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专练 66 高考大题专练(六) 概率与统计的综合运用
1．[2022·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个
项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠
军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独
立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
2．[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，
为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统
计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
3．[2022·全国乙卷(理)，19]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．
为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面
积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积x 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
并计算得＝0.038，＝1.615 8，y＝0.247 4.
i i
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面
积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377.
4．[2022·江西鹰潭高三模拟]某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产
品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y＝c·xb(b、c为大于0的常数).按照某项指
标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(，)≈(0.302，0.388)内时为优等品．现随机抽取6
件合格产品，测得数据如下：
尺寸 x(mm) 38 48 58 68 78 88
质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290
(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ
的期望；
(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：
∑ (ln x·ln y) ∑ (ln x) ∑ (ln y) ∑ (ln x)2
i i i i i
75.3 24.6 18.3 101.4
①根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
②已知优等品的收益z(单位：千元)与x、y的关系为z＝2y－0.32x，则当优等品的尺
寸x为何值时，收益z的预报值最大？
附：对于样本(v，u)(i＝1，2，…，n)，其回归直线u＝b·v＋a的斜率和截距的最小二
i i
乘估计公式分别为：
b＝＝，
a＝u－bv，e≈2.718 2.
5．[2022·河南省六市联考]在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班
加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠
抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了 100个，
将其质量指标值分成以下五组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，
150]，得到如下频率分布直方图．(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于 130的
为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩，现从样本口罩中利用分层抽样的方法
随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率；
(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活
动，甲、乙、丙三人分别在该平台参加一次抢购活动，假定甲、乙、丙抢购成功的概率分
别为0.1，0.2，0.3，记三人抢购成功的总次数为X，求X的分布列及数学期望E(X).
