三角函数与解三角形——2025届高考数学二轮复习易错重难提升新高考版（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习

（3）三角函数与解三角形 ——2025 届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】 易混重难知识 1.同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： . （2）商数关系： . 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1） ； （2） ； （3） . 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1） ； （2） ； （3） . 4.辅助角公式 ，其中 . 5.三角函数的单调性 （1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律 “同增异减”. （2）求形如 或 （其中 ）的单调区间时，要视“ ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果 ，那么一定先借助诱导公式将 化为 正数.（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 6.三角函数的奇偶性 对于 ，若为奇函数，则 ；若为偶函数，则 .对于 ，若为奇函数，则 ；若为偶函数，则 .对于 ，若为奇函数，则 . 7.三角函数的周期性 求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变换化为 或 或 （ 为常数， ）的形式，再应用公式 （正弦、余弦 型）或 （正切型）求解. 8.三角函数的对称性 函数 （ 为常数， ）图象的对称轴一定经过图象的最高 点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线 或点 是不是 函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验 的值进行. 9.正弦定理：在 中，角 的对边分别为 ，则 . 10.正弦定理的常见变形：（1） （边角互化）. （2） .其中， 为 外接圆的半径. （3） （边化角）. （4） （角化边）. 11.余弦定理：在 中，角 的对边分别为 ，则 ， ， . 12.余弦定理的推论： ， ， . 13.三角形的面积公式 （ 为 外接圆的半径）. 易错试题提升 1.已知 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 2.在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，且 ，则 ( )A. B. C. D. 3.扇面书画在中国传统绘画中由来已久.最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角 扇》.扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为 24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为 ，则该扇面画的面积约为( )( ) A.185 B.180 C.119 D.120 4.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 在 上单调递增，则 的最大值为( ) A. B. C. D.1 5.如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为 .若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则 当滚动的水平距离为 时，下列描述正确的是（参考数据： ）( ) A.点A在轮子的左下位置，距离地面约为B.点A在轮子的右下位置，距离地面约为 C.点A在轮子的左下位置，距离地面约为 D.点A在轮子的右下位置，距离地面约为 6.已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向 右平移 个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到函数 的图 象，若 在 上恰有3个零点，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知函数 ，若任意 ， 在 上有零点，则 的取值 范围为( ) A. B. C. D. 8.已知函数 ，其中 .若 在区间 上单调递增，则 的 取值范围是( )A. B. C. D. 9.（多选） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，若边BC的中线 ，则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. 的面积为 10.（多选）已知函数 （ ， ），将 的图像上所有点 向右平移 个单位长度，然后横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的 图像.若 为偶函数，且最小正周期为 ，则下列说法正确的是( ) A. 的图像关于 对称 B. 在 上单调递增 C. 的解集为 D.方程 在 上有3个解 11.已知 ，则 _____________.12.位于河北省承德避暑山庄西南十公里处 的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建 造的两座古塔增添了诸多神秘色彩.双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距 离.如图，在与两座山峰，山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖C的仰角是 ，看塔 尖B的仰角是 ，又测量得 ，若塔尖B到山脚底部D的距离为 米，塔尖 C到山脚底部E的距离为 米，则两塔塔尖之间的距离为________米. 13.已知 ，关于该函数有下列四个说法： ① 的最小正周期为 ； ② 在 上单调递增； ③当 时， 的取值范围为 ； ④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到. 以上四个说法中，正确的有为_________. 14.已知 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . （1）求A；（2）若 的面积为 ， ，点D为边BC的中点，求AD的长. 15.如图，在平面四边形ABCD中， ， ， . （1）当 ， 时，求 的面积； （2）当 ， 时，求 .答案以及解析 1.答案：D 解析： ， 故选：D. 2.答案：C 解析：由题意结合正弦定理可得 ，即 sin AcosBsinBcosAsin(AB)sin AcosBsinBcosA ，整理可得 ，由于 B(0,π) ，故 ，据此可得 ， ，则 .故选C. 3.答案：C 解析：设外弧长为 ，外弧半径为 ，内弧长为 ，内弧半径为 ，该扇面所在扇形的圆心角 为 ， 扇形的弧长为 ， ， ， 扇形的面积为 ， 该扇面画的面积为 ，故选：C. 4.答案：C 解析：将 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象. 因为 ，所以 . 因为 在 上单调递增，所以 ，得 ，所以 的最大值为 . 5.答案：A解析：已知轮子的半径 ，轮子滚动一周的水平距离为 ，又 ， ， ，又 （周）， ，故A在轮子的左下位 置. 可得轮子距地面距离 . 点A在轮子的左下位置，距离地面约为 .故选A. 6.答案：C 解析： 的最小正周期为T，由题图可得 ， ，所以 ， ， ，得 ， ，又 ，所以 ， 所以 .将 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图 象，再将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，得到 的图象， 故 .当 时， ， 因为 在 上恰有3个零点，所以 ，得 ，故选：C. 7.答案：C 解析：由 ，可得 ，令 ，因为任意 ， 在 上有零点， 则 在 上有解， 又因为 在 内有解的最短区间长度为 ， 所以 ，解得 .故选：C. 8.答案：A 解析：由题意得，函数 的增区间为 ，且 ， 解得 . 由题意可知： . 于是 ，解得 . 又 ，于是 .故选：A. 9.答案：ACD 解析：根据正弦定理，由，因为 ，所以 ，因此 .因为 ，所以 ，因此选项 A正确，选项B不正确； 因为 是中线，所以 . 或 （舍去）.因此 ，所以选项C正确； 的面积为 ，所以选项D正确，故选ACD. 10.答案：BCD 解析：将函数 的图像上所有点向右平移 个单位长度， 得到 ， 然后横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变， 得到 ， 若 最小正周期为 ，则有 ，得 ，又因为 为偶函数， 所以 ， 即 ， 又 ，所以 ， ， 故 ， ， 对于A， ，所以 的图像不关于 对称，A错误； 对于B，令 ，得 ， ， 当 时，函数 的单调递增区间为 ， 所以 在 上单调递增，B正确； 对于C，由 ，得 ，所以 ， 所以 ， 解得 ，C正确； 对于D， 等价于 ， 即 ，所以 ，所以 ，即 ， 又 ，故当 ，1，2时，可得 ， ， . 即方程 在 上有3个解，D正确. 故选：BCD. 11.答案： 解析：因为 ，所以 ， 所以 .故答案为： . 12.答案： 解析：在 中， 米， ，则 米. 同理，在 中， 米， 在 中， 米， 米， ， 由余弦定理，得 米. 故答案为： .13.答案：② 解析：因为 ，所以 的最小正周期为 ，故①不正确； 因为 ，令 ，而 在 上递增， 所以 在 上单调递增，故②正确； 因为 ，所以 ， ， 所以 ，故③不正确； 由于 ， 所以 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到，故④不正确. 故答案为：②. 14.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）因为 ， 所以由正弦定理可得 ，即 . 由余弦定理可得 ，又 ，所以 . （2）因为 ， 所以 ，即 ， 又 ，则 ，所以 ，所以 . 所以 ，所以 .在 中，由余弦定理可得 ，即 . 3 14 15.答案：（1）4 3 （2） 3 BC  2 △ABC 解析：（1）当 时，在 中，由余弦定理得 AC2  AB2 BC2 2ABBCcosABC ， 3 AC2 32 2cos 5 即 4 ，解得AC  5， ， 因为 ，则 ，又 ， 所以 的面积是 . （2）在 中，由正弦定理得 ，即 ，在 中，由正弦定理得 ，即 ， 则 ，整理得 ，而 ， 为锐角， 所以 .