2015年高考数学试卷（理）（湖南）（空白卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2015·高考数学真题

一．选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1-i2 1.已知 =1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ） z A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.设A，B是两个集合，则“A B= A”是“AÍ B”的（ ） I A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S =( ) 6 3 8 4 A. B. C. D. 7 7 9 9 ìx+ y³-1 ï 4.若变量x，y满足约束条件í2x- y£1，则z =3x- y的最小值为（ ） ï y£1 î A.-7 B.-1 C.1 D.2 第1页 | 共6页5.设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则 f(x)是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 æ a ö 5 3 6.已知 ç x - ÷ 的展开式中含x2的项的系数为30，则a=（ ） è x ø A. 3 B.- 3 C.6 D-6 7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的 点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若X N(,2)，则P(- X £+)=0.6826，P(-2 X £+2)=0.9544  uuur uuur uuur 8.已知点A，B，C在圆x2 + y2 =1上运动，且AB^ BC，若点P的坐标为(2,0)，则 PA+PB+PC 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 p 9.将函数 f(x)=sin2x的图像向右平移j(0j )个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足 2 p f(x )-g(x ) =2的x ，x ，有 x -x = ，则j=（ ） 1 2 1 2 1 2 min 3 5p p p p A. B. C. D. 12 3 4 6 第2页 | 共6页10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新 新工件的体积 工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= ）（ ） 原工件的体积 8 16 4( 2-1)3 12( 2-1)3 A. B. C. D. 9p 9p p p 二．填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分. [来源:学,科,网] 11.ò2(x-1)dx= . 0 12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到 差编为1 35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .  x2 y2 13.设F 是双曲线C： - =1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一 a2 b2 [来源:Zxxk.Com] 个端点，则C的离心率为 . 14.设S 为等比数列a 的前n项和，若a =1，且3S ，2S ，S 成等差数列，则a = . n n 1 1 2 3 n ìx3,x£a 15.已知 f(x)=í ，若存在实数b，使函数g(x)= f(x)-b有两个零点，则a的取值范围 îx2,x>a 是 . [来源:学科网] 三．解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第3页 | 共6页16.（1）如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M ，N ，直线MO与直线CD相交 于点F ，证明： （1）MEN +NOM =180； （2） FEFN = FM FO ì 3 ïx=5+ t ï 2 （Ⅱ）已知直线l:í （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲 1 ï y = 3+ t ïî 2 线C的极坐标方程为r=2cosq. （1） 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2） 设点M 的直角坐标为(5, 3)，直线l与曲线C 的交点为A，B，求|MA||MB|的值. [来源:学科网] 1 1 （Ⅲ）设a >0,b>0，且a+b= + . a b （1）a+b³2； （2）a2 +a2与b2 +b2不可能同时成立. 17.设DABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA，且B为钝角. p （1）证明：B-A= ； 2 （2）求sinA+sinC的取值范围. 18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球 第4页 | 共6页的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一 等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期 望. .19.如图，已知四棱台ABCD-ABC D 上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA =6，且 1 1 1 1 1 AA ^底面ABCD，点P，Q分别在棱DD ，BC上. 1 1 （1）若P是DD 的中点，证明：AB ^ PQ； 1 1 3 （2）若PQ//平面ABB A ，二面角P-QD-A的余弦值为 ，求四面体ADPQ的体积. 1 1 7 y2 x2 20.已知抛物线C :x2 =4y的焦点F 也是椭圆C : + =1(a >b>0)的一个焦点，C 与C 的公共弦 1 2 a2 b2 1 2 第5页 | 共6页的长为 2 6 . （1）求C 的方程； 2 uuur uuur （2）过点F 的直线l与C 相交于A，B两点，与C 相交于C，D两点，且AC与BD同向 1 2 （ⅰ）若| AC|=|BD|，求直线l的斜率 （ⅱ）设C 在点A处的切线与x轴的交点为M ，证明：直线l绕点F 旋转时，DMFD总是钝角三角形 1 [来源:学#科#网] 21.已知a>0，函数 f(x)=eaxsinx(x[0,+))，记x 为 f(x)的从小到大的第n (nN*)个极值点，证 n 明： （1）数列{f(x )}是等比数列 n 1 （2）若a³ ，则对一切nN*，x | f(x )|恒成立. n n e2 -1 第6页 | 共6页