文档内容
2023 年高考押题预测卷 02【全国甲卷】
数 学（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则
A． B． C． ，或 D． ，或
【答案】C
【解析】： ，
所以 ， ，或 ．故选： ．
2.已知 ，则z对应的点在（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四
象限
【答案】D
【解析】解： ， 在复平面对应的点为 ，
所以 在复平面对应的点在第四象限.故选：D．3.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由终边上的点可得 ， ，再应用二倍角正余弦公式及和角
正弦公式求 .
【解析】角 的终边的经过 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ．故选：B．
4.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价
格的涨跌幅情况折线图．（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比
如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）
根据该折线图，下列结论错误的是A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格
【答案】B
【解析】：对于 选项，从同比来看，同比均为正数，即同比均上涨，故 正确，
对于 选项，从环比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比图象有升有
降，即环比有涨有跌，故 错误，
对于 选项，从环比同比来看，2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨，
故 正确，
对于 选项，设2018年12月，2018年11月，2017年12月的全国居民消费价格分别为 ，
， ，由题意可得 ， ，则 ，故 正确，故选： ．
5.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，分析比较，即可得答案.
【解析】因为 在 上为增函数，所以 ，即 ．
因为 在 上为增函数，所以 ，即，
所以 ．故选：C．
6.定义在 上的函数 满足 ，则 的图象不可能为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】：当 时，由 可得 ，排除 选项；
当 时，可得 ，则 ，
所以 为常数），所以 ，
选项 满足 ，选项 满足 ，选项 满足 ．故选： ．
7.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级
是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．
里氏震级的计算公式为 ，其中 是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”
的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公
式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的 级地震的最大振
幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸 级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到
1）．（参考数据： ， ， ）
.
A 794 B． 631 C． 316 D． 251【答案】A
【分析】将阿拉斯加半岛的震幅 和日本本州近岸5.3级地震的震幅 表示成指数形式，
作商即可.
【解析】由题意 ，即 ，则 ；
当 时，地震的最大振幅 ，
当 时，地震的最大振幅 ，
所以 ，
即 ；故选：A．
8.下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便
于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直
于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已
知 ， ， ， .根据物理学知识得
，则 （ ）
A． 28m B． 20m C． 31m D． 22m
【答案】D
【分析】由 ，得 ，则可得 ，可求得 ， ，分别为 的中点，则由已知可得 为 的中点，再结合已知的数据可求得结
果
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ∽ ，
所以 ，所以 ，因为 ， ，
所以 ，设 ， 分别为 的中点，因为
，
所以 ，所以 为 的中点，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ；故选：D
9.已知函数 的部分图象如图所示，将 图象上
所有点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 个单位长度得到
函数 的图象，则下列判断正确的是（ ）A． 的最小正周期为 B． 的图象关于直线 对
称
C． 在区间 上单调递增 D． 在区间 上最小值为
【答案】C
【分析】由图像可求出 最小正周期，从而求得 ，由特殊点求出 的值,可得
的解析式. 再利用函数 的图象变换规律, 得出函数 的解析式，由正
弦函数的图象和性质, 得出结论.
【解析】由图可知， ,则最小正周期 ， ，
，
把点 代入, 可得 , 即 ， ,
又 ， ，故 .
将 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍（纵坐标不变），可得，
再将图象向右平移 个单位长度得 ，即
，
故 的最小正周期是 , 故 A错误;
令 , 求得 , 不是 的最大或最小值, 故
的图象不关于直线 对称, 故B错误;
在区间 上, ,令 ，函数 是
增函数,故 在区间 上单调递增，故C正确；
在区间 上, ，此时当 时，
取最小值，最小值为 ，故D错误；故选: C．
10.蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠
的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，
蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点 、 、 、 、 恰好构成一正四棱锥 ，若该棱锥的高为
8，底面边长为 ，则该鞠的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意作图，算出外接球的半径即可.
【解析】
依题意作上图，∵P-ABCD是正四棱锥，∴底面ABCD是正方形，
并且点P在底面的投影为正方形ABCD的中心 ， 即
平面ABCD，外接球的球心必定在 上，设球心为O，
由题意 ，则 ,
连接BO，则BO为外接球的半径R， ，并且PO=R，
∴在 中， ， ，
解得R=5，外接球的表面积 ，故选：B．
11.已知 ， 是双曲线 的上、下焦点，过 的直线交双曲线的
上支于 ， 两点，且 ， ，则
A．双曲线 的离心率为 B．双曲线 的一条渐近线的斜率为
C．线段 的长度为 D． 的面积为
【答案】D
【解析】： ， △ ，
，，且 ， ，
， ， ， ， ， ，
，即离心率 ， ，
渐近线的斜率为 ，
为等腰三角表，
的面积为 ．
综上所述： 错误， 正确．故选： ．
12.已知函数 的图像是连续不断的，其定义域为 ，满足：当 时，
；任意的x， ，均有 .若
，则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，解得 ，再令 ，得到 ，从而是奇函数，用 替代 ，结合 是奇函数，得到
，再由 时， ，利用单调性定义
得到 在 上递增，则 在 上递增，将 转化为
求解.
【解析】解：令 ，即 ，
则 ，令 ，即 ，
则 ，因为 定义域为 ，所以 是奇函数，
由 ，用 替代 ，
得 ，因为 是奇函数，
所以 ，
，且 ，则 ，
因为当 时， ，所以 ， ，
即 ，所以 在 上递增，又 是定义域为 的奇函数，
所以 在 上递增，则 等价于 ，解得 ，
故选：D
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都
必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为________.
【答案】
的
【分析】作出不等式组表示 平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.
【解析】作出不等式组 表示的平面区域，如图
中阴影 （含边界），其中 ，
目标函数 ，即 表示斜率为 ，纵截距为 的平行直线系，
画直线 ，平移直线 到直线 ，当直线 过点 时，直线 的纵截距最大， 最
大，
所以 的最大值 .故答案为：
14.过点 且与圆 ： 相切的直线方程为__________
【答案】 或
【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．
【解析】解：将圆 方程化为圆的标准方程 ，得圆心 ，半
径为 ，当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆 的切线，满足题意；
当过点 的直线斜率存在时，
可设直线方程为 ，即 ，
利用圆心到直线的距离等于半径得 ，解得 ，
即此直线方程为 ，故答案为： 或 ．
15.已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面
为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的
侧面积的比为 ，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为________.
【答案】 ##0.375
【解析】
【分析】根据给定条件，用圆锥的底面圆半径 表示其母线 ，再用 表示圆
柱的底面圆半径 及母线 ，结合圆柱、圆锥体积公式求解作答.
【解析】设圆锥 的底面圆半径为 ，母线为 ，依题意， ，即有 ，高
，如右图所示，
设圆柱的底面圆半径为 ，母线为 ，则有 ，由 得： ，
又 ，即 ，于是 ，所以圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为 .故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，利用轴截面，借助平面几何知识解题是
解决问题的关键.
16.已知A､B､C是椭圆 上的三个点，O为坐标原点，A､B两点关于
原点对称，AC经过右焦点F，若 且 ，则该椭圆的离心率是
___________.
【答案】 ##
【分析】方法一：设椭圆的左焦点为 ，由条件证明四边形 为矩形，设 ，
结合椭圆的定义求 ， ，利用勾股定理列方程可得 关系由此可求离心率.
方法二：设 ， ，由 可得 ，由 可得
，结合点 的坐标满足椭圆方程列方程，消元可得 关系由此
可求离心率.
【解析】方法一：
设椭圆的半焦距为 ，左焦点为 ，则
因为 两点关于原点对称，所以 ，又 ，
所以 ，所以四边形 为矩形，设 ，因为 ，所
以 ，由椭圆的定义可得 ， ，
在 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，故 ，
，
在 中， ，所以 ，
所以 ，所以离心率 .故答案为： .
方法二：设椭圆的半焦距为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐
标为 ，点 的坐标为 ，
且 ①， ②，
②×4-①可得， ，
因为 经过右焦点 ， ，所以 ，所以 ，
故 ，
所以 ，又 ，所以 ，因为 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以离心率 .故答案为： .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.“十四五”时期是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，开启全面建
设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年.“三农”工作重
心历史性转向全面推进乡村振兴，加快中国特色农业农村现代化进程.国务院印发《“十四
五”推进农业农村现代化规划》制定了具体工作方案和工作目标，提出到 年全国水
产品年产量达到 万吨. 年至 年全国水产品年产量 （单位：千万吨）的数
据如下表：
年份
年份代号
总产量
（1）求出 关于 的线性回归方程，并预测 年水产品年产量能否实现目标；
（2）为了系统规划渔业科技推广工作，研究人员收集了 年全国 个地区（含中农
发集团）渔业产量、渔业从业人员、渔业科技推广人员的数据，渔业年产量超过 万吨的
地区有 个，有渔业科技推广人员高配比（配比 渔业科技推广人员总数：渔业从业人员
总数）的地区有 个，其中年产量超过 万吨且高配比的地区有 个，能否有 的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.
附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的
最小二乘法估计分别为 ， ，
；
参考数据 ， .
【答案】（1） ， 年水产品年产量能实现目标
（2）有 的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系
【分析】（1）利用最小二乘法即可求得线性回归方程，代入 得到预估值，由
可得结论；
（2）由已知数据可得列联表，进而求得 ，对比临界值表可得结论.
【小问1解析】
由表格数据知： ， ， ，，
， ，
关于 的线性回归方程为： ，
当 时， ， 年水产品年产量能实现目标.
【小问2解析】
列联表如下：
渔业年产量超过 渔业年产量不超过
合计
万吨的地区 万吨的地区
有渔业科技推广人员高配比的地区
没有渔业科技推广人员高配比的地区
合计
则 ，
有 的把握认为“渔业科技推广人员配比和年产量”有关系.
18.已知公差为正数的等差数列 中， ， ， 构成等比数列， 是其前 项
和，满足 .
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）若_________，求数列 的前 项和 .（）
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在第
（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1） ， （2）答案见解析
【分析】（1）由题知 ，进而结合等差数列通项公式解方程即可得
， ，再求解通项公式与前 项和；
（2）选①：结合（1）得 ，进而根据分组求和的方法求解即可；
选②：结合（1）得 ，进而结合裂项求和的方法求解即可；
选③：结合（1）得 ，再根据错位相减法求解即可；
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
依题意可得 ，则
解得 ， ，
所以，数列 的通项公式为 .
综上：
（2）选①
由（1）可知：
∴∵
∴
选②
由（1）可知：
∴
∵
选③
由（1）可知： ，∴
∵
则
于是得
两式相减得 ，
所以 .19.如图1，在直角梯形ABCD中， ， ， ，将
沿AC折起（如图2）．在图2所示的几何体 中：
（1）若平面ACD⊥平面ABC，求证：AD⊥BC；
（2）设P为BD的中点，记P到平面ACD的距离为 ，P到平面ABC的距离为 ，求证：
为定值，并求出此定值．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析，2
【分析】（1）先通过余弦定理及勾股定理证明AC⊥BC，再通过面面垂直的性质定理证明
BC⊥平面ACD，从而可证线线垂直；
（2）利用等体积法建立高的关系式，求解即可
【小问1解析】
记 ，在 中， ， ，
在 中， ，由余弦定理得
，
所以 ，所以AC⊥BC，
因为平面ACD⊥平面ABC，平面 平面ABC=AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面ACD，又 平面ACD，所以 ；
【小问2解析】
由题意 ， ，
因为P为BD的中点， ，
所以 ，即 .
20.抛物线C： 上的点 到抛物线C的焦点F的距离为2，A､B（不
与O重合）是抛物线C上两个动点，且 .
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）x轴上是否存在点P使得 ？若存在，求出点P的坐标，若不存在，
说明理由.
【答案】（1） （2）存在 ，理由见解析
【分析】（1）由焦半径公式求出 ，求出抛物线方程；
（2）设出直线 方程，与抛物线方程联立得到 点坐标，同理得到 点坐标，利用
得到 ，求出 ，求出定点坐标.
【小问1解析】
由抛物线的定义得 ，解得 ，则抛物线 的标准方程为 .
【小问2解析】
依题意知直线 与直线 的斜率存在，设直线 方程为，
由 得直线 方程为： ，
由 ，解得 ，
由 ，解得
由 得 ，假定在 轴上存在点 使得 ，
设点 ，
则由（1）得直线 斜率 ，直线 斜率 ，
由 得 ，则有 ，即 ，
整理得 ，
显然当 时，对任意不为0的实数 ， 恒成立，
即当 时， 恒成立， 恒成立，
所以 轴上存在点 使得 .
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于 与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括
号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，
可消去 变为常数.
21.已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间与极值；
（2）当 时，证明： 只有一个零点.
【答案】（1）在 上单调递增， 上单调递减；极大值 ，无极小值
（2）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数, 解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;
（2）通过讨论 的范围，求出函数的单调区间, 求出函数的最小值, 结合函数的零点个数
求出 的范围即可.
【小问1解析】
当 时， ，
由 得， ，由 得， 或
∴ 在 上单调递增， 上单调递减，
∴ 在 处取得极大值 ，无极小值.
【小问2解析】∵ ，
∴
由 ， 得， 或
①当 时， ， 在 上单调递增
∵ ，
∴ ，故 在 上有唯一零点
②当 时， 得 或
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
∵ ，
∴ ，故 在 上有唯一零点
综上：当 时， 只有一个零点.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若 ，求点
P横坐标的取值范围．
【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）把曲线C的方程两边平方相加可求曲线C的普通方程,利用两角和的余弦公
式可求直线l的直角坐标方程;
（2）设 ，由题意可得 ，计算可求点P横坐标的取值范围.
【解析】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），
可得
由 ,得
,即 ,
曲线 的普通方程为 ,直线 的直角坐标方程为
（2）设 ,连接 ，易得 ，
若 ,则 ，
在 中， ，
,,两边平方得 ,
解得 , 点 横坐标的取值范围为
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 且满足 ，记 是 的最大值，证明：
.
【答案】（1） ； （2）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，分段解含绝对值符号的不等式作答.
（2）利用（1）中信息，借助函数单调性求出c，再利用作差法结合均值不等式推理作答.
【解析】（1）依题意， ，于是不等式 化为：
或 或 ，解得 ，
所以不等式 的解集 .
（2）由（1）可知：函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 ，
由 得 ，即 ，于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
