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北京十二中 2023-2024 学年第二学期期中考试试题
初二数学
（满分100分，时间120分钟）
一、选择题（共24分，每题2分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若 ， ，则b的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 144
4. 下列条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 如图，在 中，D，E，F分别是边 ， ， 的中点，若 ， ，则四边形
的周长为（ ）
A. 13 B. 21 C. 26 D. 52
6. 如图，点 在数轴上，其表示的数为 ，过点 作 ，且 ，以点 为圆心， 为半径
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学科网（北京）股份有限公司作弧，与数轴正半轴交于点 ，则点 表示的实数为（ ）
A. B. C. D. 4
7. 在平行四边形 中，有两个内角的度数比为 ，则平行四边形 中较小的内角是（ ）
A. B. C. D.
8. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）．
A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等
的
9. 如图，矩形 两条对角线相交于点O．若 ， ，则边 的长为（
）
.
A B. 2 C. D. 1
10. 某工厂要制作一些等腰三角形的模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照腰长、底长和底边上高的顺序
进行了记录，其中记录有错误的是（ ）
A. 26，10，24 B. 10，16，6 C. 17，30，8 D. 13，24，5
11. 下列命题正确的是（ ）
的
A. 对角线相等 四边形是平行四边形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形
D. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
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学科网（北京）股份有限公司12. 如图，在 中， ，F是 的中点，作 于E，连接 、 ，下列结论
不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共20分，每题2分）
13. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
14. 计算 的结果等于___________．
15. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝__．
16. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加
的条件是___．
17. 如图，在 中，点D、E分别是 的中点，若 ，则 _________．
18. 如图，在平行四边形 中， ，对角线 交于点O，点E为边 的中点．若
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学科网（北京）股份有限公司，则 的长为______．
的
19. 下列命题：①如果两个实数相等，那么它们 平方相等；②如果直角三角形的两条直角边长分别
为a，b，斜边长为c，那么 ；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题是真命题的是
__________（填写所有正确结论的序号）．
20. 如图，在 中， ， ， ，D，E分别是边 和 上的点，把
沿着直线 折叠，若B恰好落在 中点M上，则 长为______．
21. 如图，在正方形 中，边长为2的等边三角形 的顶点E，F分别在 上，则 的
面积为______．
22. 如图，四边形 和四边形 都是正方形，E是 延长线上一个动点，点G在射线 上
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学科网（北京）股份有限公司的
（不与点C重合），H是 中点，连接 ．若 ，则 的最小值为______________．
三、解答题（共56分，第23题，每小题3分，第24-26题，每题4分，第27-30题，每题5
分，第31-32题，每题6分）
23. 计算；
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
24. 阅读材料，并完成任务．
“平行四边形的判定”这节课上，研究了平行四边形的三个判定定理之后，老师问：“还有其它能够判定
平行四边形的方法吗？”小雨说：“我发现一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”．老师
说：“这个命题是真命题”．
要证明这个命题是真命题，需要先分清命题的题设和结论．然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后
完成证明，请你在下表中完成相应的任务．
画图：
已知：
，
求证：
证明：
25. 如图，在 中，对角线 相交于点O， 于点A， ， ，求平
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学科网（北京）股份有限公司行四边形 的边 的长．
26. 在 中， ， 是 的中点， 是 的中点，过点 作 交 的延长
线于点 ．证明四边形 是菱形
27. 下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；
3、连接AD，CD．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．
证明：∵AB＝______，BC＝______，
∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（________）．
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学科网（北京）股份有限公司28. 如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O，过点A作 的垂线，垂足为点E，延长
到点F，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求 的长．
29. 如图，每个小正方形的边长都是1， ， ， ， 均在网格的格点上．
（1）判断 是否为直角：______．（填写“是”或“不是”）
（2）直接写出四边形 的面积为______．
（3）找到格点 ，并画出四边形 （一个即可），使得其面积与四边形 面积相等．
30. 在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程
，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消
元，将二元方程转化为一元方程；
小康同学：对，就是要往解 的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
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学科网（北京）股份有限公司……
材料二：
解：两边平方得：
．
解得： ．
检验：将 代入原方程，
成立．
∴原方程的解为 ．
通过以上材料，完成下列问题：
（1）解关于x的方程 ；
（2）解关于x的方程 ．
31. 如图，在正方形 中， 是边 上的一点（不与 ， 重合），点 关于直 的对称点是点
，连接 ， ，直线 ， 交于点 ，连接 ．
（1）在图1中补全图形， ________ （填“ ”“ ”或“ ”）；
（2）猜想 和 的数量关系，并证明．
（3）用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
32. 在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重
合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________．
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学科网（北京）股份有限公司②在P（2.5，0），P（2，4），P（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是
1 2 3
_____________．
（2）直线 平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线 的距离都是1，若点C（x，y）是直线 上
的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
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