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北京十二中 2023-2024 学年第二学期期中考试试题
初二数学
（满分100分，时间120分钟）
一、选择题（共24分，每题2分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简二次根式满足的条件是∶被开方数不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不能是小数或分
数；分母中不能出现二次根式．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，是最简二次根式，符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解决本题的关键是要熟练掌握满足最简二次根式的条件．
2. 下列计算正确的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二
次根式的运算法则逐项判断即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、 与 不是同类项二次根式，不能合并，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确，
故选：D．
3. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若 ， ，则b的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 144
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长
即可．
【详解】解：由勾股定理的变形公式可得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，属于基础题. 本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定
理．
4. 下列条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司5. 如图，在 中，D，E，F分别是边 ， ， 的中点，若 ， ，则四边形
的周长为（ ）
A. 13 B. 21 C. 26 D. 52
【答案】C
【解析】
【分析】根据D，E，F分别是边 ， ， 的中点，可判定四边形 是平行四边形，再根据三
角形中位线定理，即可求得四边形 的周长．
的
【详解】解：∵D，E，F分别是边 ， ， 中点，
∴ ， ，
， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查平行四边形的判定，三角形中位线定理，熟练运用中位线定理是解题的关键．
6. 如图，点 在数轴上，其表示的数为 ，过点 作 ，且 ，以点 为圆心， 为半径
作弧，与数轴正半轴交于点 ，则点 表示的实数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】勾股定理求得 的长，结合数轴即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
的
∴以点 为圆心， 为半径作弧，与数轴正半轴交于点 ，则点 表示 实数为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7. 在平行四边形 中，有两个内角的度数比为 ，则平行四边形 中较小的内角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出 ，推出 ，再由 ，求出
即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴平行四边形中较小的内角是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
8. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）．
A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解：
【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意；
B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意；
C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意；
D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意．
故选B．
9. 如图，矩形 的两条对角线相交于点O．若 ， ，则边 的长为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半可得 ，在根据勾股定理求出
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学科网（北京）股份有限公司．
【详解】 ， ， ，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此
题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10. 某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序
进行了记录，其中记录有错误的是（ ）
A. 26，10，24 B. 10，16，6 C. 17，30，8 D. 13，24，5
【答案】A
【解析】
【分析】如图，记等腰三角形的腰长为 ，底长为 ，底边上的高为 ，由勾股定理得， ，
即记录的数据应该满足 ，对各选项计算判断即可．
【详解】解：如图，记等腰三角形的腰长为 ，底长为 ，底边上的高为 ，
由勾股定理得， ，即记录的数据应该满足 ，
A中 ，记录错误，故符合要求；
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学科网（北京）股份有限公司B中 ，记录正确，故不符合要求；
C中 ，记录正确，故不符合要求；
D中 ，记录正确，故不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质．解题的关键在于正确的运算求解．
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
D. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题真假的判断以及平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定，根据定义：符合事实
真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
根据平行四边形的判定方法对A进行判断．根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C
进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【详解】解：A. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项A说法不正确；
B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项B说法不正确；
C. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故选项C说法不正确；
D. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，说法正确；
故选：D．
12. 如图，在 中， ，F是 的中点，作 于E，连接 、 ，下列结论
不成立的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出
，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是 的中点，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项A不符合题意；
延长 ，交 延长线于M，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵F为 中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选项B不符合题意；
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，故选项C不符合题意，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出
．
二、填空题（共20分，每题2分）
13. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，
∴x−5 0，解得x 5．
故答案⩾为：x≥5 ⩾
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式 有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了
解一元一次不等式．
14. 计算 的结果等于___________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接利用平方差公式求解即可．
【详解】解： ;
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：2．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，同时也涉及到了二次根式的运算性质以及乘方运算等内容；该题
较基础，解决本题的关键是牢记平方差运算公式即可．
15. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝__．
【答案】50°．
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质即可求解.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质.
16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加
的条件是___．
【答案】AB=DC（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解．
【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）．
还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
17. 如图，在 中，点D、E分别是 的中点，若 ，则 _________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】6
【解析】
【分析】由点D、E分别是 的中点，得到 是 的中位线，进而得到 ，即可
求解，
本题考查了三角形中位线的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握三角形的中位线．
【详解】解：∵点D、E分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
18. 如图，在平行四边形 中， ，对角线 交于点O，点E为边 的中点．若
，则 的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出 ，再证明 为 的中位线，则 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即点O为 的中点，
又∵点E为边 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的
关键．
19. 下列命题：①如果两个实数相等，那么它们的平方相等；②如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么 ；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是
__________（填写所有正确结论的序号）．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：①原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个数相等，是假命题，不符合题
意；
②原命题的逆命题为：如果三角形的三边满足 ，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，
符合题意；
③原命题的逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了判断一个命题的逆命题真假，熟练掌握勾股定理的逆定理，平行四边形的判定，
实数的性质是解题的关键．
20. 如图，在 中， ， ， ，D，E分别是边 和 上的点，把
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学科网（北京）股份有限公司沿着直线 折叠，若B恰好落在 中点M上，则 长为______．
【答案】
【解析】
【分析】在 中，利用勾股定理求得 ，结合点M是 中点可得 ，由翻折可知
，在 中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
点M是 中点，
，
由翻折可知 ，
在 中，
，
，
解得： ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握折叠的性质，并运用勾
股定理正确计算．
21. 如图，在正方形 中，边长为2的等边三角形 的顶点E，F分别在 上，则 的
面积为______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质分别得到
， ，由此可证明
得到 ，进一步证明 是等腰直角三角形，得到
，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰
直角三角形的性质与判定等等，证明 是等腰直角三角形是解题的关键．
22. 如图，四边形 和四边形 都是正方形，E是 延长线上一个动点，点G在射线 上
（不与点C重合），H是 的中点，连接 ．若 ，则 的最小值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】延长 交 于点M，证明 ，则 ，得到
，设 ，则 ， ，在 中，由勾
股定理得到 ，进一步得到 ，即可得到
的最小值．
【详解】解：延长 交 于点M，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 是正方形， ，
∴ ， ，
∵四边形 都是正方形，E是 延长线上一个动点，
∴ ， ，
∴ ，
∵H是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明
是解题的关键．
三、解答题（共56分，第23题，每小题3分，第24-26题，每题4分，第27-30题，每题5
分，第31-32题，每题6分）
23. 计算；
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）2； （4） ．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算法则，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的
关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则，即可求解；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解；
（3）根据二次根式的四则混合运算法则，即可求解；
（4）先利用平方差公式计算，再根据二次根式的混合运算法则，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
24. 阅读材料，并完成任务．
“平行四边形的判定”这节课上，研究了平行四边形的三个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定
平行四边形的方法吗？”小雨说：“我发现一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”．老师
说：“这个命题是真命题”．
要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论．然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后
完成证明，请你在下表中完成相应的任务．
画图：
已知：
，
求证：
证明：
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定、平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定，会根据题意和
图形正确写出命题的题设和结论是解答的关键．先根据题意和图形写出已知，再根据平行线的判定与性质，
以及平行四边形的判定解答即可．
【详解】解：
画图：
已知： ， ，
求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
25. 如图，在 中，对角线 相交于点O， 于点A， ， ，求平
行四边形 的边 的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质可知， ，
， ， ，在 中，由勾股定理得 ，求
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学科网（北京）股份有限公司的值，在 中，由勾股定理即可求得 的长．
【详解】解：由平行四边形的性质可知， ， ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ．
26. 在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的延长
线于点 ．证明四边形 是菱形
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据 是 的中点， ，易证得 ，即可得 ，又由在
中， ， 是 的中点，可得 ，证得四边形 是平行
四边形，继而判定四边形 是菱形。
【详解】证明：如图，
，
，
是 的中点， 是 边上的中线，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
在 和 中，
，
（ ），
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
， 是 的中点，
，
∴四边形 是菱形.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．根据图形求解是关键．
27. 下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；
3、连接AD，CD．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，
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学科网（北京）股份有限公司（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．
证明：∵AB＝______，BC＝______，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（________）．
【答案】（1）见解析 （2）CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平
行四边形是矩形．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【小问1详解】
解：如图，四边形ABCD即为所求．
小问2详解】
【
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对分别相等的四边形是平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
28. 如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O，过点A作 的垂线，垂足为点E，延长
到点F，使 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明 ，且 ， ，可得 ，证明四边形 是平行
四边形，结合 ，可得结论；
（ 2 ） 证 明 ， ， ， 可 得 ， 求 解
，可得 ，结合
再求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，且 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
【小问2详解】
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理可得：∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质
是解本题的关键．
29. 如图，每个小正方形的边长都是1， ， ， ， 均在网格的格点上．
（1）判断 是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形 的面积为______．
（3）找到格点 ，并画出四边形 （一个即可），使得其面积与四边形 面积相等．
【答案】（1）不是 （2）14
（3）见解析（答案不唯一）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先利用勾股定理分别求出 的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得；
（2）利用分割法求解即可得；
（3）先利用平行四边形的性质找到格点 ，再利用等高模型画出图形即可．
【小问1详解】
解： ，
，
，
，
不是直角，
故答案为：不是．
【小问2详解】
解：四边形 的面积为 ，
故答案为：14．
【小问3详解】
解：如图，点 和四边形 即为所求．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题，属于常考题型．
30. 在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程
，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
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学科网（北京）股份有限公司材料一：
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消
元，将二元方程转化为一元方程；
小康同学：对，就是要往解 的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
……
材料二：
解：两边平方得：
．
解得： ．
检验：将 代入原方程，
成立．
∴原方程的解为 ．
通过以上材料，完成下列问题：
（1）解关于x的方程 ；
（2）解关于x的方程 ．
【答案】（1） ；
（2）无解
【解析】
【分析】仿照例题，两边平方，得到整式方程，解整式方程，再检验即可求解．
【小问1详解】
解：两边平方得： ．
解得： ．
检验：将 代入原方程，成立．
∴原方程的解为 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：两边平方得： ．
解得： ．
检验：当 时， ，即 是增根．
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键．注意一定要验根．
31. 如图，在正方形 中， 是边 上的一点（不与 ， 重合），点 关于直 的对称点是点
，连接 ， ，直线 ， 交于点 ，连接 ．
（1）在图1中补全图形， ________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
（2）猜想 和 的数量关系，并证明．
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析，
（2） ，证明见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称的性质，正方形的性质即可求解；
（2）先证明 得到 ，再由三角形外角的性质结合（1）的结论即可得到结
论；
（3）如图，过点A作 ，与射线 交于点Q，证明 为等腰直角三角形，得到
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学科网（北京）股份有限公司， ．再证明 ，再由全等三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示；
∵点D、F关于 对称，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解： ，证明如下：
由（1）可知 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
【小问3详解】
解： ，证明如下：
如图，过点A作 ，与射线 交于点Q．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
由对称性可知 ，
又∵ ，
∴ 为等腰直角三角形．
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质
与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
32. 在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重
合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________．
②在P（2.5，0），P（2，4），P（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是
1 2 3
_____________．
（2）直线 平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线 的距离都是1，若点C（x，y）是直线 上
的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ；5；② ；（2） 或 ．
【解析】
的
【分析】（1）根据平面直角坐标系内两点间 距离公式，即可求解；
（2）根据相好点的定义，即可求解；
（3）根据相好点的定义，得到 ， ，设 ，求出x的取值范围，即可求解．
【详解】解：（1）①由题意可得： ， ，
∴d的最小值为 ，最大值为5；
②如图①，
∵P（2.5，0），P（2，4），P（－2，0），
1 2 3
点P（2.5，0）到线段AB的最小距离为3，最大距离为 ，
1
∴在线段AB上存在点到P 的距离等于O到AB的距离，即点P 与点O是线段AB的一对相好点，
1 1
P（2，4）到AB的最大距离为 ，
2
∴在线段AB上存在点到P 的距离等于O到AB的距离，即点P 与点O不是线段AB的一对相好点，
1 2
P（－2，0）到线段AB的最小距离为 ，
3
∴在线段AB上存在点到P 的距离等于O到AB的距离，即点P 与点O是线段AB的一对相好点，
3 3
∴与点O是线段AB的一对相好点的是 ；
（3）∵直线 平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线 的距离都是1，
∴直线l为y=4或y=2，
∵点C与点O是线段AB的一对相好点， ， ，
当 ， ，即 ， ，
设 ，当点C在y=4上时，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
解得： ，
当 ，即 ， ,
则 ，
解得： ，
同理 ，当点C在y=2上时， 或 ，
综上所述，x的取值范围 或 ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，解不等式组，理解新定义是解题的关键．
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