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北京市第五十五中学 2023-2024 学年度第一学期
期中调研试卷
初三数学
本试卷共8页，共100分，调研时长120分钟
第一部分（选择题共16分）
1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线 向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
的
4. 如图,AB是⊙O 直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,
那么线段OE的长为（ ）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
5. 如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是( )
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.
A 17° B. 34° C. 56° D. 68°
的
6. 如图， 是 绕点 顺时针旋转 后得到 图形．若点 恰好落在 上，且 的
度数为 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知抛物线 上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表：
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有以下几个结论：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
①抛物线 的开口向上；
②抛物线 的对称轴为直线 ；
③方程 的根为0和 ；
④当 时， 的取值范围是 或 ．其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ③④
第二部分（非选择题 共84分）
二．填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 请举一个开口向下，且过点 的抛物线的函数解析式______．
10. 将二次函数 用配方法化成 的形式为______．
11. 在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是____________．
12. 由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的60元涨到了72元．设平均每次涨价的
百分率为 ，则由题意可列方程为_______．
13. 若抛物线 与x轴只有一个公共点，则m的值是___________．
的
14. 如图，圆 两条弦 ， 相交于点E，且 ， ，则 的度数为 ________．
15. 我国古代数学名作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，现有圆柱状的木材埋在墙壁里，不知道其
宽的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度 寸的时候，锯开的宽度． 尺（1尺
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寸），问木材的直径 的长是_______寸．
16. 已知抛物线 经过 ， 两点．若 ， 是抛物线上
的两点，且 ，则 的取值范围是_______．
三、解答题（本题共68分，17题8分，18-25题，每题5分，26题6分，27题7分，28题7
分）
.
17 解下列一元二次方程
（1）
（2）
18. 已知二次函数的图象顶点为 ，且经过点 ．求这个二次函数的表达式．
19. 如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′．
（1）画出△OA′B′；
（2）写出点A′的坐标；
（3）求BB′的长．
20. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数 的值．
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21. 已知二次函数 ．
（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）求出这个二次函数的图象与 轴的交点；
（3）写出图象 随 增大而增大时， 的取值范围是_______．
22. 商场经销一种商品，进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如
果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．
（1）要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？
（2）该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
23. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是 中弦 的中点，
EM经过圆心O交 于点E， ， ，求 的半径．
24. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 ，水面宽 ，水面下降 ，水面宽度增加多少？
25. 如图，已知正方形 的边长为 ， 是 边上的点，将 绕点 逆时针旋转 得到
．
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（1）画出旋转后的图形， ______ ．
（2）若 ，求 的面积．
26. 在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为 ．若 ，且 ，求 的取
值范围．
27. 在等腰直角 中， ， ，过点 的垂线 ．点 为直线 上的一个
动点（不与点 重合），将射线 绕点 顺时针旋转90°交直线 于点 ．
（1）如图1，点 在线段 上，依题意补全图形；
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
（2）点 在线段 的延长线上，直接写出线段 之间的数量关系．
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28. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ；对于点 给出如下定义：将点 向右 或向
左 平移 个单位长度，再向上 或向下 平移 个单位长度，得到点 ，点 关于
点 的对称点为 ，称点 为点 的“对应点”．
（1）如图，点 ，点 在线段 的延长线上，若点 ，点 为点 的“对应点”．
①在图中画出点 ；
②连接 ，交线段 于点 ．求证： ；
（2） 的半径为 ， 是 上一点，点 在线段 上，若点 与点 重合， 为 外一点，
点 为点 的“对应点”．当点 在 上运动时，直接写出点 所构成的图形的面积（用含 的式子
表示）．
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