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2024—2025 学年高三（25 届）二模数学科试卷
命题人：孙方辉 校对人：王立冉
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
2. 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像
A. 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位
C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位
在
3. 中，点 、 在边 上， ，设 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 设函数 ，其中 ，则 是偶函数的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数 ，则不等式 解集为（ ）
的
A. B.
C. D.6. 已知函数 ，若 在 有唯一的零点，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知函数 在 处有极大值，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知函数 的最小正周期为 ，当 时，函数 取最小
值，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 为坐标原点， ， ， ，则（ ）
A. 方向的单位向量为
B. 若 ，则点 坐标为
的
C.
D. 在 上的投影的数量为
10. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的最大值为2
B. 区间 有两个极值点
在C.
D. 直线 是曲线 的切线
11. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A.
B. ， ， 不能构成三角形
C. 若 ，则 为锐角三角形
D. 若 ， ， 均为有理数，则 为有理数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量 ， 满足 ，则 的最小值为______.
13. 函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是______.
14. 如图，圆内接四边形 中， 为直径， ， .则 的长度为______；
______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 等差数列{a }的前 项和为 ，已知 ， .
n（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）求数列 的前 项和 .
16. 已知函数 .
（1）若 为偶函数，求 的最小值；
（2）当 时，判断 的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于 的不等式
的解集.
17. 在 中， 为 的中点， ，记 ， .
（1）证明： 或 ；
（2）若 ，且 ，求 的最大值.
18. 如图，函数 的图象与 轴相交于点 ，且在 轴右侧的
第一个零点为 .
（1）求 和 的值；
（2）已知 ， ， ，求 的值.
19. 已知函数 .（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 在 上单调递增，求正实数 的取值范围；
（3） 时，证明： .2024—2025 学年高三（25 届）二模数学科试卷
命题人：孙方辉 校对人：王立冉
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据模长公式求解.
【详解】由 得 ，
故 ，故 ，
故选：C
2. 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像
A. 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位
C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 记 函 数 ， 则 函 数
∵函数 f（x）图象向右平移 单位，可得函数的图象∴把函数 的图象右平移 单位，得到函数 的图象,故选
B.
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
3. 在 中，点 、 在边 上， ，设 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
由 ，可得 ，
则 ，
又 ， ，所以 .
故选：A
4. 设函数 ，其中 ，则 是偶函数的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数可得 ，即可代入求解.【详解】 ，若 是偶函数，则 ，
故 ,
进而可得 ，
故 ， ,
，故 ，
故选：D
5. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性求解不等式.
【详解】当 时， 单调递增，当 时， 单调递增，且在分界点处 ，
所以函数 在定义域上单调递增，
所以 ，得 ，
所以不等式的解集为 .
故选：B
6. 已知函数 ，若 在 有唯一的零点，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先判断 是偶函数，根据偶函数的对称性即可求解.【详解】由于 ，
所以 是偶函数，
要使 在(−1,1)有唯一的零点，则 ，
即 ，解得 ，
故选：A
7. 已知函数 在 处有极大值，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据 ，求 ，再代入验证，即可求解.
【详解】 ，
由题意可知， ，得 或 ，
当 时， ，得 或 ，
当f′(x)>0，得 或 ，f′(x)<0，得 ，
所以函数的单调递增区间是 和(1,+∞)，单调递减区间是 ，
所以 是极小值，故 ，
时， ，得 或 ，
当f′(x)>0，得 或 ，f′(x)<0，得 ，
所以函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，
所以 是极大值，故 .故选：C
8. 已知函数 的最小正周期为 ，当 时，函数 取最小
值，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出 ，再借助正弦函数的单调性判断即得.
【详解】由函数 的最小正周期为 ，得 ，
而 ，则函数 在 取得最小值，
于是 ，即 ，
因此函数 （ ），
而 ， ，
，又 ，
正弦函数 在 上单调递减，即 ，
所以 .
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知 为坐标原点， ， ， ，则（ ）
A. 方向的单位向量为
B. 若 ，则点 的坐标为
C.
D. 在 上的投影的数量为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项.
【详解】对于A. , ，所以 方向的单位向量为 ，故A错误；
对于B.设P(x,y)，由 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故B正确；
对于C. ， ， ，
所以 ，故C正确；
对于D.向量 在 方向上的投影数量 ，故D错误.
故选：BC.
10. 设函数 ，则下列结论正确 的是（ ）的
A. 函数 最大值为2
B. 在区间 有两个极值点
C.
D. 直线 是曲线 的切线
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简函数解析式，再根据整体代换思想结合正弦函数的图象和性质判断ABC，利用导数的几何意
义判断D.
【详解】由题意得
选项A：函数 的最大值为 ，错误；
选项B：当 时， ，由正弦函数 图象可得y=f (x)有2个极值点，
由 和 解得 和 为函数的极值点，正确；
选项C，
正确，
选项D，由 得 ，
所以 或 ， ，解得 或 ， ，
所以函数y=f (x)在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为 即 ，正确；
故选：BCD
11. 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A.
B. ， ， 不能构成三角形
C. 若 ，则 为锐角三角形
D. 若 ， ， 均为有理数，则 为有理数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角形三边关系，平方即可求解A，利用 即可判断B，利用余弦定理以及不等式的
性质即可求解C，利用余弦定理，结合图形关系即可求解D.
【详解】对于A,由于 ，平方可得
，相加化简可得 ，
故A正确，
对于B，取 ，则 ， ， 能构成三角形，B错误，对于C，由 可知 ，故 为最大的内角，则
，
故 为锐角，进而可得 为锐角三角形，C正确，
为
对于D，若 ， ， 均 有理数，则 均为有理数，
则 为有理数，不妨设 ，延长 到 ，使得 ，
过 作 ，故 ，
由于 ，
故 为有理数，所以 均为有理数，
因此 为有理数，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：利用三角形图形关系，作出 ，在 中由余弦定理即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量 ， 满足 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用数量积模的公式 ，转化为二次函数求最值.【详解】
，当 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为：
13. 函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】该函数的值域为 , ，从而函数 和 轴存在公共点，从而判别式 ，
解该不等式即可得出实数 的取值范围．
【详解】根据题意知，函数 可以取到0；
函数 和 轴有交点；
；
解得 ，或 ；
实数 的取值范围为： ．
故答案为： ．
14. 如图，圆内接四边形 中， 为直径， ， .则 的长度为______；
______.【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】首先根据圆的性质，得到 ，再根据余弦定理，即可求解 ，直角三角形中分
别求解 和 ，转化向量 ，再根据向量数量积的定义求解.
【详解】因为 是直径， ， ，所以 ，
，所以 ， ，
，
所以 ；
在 中， ， 中， ，
，
，，
.
故答案为： ；
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 等差数列{a }的前 项和为 ，已知 ， .
n
（1）求数列{a }的通项公式；
n
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；
（2）根据数列正项和负项的分界，讨论 与 的关系，求解.
【小问1详解】
设数列{a }的公差为 ，
n
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴公差为 ，∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由已知 ，时， ；
时， ；
综上 .
16. 已知函数 .
（1）若 为偶函数，求 的最小值；
（2）当 时，判断 的单调性（不用证明），并借助判断的结论求关于 的不等式
的解集.
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据 为偶函数，由 恒成立求得 ，然后利用基本不等式求函数的最
小值；
（2）易知 时， 在R上为单调递增函数，然后指数和对数运算，得到 ，
然后将问题转化为 ，利用函数的单调性求解.
【详解】（1） 的定义域为R， ，
∵ 为偶函数，
∴ 恒成立，
∴ 恒成立，整理得 恒成立，
∴
∴ ，当且仅当 即 时等号成立．
∴ 的最小值为2.
（2） 时， 在R上为单调递增函数，
∵ ，
，
则 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴解集为 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用指数和对数运算化简 .
17. 在 中， 为 的中点， ，记 ， .
（1）证明： 或 ；
（2）若 ，且 ，求 的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】【分析】（1）根据题意，在 与 中分别用正弦定理即可得到 ，再结
合正弦的二倍角公式，即可证明；
（2）分别讨论 与 ，结合 列出不等式，代入计算，即可
得到结果.
【小问1详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，则 ；
中，则 ，
在
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 或 ，即 或 .
【小问2详解】
时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由已知 ，矛盾；
时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 的最大值为 .
18. 如图，函数 的图象与 轴相交于点 ，且在 轴右侧的
第一个零点为 .
（1）求 和 的值；
（2）已知 ， ， ，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 可得 ，即可根据周期关系得 ，结合中心对称即可求解
，
（2）根据同角关系可得 ，进而根据和差角公式即可求解.
【小问1详解】
由已知 ，∵ ，∴ ，∴ ，由已知 ， ，∴ ， ，
由图象可知∴ ，∵ ，∴ ，∴
【小问2详解】
由（1）知 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ；
∵ ，∴ ，
∴ ，即
∵ ，∴ ，∴
∴
19. 已知函数 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 在 上单调递增，求正实数 的取值范围；
（3） 时，证明： .
【答案】（1）单调递增区间是 ，单调递减区间是
（2）
（3）证明见解析
【解析】【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定单调性，
（2）根据单调性将问题转化为 恒成立，构造 ，求导，
根据基本不等式，结合分类讨论即可求解，
（3）根据 得 ，两式相加，即可化简求解.
【小问1详解】
由已知 ，∴ ，
记 ，则 ，且等号不同时成立，
∴ 在 上单调递增，又 ，
∴ 时， ； 时， ，
∴ 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
【小问2详解】
若 在 上单调递增，则 恒成立，
设 ，则 ，
时，∵ ，∴ ；
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ 时， ，∴ 在 上单调递增，符号题意；
时， ，令 ，
时， ，
∴ 在 上单调递增，由 得 ，∴ ，又 ，
∴ 在 上存在唯一解，记为
∴ 时， ，即 ∴ 在 上单调递减，
∴ ，即 ，矛盾，
综上， ；
【小问3详解】
， 时， ，
∴ ，
故 ，
∴ ，
即 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数ℎ(x)；
(3)利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
