8186=8186 件．
10. B
【解析】随机变量 X 服从正态分布 N(a,4)，所以曲线关于 x=a 对称，且 P(X>a)=0.5．
由 P(X>1)=0.5，可知 a=1，所以 P(X<0)=P(X>2)=0.3．
11. D 【解析】因为 X 近似服从正态分布 N(84,σ2)，P(78<X≤84)=0.2，
1
所以 P(≥90)= (1−2×0.2)=0.3，
2
所以该校数学成绩不低于 90 分的人数为 400×0.3=120．
故选：D．
12. B
13. A14. C 【解析】正态分布密度曲线图象关于 x=μ 对称，
所以 μ <μ ，从图中容易得到 P(X≤t)≥P(Y≤t)．
1 2
故选：C．
15. A
16. B
17. B 【解析】因为数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(105,102)，
所以数学考试的成绩 ξ 的密度曲线关于直线 x=105 对称，
因为 P(95≤ξ≤105)=0.32，
1
所以 P(ξ≥115)= ×(1−0.64)=0.18，
2
所以该班数学成绩在 115 分以上的人数为 0.18×50=9．
18. D 【解析】因为夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布 N(1000,1002)，
P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.9974，
1
所以 P(∣x−1000∣<300)=0.9974，所以 P(x>1300)= (1−0.9974)=0.0013，所以
2
P(x≤1300)=1−0.0013=0.9987．
19. B
20. B
【解析】由于随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ2)，又 P(X≤4)=0.84，所以
P(X≥4)=P(X≤2)=0.16，
P(2<X<4)=1−0.32=0.68．
1
21.
2
22. 180 辆
【解析】由题意可知 ξ∼(8,σ2)，
故正态分布曲线以 μ=8 为对称轴．
又因为 P(7≤ξ≤9)=0.7，
故 P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7，所以 P(8≤ξ≤9)=0.35．而 P(ξ≥8)=0.5，
所以 P(ξ>9)=0.15，
故耗油量大于 9L 的汽车大约有 1200×0.15=180（辆）．
23. 0.7
【解析】因为 P(X>m)=0.3，XN(3,σ2)，
所以 m>3，P(X<6−m)=P(X<3−(m−3))=P(X>m)=0.3，
所以 P(X>6−m)=1−P(X<6−m)=0.7．
24. 50
【解析】因为比赛成绩 ξ 近似服从正态分布 N(80,σ2)，（ σ>0），
所以比赛成绩 ξ 关于 ξ=80 对称，
因为 ξ 在 (70,90) 内的取值概率为 0.80，
所以 90 分以上（含 90 分）的概率为 0.1，
所以 90 分以上（含 90 分）的人数为 0.1×500=50．
25. 0.2
【解析】由题意得，相应的正态曲线关于直线 x=3 对称，于是有 P(X>3)=0.5，
P(1<x≤3)=P(3<X≤5)=0.3，P(X≥5)=P(X>3)−P(3<X≤5)=0.5−0.3=0.2．
26. 略．
27. （1） 因为 X∼N(90,100)，
所以 μ=90，σ=√100=10．
由于正态分布 N(μ,σ2) 在区间 [μ−2σ,μ+2σ] 内取值的概率约是 0.954，而在该正态分布中，
μ−2σ=90−2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110，于是考生成绩 X 位于区间 [70,110] 内的概率
约为 0.954．
（2） 由于 μ=90，σ=10，
所以 μ−σ=90−10=80，μ+σ=90+10=100．
由于正态分布 N(μ,σ2) 在区间 [μ−σ,μ+σ] 内取值的概率约为 0.683，所以考生成绩 X 位于区间
[80,100] 内的概率约是 0.683．
一共有 2000 名考生，成绩在 [80,100] 内的概率约为 0.683，所以在这 2000 名考生中，成绩在
[80,100] 内的人数大约为 2000×0.683=1366．
x =6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04
28. （1）
¿ ¿
s2 =(6−9) 2×0.03+(7−9) 2×0.1+(8−9) 2×0.2+(9−9) 2×0.35+(10−9) 2×0.19+(11−9) 2×0.09+(12−9) 2×0.04
¿ ¿
（2） ① 由题意知 μ=9，σ2=1.78，
所以 X∼N(9,1.78)，σ =√1.78
4
¿ ≈ ,
3
10−9
P(X≤10) =P(Y≤ )
4
3
¿ =0.7734.
②由①知 P(X>10)=1−P(X≤10)=0.2266，
可得 Z∼B(20,0.2266)，
P(Z≥2) =1−P(Z=0)−P(Z=1)
¿ =1−(0.7734+20×0.2266)×0.0076
¿ ¿
Z 的均值 E(Z)=20×0.2266=4.532．
29. （1） 因为 X∼N(90,100)，所以 μ=90，σ=√100=10．
因为正态变量在区间 (μ−2σ,μ+2σ) 内取值的概率是 95.4% ，而该正态分布中，
μ−2σ=90−2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110，
所以考试成绩 X 位于区间 (70,110) 内的概率是 95.4%
（2） 由 μ=90，σ=10，得 μ−σ80，μ+σ=100
因为正态变量在区间 (μ−σ,μ+σ) 内取值的概率是 68.3%，
所以考试成绩 X 位于区间 (80,100) 内的概率是 68.3%
因为一共有 2000 名考生，
所以考试成绩在 (80,100) 内的考生大约有 2000×68.3%=1366（人）．
30. （1） a=0.1−(0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002)=0.033．
（2） 所以 P(187.8<Z<212.2)=P(200−12.2<Z<200+12.2)=0.6826，
故 P(187.8,212.2) 上的频率为 0.6826．
（3） 设生产成本为 y，质量指标为 x，生产成本与质量指标之间满足函数关系
{ 0.4x, x≤205
y= ，
0.8x−80, x>205
则
y =70×0.02+74×0.09+78×0.22+82×0.33+92×0.24+100×0.08+108×0.02
¿ ¿
