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2023届高考数学三轮冲刺卷：正态分布
一、选择题（共20小题；）
1. 在某次数学测试中，学生成绩 ξ 服从正态分布 N(100,σ2)(σ>0)，若 ξ 在 (80,120) 内的概
率为 0.8，则 ξ 在 (0,80) 内的概率为 ()
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2
2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2)，P(X≤4)=0.84，则 P(X≤0)= ()
A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84
3. 已知随机变量 Z∼N(0,1)，且 P(Z<2)=a，则 P(−2m)=0.3，则 P(X>8−m)= ()
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 与 σ 的值有关
5. 已知随机变量 X 服从正态分布 X∼N(μ,σ2)，且 P(μ−σ1)=0.5，P(X>2)=0.3，则 P(X<0) 等
于 ()
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8
11. 某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩 X 近似服从正态分布 N(84,σ2)，且
P(78a+2)，则 a 的值为 ()
7 5
A. B. C. 5 D. 3
3 3
16. 淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共 500000 份，其中购买了下列四种商品
的人数统计为：服饰鞋帽 198000 人；家居用品 94000 人；化妆品 116000 人；家用电器
92000 人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行
调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了 116 份，则在购买“家居用品”这一类中应抽取
的问卷份数为 ()
A. 92 B. 94 C. 116 D. 118
17. 某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 ξ 服从正态分布 N(105,102)，已知
P(95≤ξ≤105)=0.32，估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为 ()
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
18. 据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布 N(1000,1002)，则在此期间的某
一天，该旅游景点的人数不超过 1300 的概率为 ()
附：若 X∼N(μ,σ2)，则：P(μ−σm)=0.3，则 P(X>6−m)= ．
24. 某地区举行高中数学竞赛，全体参赛学生的比赛成绩 ξ 近似服从正态分布 N(80,σ2)，（
σ>0），参赛学生共 500 名．若 ξ 在 (70,90) 内的取值概率为 0.80，那么 90 分以上（含
90 分）的学生人数为 ．
25. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ2)，若 P(1205
该食品的平均成本．答案
1. B 【解析】由题意，得 P(80<ξ<100)=P(100<ξ<120)=0.4，P(0<ξ<100)=0.5，
所以 P(0<ξ<80)=0.1．
2. A 【解析】随机变量 X 落在指定的两个数 a,b 之间的概率就是对应的正态曲线在 x=a,x=b
两直线之间的曲边梯形的面积，而 X∼N(2,σ2)，由 P(X≥4)=1−P(X≤4)=0.16，
P(X≤0)=P(X≥4)=0.16．
3. B 【解析】因为随机变量 Z∼N(0,1)，且 P(Z<2)=a，
所以 P(Z≥2或Z≤−2)=2−2a，
所以 P(−26)=1−p．
7. D 【解析】记射击次数为随机变量 X，则 X 的可能取值为 1，2，3．
P(X=1)=0.8，
P(X=2)=0.2×0.8=0.16，
P(X=3)=0.2×0.2×0.8+0.2×0.2×0.2=0.04，
所以 E(X)=1×0.8+2×0.16+3×0.04=1.24．
8. A 【解析】据题意，得 E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4，
所以 E(5X+2019)=5E(X)+2019=5×2.4+2019=2031．
故选：A．
9. A 【解析】依题意，产品的质量 X（单位：千克）服从正态分布 N(90,64)，得 μ=90，σ=8，
0.9545−0.6827
所以 P(82a)=0.5．
由 P(X>1)=0.5，可知 a=1，所以 P(X<0)=P(X>2)=0.3．
11. D 【解析】因为 X 近似服从正态分布 N(84,σ2)，P(781300)= (1−0.9974)=0.0013，所以
2
P(x≤1300)=1−0.0013=0.9987．
19. B
20. B
【解析】由于随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ2)，又 P(X≤4)=0.84，所以
P(X≥4)=P(X≤2)=0.16，
P(29)=0.15，
故耗油量大于 9L 的汽车大约有 1200×0.15=180（辆）．
23. 0.7
【解析】因为 P(X>m)=0.3，XN(3,σ2)，
所以 m>3，P(X<6−m)=P(X<3−(m−3))=P(X>m)=0.3，
所以 P(X>6−m)=1−P(X<6−m)=0.7．
24. 50
【解析】因为比赛成绩 ξ 近似服从正态分布 N(80,σ2)，（ σ>0），
所以比赛成绩 ξ 关于 ξ=80 对称，
因为 ξ 在 (70,90) 内的取值概率为 0.80，
所以 90 分以上（含 90 分）的概率为 0.1，
所以 90 分以上（含 90 分）的人数为 0.1×500=50．
25. 0.2
【解析】由题意得，相应的正态曲线关于直线 x=3 对称，于是有 P(X>3)=0.5，
P(13)−P(310)=1−P(X≤10)=0.2266，
可得 Z∼B(20,0.2266)，
P(Z≥2) =1−P(Z=0)−P(Z=1)
¿ =1−(0.7734+20×0.2266)×0.0076
¿ ¿
Z 的均值 E(Z)=20×0.2266=4.532．
29. （1） 因为 X∼N(90,100)，所以 μ=90，σ=√100=10．
因为正态变量在区间 (μ−2σ,μ+2σ) 内取值的概率是 95.4% ，而该正态分布中，
μ−2σ=90−2×10=70，μ+2σ=90+2×10=110，
所以考试成绩 X 位于区间 (70,110) 内的概率是 95.4%
（2） 由 μ=90，σ=10，得 μ−σ80，μ+σ=100
因为正态变量在区间 (μ−σ,μ+σ) 内取值的概率是 68.3%，
所以考试成绩 X 位于区间 (80,100) 内的概率是 68.3%
因为一共有 2000 名考生，
所以考试成绩在 (80,100) 内的考生大约有 2000×68.3%=1366（人）．
30. （1） a=0.1−(0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002)=0.033．
（2） 所以 P(187.8205
则
y =70×0.02+74×0.09+78×0.22+82×0.33+92×0.24+100×0.08+108×0.02
¿ ¿
