文档内容
北京市西城区 2023—2024 学年度第一学期期末试卷
八年级数学
注意事项
1．本试卷共8页，共两部分，四道大题，26道小题．其中第一大题至第三大题为必做题，满
分100分．第四大题为选做题，满分 10分，计入总分，但卷面总分不超过 100分．考试时间
100分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，请将考试材料一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等．下列火纹图案中，可以看成轴对称图形的是（
）
A. B. C. D.
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系 中，点 关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在 中， ， ， 是 的角平分线．若点D到 的距离为3，则
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学科网（北京）股份有限公司的长为（ ）
A. 12 B. 7.5 C. 9 D. 6
6. 如果 ，那么代数式 的值为（ ）
A. B. C. 6 D. 13
7. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， （ ）， 且 ，则
点C的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在 中， ， ，点D，E是边 上的两个定点，点M，N分别是边 ，
上的两个动点．当四边形 的周长最小时， 的大小是（ ）．
A. 45° B. 90° C. 75° D. 135°
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 计算：（1） ______；（2） ______．
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学科网（北京）股份有限公司10. 若分式 有意义，则x的取值范围是______．
11. 计算： ______．
12. 如图， 为等腰三角形， ， ，连接 ， ．只需添加一个条件即
可证明 ，这个条件可以是______（写出一个即可）．
13. 如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼
成（无重叠、无缝隙）一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______（用含a，b的式子表示）．
14. 甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲 清点完这批图书的 ，乙加入清点剩余的
图书，两人合作 清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书
需要 h，则根据题意可列方程为______．
15. 在正三角形纸片 上按如图方式画一个正五边形 ，其中点F、G在边 上，点E、H分
别在边 、 上，则 的大小是______．
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学科网（北京）股份有限公司16. 如图，动点 与线段 构成 ，其边长满足 ， ， ．点 在
的平分线上，且 ，则 的取值范围是______， 的面积的最大值为______．
三、解答题（共68分，第17题8分，第18题11分，第19题8分，第20题7分，第21题9
分，第22题8分，第23题9分，第24题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 分解因式：
（1） ；
（2） ．
18. （1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
19. 如图，点C、D在 上， ， ， ， 、 相交于点G．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司20. 解方程： ．
21. 已知：如图， ．
求作：射线 ，使 ，且点C在直线 的下方．
作法：①在射线 上取一点P，过点P作射线 的垂线，与射线 相交于点M；
②在 的延长线上取一点N，使 ；
③以点O为圆心， 长为半径画弧，
为
再以点M 圆心， 长为半径画弧，两弧在直线 下方相交于点C；
④作射线 ．
所以射线 即为所求作的射线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 ， ．
∵ ， ，
∴ ．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．（ ）（填推理的依据）
∴ ．
∴ ，
即 ．
22. 阅读材料：
如果整数 ， 满足 ， ，其中 ， ， ， 都是整数，那么一定存在整数 ， ，
使得 ．例如， ， ， 或 ，
……
根据上述材料，解决下列问题：
（1）已知 ， ， 或 ，……若 ，则
；
（2）已知 ， （ ， 为整数）， ．若 ，求 （用含 ，
的式子表示）；
（3）一般地，上述材料中的 ， 可以用含 ， ， ， 的式子表示，请直接写出一组满足条件的 ，
（用含 ， ， ， 的式子表示）．
23. 在 中， ，点D在 的内部， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，线段 的延长线交 于点E，且 ．
①求 的度数；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，直接写出结果；
的
（2）如图2，点F在线段 延长线上，连接 交射线 于点M，且M为 的中点．求证：
．
24. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给
出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为 ，图形 关于直线l对称的图形记为 ，若图形
与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”．
例如，如图1，当 时，对于点 和第三象限角平分线 ，点P关于y轴的对称点是
，点 关于直线l的对称点 在射线 上，则点P是射线 的“双称图
形”．
已知点 ， ，图形N是以线段 为一边在直线 上方所作的正方形 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，直线l和正方形 如图2所示．
①在 ， ， 这三个点中，点 是图形N的“双称图形”；
②点 ， ， ， 是图形N的“双称图形”，求m的取值范围；
（2）若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围．
四、选做题（共10分，第25题4分，第26题6分）
的
25. 如图， 是等边三角形．点 是 延长线上 一个动点，连接 ，点 在 的垂直平分线
上，且 平分 ，连接 ， ，过点 作 于点 ．
（1）当 时， 的值为 ；
（2）给出下面四个结论：
①点 一定在 的垂直平分线上；
②点 一定是线段 的中点；
③当 时， ；
④点 运动过程中， 的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论 的序号是 ．
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学科网（北京）股份有限公司26. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， ，给出如下定义将点 与 的“变
倍距离”记为 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
例如，点 与 的“变倍距离” ．
已知点 ．
（1）若点 ， ，则 ， ；
（2）点D在y轴负半轴上，且 ，求点D 的坐标；
（3）点P，Q是第一、三象限角平分线上的两个动点（P与Q不重合），若 ，直
接写出t的取值范围．
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