文档内容
第3讲 抛体运动与圆周运动锁定主干知识
CONTENTS 01
探明高考考向
02
精研典型例题
03
拓展思维空间
04
提升关键能力
05锁定主干知识
目录目录探明高考考向
目录. （ 海南高考 题）如图，在跨越河流表演中，一人骑车以 ＝
1 2024· 3 v 25
0
的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为 ＝ 的河流落在河对岸平
m/s d 25 m
台上，不计空气阻力，重力加速度 ＝ ，则两平台的高度差 为
g 10 m/s2 h
（ ）
. . .
A 0 5 m √B 5 m
. .
C 10 m D 20 m
解析： 平抛运动 ＝ ， 正确。
h 5 m B
目录2 . （ 多选 ）（ 2024· 江西高考 8 题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处
向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，
轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为 ，末速度 沿 轴正方
x v v x
0
向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位
置 、竖直位置 、水平方向分速度 和竖直方向分速度 与时间 的关
x y v v t
x y
系，下列图像可能正确的是（ ）
√
√
目录解析： 由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向
上做匀速直线运动，即 为一定值，则有 ＝ ， 可能正确， 错误；
v x v t A C
x x
小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有 ＝ － ， ＝ － ，且
y v t gt2 v v gt
0y y 0y
1
最终减为 ， 错误， 可能正确。
v 0 B D
y 2
目录. （ 广东高考 题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为 的卷轴可
3 2024· 5 r
绕其固定的中心点 在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为
O l
的细管，管底在 点。细管内有一根原长为 、劲度系数为 的轻质弹
O k
簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为 、可视为质点的插销。当
m
2
以速度 匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若 过大，插销会卡进
v v
固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使
卷轴转动不停止， 的最大值为（ ）
v
√. .
A r B l
2 2
. .
C r D l
2 2
目录
解析： 由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为 ＝
Δx
，根据胡克定律有 ＝ ＝ ，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，
F kΔx
对插销，由弹簧的弹力提供向心力，有 ＝ ，对卷轴，有 ＝ ，联
F mlω2 v rω
2 2
立解得 ＝ ，故选 。
v r A
2
目录. （ 浙江 月选考 题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管
4 2024· 1 8
到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口
中心无阻挡地落到桶底边沿 。已知桶高为 ，直径为 ，则水离开出水
A h D
口的速度大小为（ ）
. .
A B
4 ℎ 2 2ℎ
（ ）
√. . （ ＋ ）
C D 1 D
2+1
2 2ℎ 2 2ℎ
目录解析： 设出水孔到水桶中心距离为 ，则 ＝ ，落到桶底 点时
x x v A x
0
2ℎ
（ ）
＋ ＝ ，解得 ＝ ，故选 。
v v C
0 0
2×2ℎ 2+1
2 2 2ℎ
目录精研典型例题
目录考点一 曲线运动 运动的合成与分解
. ：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向
1 合外力方向与轨迹的关系
与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的凹侧。
.
2 合力方向与速率变化的关系
. ：根据运动的实际效果分解。位移、速度、加速度的
3 运动的合成与分解
合成与分解都遵循平行四边形定则。
目录【例1】 （ 2023· 辽宁高考 1 题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨
迹如图中虚线所示，篮球所受合力 的示意图可能正确的是（ ）
F
目录答案：
A
解析：篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且
篮球的轨迹应向合力指向的一侧发生偏转，故 、 、 错误， 选项
B C D A
符合题意。
目录如图所示，套在光滑竖直杆上的物体 ，通过轻质细绳跨过光滑
【例2】 A
定滑轮与光滑水平面上的物体 相连接， 、 质量相同。现将 从与 等高
B A B A B
处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为 ，当细绳与竖直杆间的夹
g
角为 ＝ °时， 下落的高度为 ，此时物体 的速度大小为（ ）
θ 60 A h B
. .
A B
2 4
5 ℎ 5 ℎ
.
. D
C
ℎ
ℎ
2
目录答案：
A
解析：设物体 下落高度为 时，物体 的速度大小为 ，物体 的速度大小
A h A v B
A
为 ，此时有 ＝ ＝ ，物体 、 组成的系统机械能守恒，则有
v v 2v A B
B A ° B
cos60
＝ ＋ ，联立方程解得 ＝ ，故选 。
mgh m m v A
B
1 1 2
2 2
2 2 5 ℎ
目录考点二 抛体运动
1
.
平抛运动
（类平抛运动）
问题的求解方法
目录2
.
斜抛运动
（类斜抛运动）
的处理方法
（ ）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示）
1
速度： ＝ ，
v v cos θ
x 0
＝ －
v v sin θ gt
y 0
位移： ＝ ， ＝ － 。
x v cos θ·t y v sin θ·t gt2
0 0
1
（ ）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛
2
2
运动。
目录【例3】
（
多选
）（
2024·
福建福州模拟）在某次飞镖锦标赛中，飞镖先
后两次的抛出点在同一竖直线上的 、 两点，将飞镖沿水平方向抛出后，
A B
飞镖均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图乙中曲线 、 所示，飞镖扎在靶上
1 2
瞬间的速度与水平方向的夹角分别为 、 。已知 、 的竖直高度相
α β AB BO
同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
. 飞镖先后两次在空中的运动时间之比为 ∶
A 1
. 飞镖先后两次抛出时的初速度大小之比为 ∶
B 1
2
. ＝
C α 2β
2
. ＝
D tan α 2tan β
目录答案：
A D
解析：飞镖先后两次在空中做平抛运动，竖直方向有 ＝ ， ＝
2h g h
1
2
1
，则在空中的运动时间之比为 ∶ ＝ ∶ ，故 项正2 确 ；水平方向
g t t 1 A
1 2
1
2
有 ＝ ， ＝ ，飞镖先后两次抛出时的初速度大小之比为 ∶ ＝
x2 v t x v t v v
2 1 1 2 2 2 1 2
∶ ，故 项错误；轨迹为曲线 的飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向
1 B 1
的夹角2 的正切值为
tan α
＝ ，轨迹为曲线
2
的飞镖扎在靶上瞬间的速度与
1
1
水平方向的夹角的正切值为 ＝ ，则 ＝ ，故 项正确；设
tan β tan α 2tan β D φ
2
2
＝ ，根据二倍角公式 ＝ ，可知 ≠ ，故 项错误。
2β tan φ α 2β C
2tan
目录
2
1−tan 【例4】 （ 多选 ）（ 2024· 山东高考 12 题）如图所示，工程队向峡谷对岸
平台抛射重物，初速度 大小为 ，与水平方向的夹角为 °，抛出
v 20 m/s 30
0
点 和落点 的连线与水平方向夹角为 °，重力加速度大小取 ，忽
P Q 30 10 m/s2
略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（ ）
. 运动时间为
A 2 s
. 落地速度与水平方向夹角为 °
B 60
3
. 重物离 连线的最远距离为
C PQ 10 m
. 轨迹最高点与落点的高度差为
D 45 m
目录答案：
B D
解析：重物从 点运动到 点的过程，水平方向上有 ＝ °，竖直方
P Q x v tcos 30
0
向上有 ＝－ °＋ ，由几何关系有 ＝ °，联立解得重物的
y v tsin 30 gt2 tan 30
0
1
运动时间 ＝ ， 错误；结合 项分析可知，重物落地时的水平分速度
t 4 s A A v
2
x
＝ °，竖直分速度 ＝－ °＋ ，则 ＝ ＝ ，所以重
v cos 30 v v sin 30 gt tan θ
0 y 0
物的落地速度与水平方向夹角为 °， 正确；对重物从 点运动到 点的
60 B P Q
3
过程，垂直于 连线方向有（ °） ＝ °，解得重物离
PQ v sin 60 2 2gh cos 30
0 m
连线的最远距离 ＝ ， 错误；结合 项分析，竖直方向上有
PQ h 10 m C B
m
＝ ，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差 ＝ ， 正确。 2
2gy y 45 m D
m 3 m
目录【例5】
（
2024·
河北保定二模）在第
19
届杭州亚运会女子排球决赛中，
中国女排以 ∶ 战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。
3 0
如图所示，排球场的宽为 ，长为 ，球网高为 ，发球员在底线中点正上
d 2d
方的 点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的 点，
O E
4
＝ ，不计空气阻力，重力加速度大小为 ，下列说法正确的是（ ）
ED g
. 点距地面的高度为
A O
2
9
20
. 排球做平抛运动的时间为
B
. 排球击出时的速度大小为
C
. 排球着地时的速度大小为
D 2
目录
答案：
A
解析：排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为 ，显然 ＝ ＝ ，所
O'E
2
以排球在左、右场地运动的时间之比为 ∶ ，设排球做平抛运 ′ 动的时间为
1 2
1
，有 ＝ （ ） ， ＝ （ ） － （ ） ，解得 ＝ ， ＝ ，
3t H g 3t 2 g 3t 2 g 2t 2 H 3t
1 1 1 9 9
选项 正确 2， 错误；排 4 球 2 击出时的速 2 度大小 ＝ ＝ 20，选项 错 10 误；
A B v C
0
5
′
排球着地时的速度大小 ＝ ＝ ，3选 项 3错误。
v D
331
2
0
+ 2 90
目录考点三 圆周运动
.
1 解决圆周运动问题的主要步骤
目录.
2 求解竖直平面内圆周运动问题的思路
目录【例6】
（
多选
）（
2024·
广东三模）如图所示，配有转盘的中式圆餐桌
是我国的传统家具。质量为 的小碗（可视为质点）放在水平转盘边缘上
m
随转盘一起由静止缓慢加速转动，若小碗与转盘以及桌面间的动摩擦因数
均为 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘的半径为 ，餐桌的半径为
μ r
，重力加速度为 ，转盘与桌面的高度差不计，下列说法正确的是（ ）
R g
. 当转盘的角速度增至 时，小碗相对转盘开始滑动
A
. 小碗由静止到即将滑动的过程中，转盘对小碗做的功
B
2
为
μmgr
1
. 若 ＝ ，小碗最终会从桌面滑落
C R r
2
. 若小碗未滑离桌面，则 不会小于
D R r
2
5
2
目录答案：
B D
解析：小碗即将滑动时有 ＝ ＝ ，解得 ＝ ， ＝ ，故
μmg m mω2r v ω A
2
错误；根据动能定理可得 ＝ ＝ ，故 正确；小碗滑动后沿转盘
W mv2 μmgr B
1 1
边缘滑出，若未能滑到桌面边缘，根据牛顿第二定律可得 ＝ ，由 ＝
μmg ma x
2 2
＝ ＜ ＝ ，可知小碗不会从桌面边缘滑落，故 错误；小碗未
r r C
2
1
2 2
2 2 −
滑离桌面需满足 ≥ ＋ ＝ ，故 正确。
R r D
2
5
2
2 2
目录【例7】
（
2024·
山东青岛一模）很多青少年在山地自行车上安装了气门
嘴灯，夜间骑车时犹如踏着风火轮，格外亮眼。图甲是某种自行车气门嘴
灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示，弹簧一端固定，另一端与质量为
的小滑块（含触点 ）连接，当触点 、 接触，电路接通使气门嘴灯发
m a a b
光，触点 位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点 、 距离
b a b
为 ，弹簧劲度系数为 ，重力加速度大小为 ，自行车轮胎半径为 ，不
L g R
计开关中的一切摩擦，滑块和触点 、 均可视为质点。
a b
目录（ ）若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最
1
小速度；
答案：
解析： 只要气门嘴灯位于最高点时 、 接触即可保证全程灯
a b
3
亮，弹簧原长时 、 间的距离为 ＋ ＝
a b L 2L
气门嘴灯位于最高点时，对于小滑块，有 ＋ ＝
mg 2kL
2
解得满足要求自行车行驶的最小速度为 v ＝ 。
3
目录（ ）若自行车以 的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发
2
光时间。
2
答案：
π
解析：速度为 时轮子滚动的周期为 ＝ ＝
2 2 T
2π π
2 （ 2 ） 2
此速度下气门嘴灯所需的向心力为 ＝ ＝ ，
F m 2mg
n
2
2
此力恰好等于 、 接触时弹簧的弹力，即无重力参与向心力，对应
a b
与圆心等高的点，故当气门嘴灯位于下半圆周时灯亮，即 ＝ ＝
t
。
2
π
2 2 目录【例8】 （ 2024· 江西高考 14 题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动
装置带动转椅在雪地上滑动。如图 、 所示，传动装置有一高度可调的水
a b
平圆盘，可绕通过中心 点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘 处固定连接一轻
O A
绳，轻绳另一端 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与
B
圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ，不
μ g
计空气阻力。
目录（ ）在图 中，若圆盘在水平雪地上以角速度 匀速转动，转椅运动稳定
1 a ω
1
后在水平雪地上绕 点做半径为 的匀速圆周运动。求 与 之间
O r AB OB
1
夹角 的正切值。
α
答案：
2
1 1
目录解析： 对转椅受力分析，转椅在水平面
内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆
周运动所需的向心力，如图所示。
设转椅的质量为 ，则
m
转椅所需的向心力 ＝
F m r
n1 1
转椅受到的摩擦力 ＝ 2
f μmg
1
1
根据几何关系有 ＝
tan α
1
联立解得 ＝ 。 n1
tan α
2
1 1
目录（ ）将圆盘升高，如图 所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪
2 b
地上绕 点做半径为 的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为
O r
1 2
，绳子在水平雪地上的投影 与 的夹角为 。求此时圆盘的角
θ A B O B β
1 1
速度 。
ω
2
答案：
（ ＋ ）
sin cos
cos sin sin 2
目录解析：转椅在题图 情况下所需的向心力 ＝
b F m r
n2 2
转椅受到的摩擦力 ＝ 2
f μN
2
2 2
根据几何关系有 ＝
tan β
2
竖直方向上由平衡条件有 ＋ ＝
N Tcos θ mg
n2
2
水平面上有 ＝
f Tsin θsin β
2
联立解得 ＝ 。
ω
2
（ ＋ ）
sin cos
cos sin sin 2
目录拓展思维空间
目录.
1 解决三维空间中抛体运动的方法
（ ）明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓。
1
（ ）以抛出点为坐标原点，根据运动情境建立三维直角坐标系。
2
（ ）确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质。
3
（ ）依据已知条件，运动学公式找出各个坐标轴的位移、速度、加速
4
度大小。
（ ）利用合成与分解知识确定研究的问题。
5
（ ）注意：合成与分解思想要穿插在解题的各个环节中。
6
目录（ ）如图所示，某同学将离地 . 的网球以 的速
【典例1】 多选 1 25 m 13 m/s
度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离 . 。当网球竖直分速度为零
4 8 m
时，击中墙壁上离地高度为 . 的 点。网球与墙壁碰撞后，垂直于墙
8 45 m P
面速度分量大小变为碰前的 . 倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速
0 75
度 取 ，网球碰墙后的速度大小 和着地点到墙壁的距离 分别为
g 10 m/s2 v d
（ ）
. ＝ . ＝
A v 5 m/s B v 3 m/s
. ＝ . . ＝ .
C d 3 6 m D d 3 9 m
2
目录答案：
B D
解析：设网球飞出时的速度为 ，竖直方向 ＝ （ － ），代入数
v 2g H h
竖直
0
据得 ＝ （ ） ＝ ，则 ＝
v m/s 12 m/s v
2
0竖直 0水平
0
竖直
＝ ，网球水平方向到 点的距离 ＝ ＝ ＝ ，
m/s 5 m/s P x v t v · 62 m 2
水平 0水平 0水平
2 × 10 × 8.45 − 1.25 13 − 12
0
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直于墙面的速度分量 ＝ ×
v v
0水平 ⊥ 0水平
4
＝ ，平行墙面的速度分量 ＝ × ＝ ，反弹后，垂直于
4 m/s v v 3 m/s
0水平∥ 0水平
5
3
墙面的速度分量 ＝ . × ＝ ，则反弹后的网球速度大小
v ' 0 75 v 3 m/s
水平⊥ 0水平⊥
5
为 ＝ ＋ ＝ ，网球落到地面的时间 ＝ ＝
v 3 m/s t'
水平 水平 水平
2
2 2
⊥ 0 ∥
＝ . ， ′ 着 地点到墙壁 2 的距离 ＝ ＝ . ，故 、 正
s 1 3 s d v 't' 3 9 m B D
水平⊥
8 45×2
确，. 、 错误。
A C
10
目录.
2 解决斜面上圆周运动的临界问题的方法
在处理斜面上圆周运动的临界问题时，可能需要考虑物体在最高点
和最低点的受力情况，特别是当物体即将离开斜面或保持在斜面上
的瞬间。这时，摩擦力的作用尤为关键，因为它决定了物体是否能
保持在其位置上。通过仔细分析这些临界状态下的受力情况，可以
有效地解决这类问题。
目录（ ）某国家体育训练基地中有一台我国自主研发，世界
【典例2】 多选
首创的转盘滑雪训练机。运动员的某次训练过程可简化为如图所示的模
型，转盘滑雪训练机绕垂直于盘面的固定转轴以恒定的角速度转动，盘面
边缘处离转轴距离为 的运动员（可视为质点）始终相对于盘面静止。已知
r
运动员的质量为 ，运动员运动到最高点时恰好不受摩擦力，接触面间的
m
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为 ，重力加速度大
θ
小为 ，则下列说法正确的是（ ）
g
. 圆盘的角速度大小为
A
sin
. 运动员在最低点受到的摩擦力大小为
B 2mgsin θ
. 运动员与盘面间的动摩擦因数可能小于
C tan θ
. 若仅减小圆盘的转速，则运动员可能相对于圆盘滑动
D
目录答案：
A B
解析：运动员运动到最高点时恰好不受摩擦力，则有 ＝ ，解得
mgsin θ mω2r
圆盘的角速度大小为 ＝ ，故 正确；当运动员在最低点时受到的摩
ω A
sin
擦力最大，根据牛顿第二定律可得 － ＝ ，解得 ＝ ＋
f mgsin θ mω2r f mgsin θ
m m
＝ ，又 ＝ ＝ 可得运动员与盘面间的动摩擦因数
mω2r 2mgsin θ f μF μmgcos θ
m N
应满足 ≥ ，故 正确， 错误；若仅减小圆盘的转速，即角速度减
μ 2tan θ B C
小，运动员在最低点时有 ＝ ＋ ，可知随着角速度的减小，运
f ' mgsin θ mω2r
m
动员在最低点受到的静摩擦力减小，当角速度减小为 时，根据受力平衡
0
可知，摩擦力大小为 ＝ ＜ ＝ ，可知运动员不可能相对于
f mgsin θ f 2mgsin θ
m
圆盘滑动，故 错误。
D
目录提升关键能力
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
. （ 辽宁葫芦岛一模）在广东珠海举行的第十四届中国国际航空航
1 2024·
天博览会上，身披七彩祥云的“歼 ”惊艳亮相珠海上空。在起飞一
-20
段时间内，“歼 ”水平方向做匀速直线运动，竖直向上运动的 图
-20 v2-h
像如图所示，则地面上观众看到的“歼 ”运动轨迹正确的是（ ）
-20
√
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析： 根据题意可知“歼 ”水平方向做匀速直线运动，由 图
-20 v2-h
像可知竖直方向向上做匀速直线运动，得合运动为匀速直线运动，由速
度的合成得方向斜向上，故选 。
A
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
. （ 湖南岳阳预测）阴历正月十五放花灯，称为灯节，或称“元宵
2 2024·
节”。这一天，人们将制作好的花灯，点上蜡烛，放入河中漂流，供大
家欣赏。若河水各点流速与该点到较近河岸边的距离成正比，现将花灯
以一定速度垂直于河岸推出去，假设花灯垂直于河岸的速度不变，则花
灯到达对岸的运动路径正确的是（ ）
√
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析： 设垂直于河岸的速度为 ，河宽为 ，花灯与河岸的距离为
v 2d x
0
（ ≤ ），则花灯沿水流方向的速度为 ＝ ，垂直于水流方向有 ＝
x d v kx x
水
水
，则有 ＝ ＝ ＝ 可知，加速度为一恒定值，且推出花灯处
v t a kv
0 0
Δ 0Δ
的加速度方向沿水流方向，靠近对岸位置加速度方向与水流方向相反，
Δ Δ
故花灯在从推出位置到河中间的运动为类平抛运动，从河中间到对岸的
轨迹与该运动轨迹对称，根据加速度方向与合力方向相同，合力方向指
向轨迹凹侧可知 项符合要求。
B
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
. 如图所示，某人以不同速度向对面的山坡上水平抛出两个质量不等的石
3
块，分别落到 、 两处。不计空气阻力，则落到 处的石块（ ）
A B B
. 初速度大，运动时间短
A
√
. 初速度大，运动时间长
B
. 初速度小，运动时间短
C
. 初速度小，运动时间长
D
解析： 落到 处的石块下落的高度较小，根据 ＝ 知，运动时间
B h gt2
1
较短；根据初速度 ＝ 知，落在 处的石块水平位移大，运动时间短，
v B 2
0
则初速度较大。故选 。
A
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
. 、 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同时间内，它
4 A B
们通过的路程之比是 ∶ ，运动方向改变的角度之比是 ∶ ，则它们
4 3 3 2
（ ）
. 周期大小之比为 ∶
A 3 4
√. 向心加速度大小之比为 ∶
B 2 1
. 运动半径之比为 ∶
C 9 8
. 线速度大小之比为 ∶
D 3 4
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解析： 相同时间内运动方向改变的角度之比是 ∶ ，可知转过的角
3 2
度之比为 ∶ ，根据 ＝ 可知，角速度之比为 ∶ ，根据 ＝ 可知，
3 2 ω 3 2 T
2π
周期大小之比为 ∶ ，选项 错误；相同时间内，它们通过的路程之比
2 3 A
是 ∶ ，根据 ＝ ，可知线速度大小之比为 ∶ ，根据 ＝ 可知，向
4 3 v 4 3 a ωv
n
心加速度大小之比为 ∶ ，选项 正确， 错误；根据 ＝ 可知，运动
2 1 B D r
半径之比为 ∶ ，选项 错误。
8 9 C
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. 年 月 日是全国高考日，如图甲所示的是某地消防车为高考学子们
5 2024 6 7
准备的最高礼仪“过水门”，寓意着鲤鱼跃龙门，祝所有考生金榜题
名！其中一辆消防车喷出的水柱如图乙所示， 点为喷水口， 点为水
A B
柱与 等高点，水柱最高点到地面的距离为 ，不计空气阻力，下列说法
A h
正确的是（ ）
. 水在空中处于超重状态
A
. 越大，水在空中运动的时间越短
B h
. 不论 为多大，水在空中运动的时间相同
C h
. 水从 点运动到 点的时间为 点运动到最高点时间的 倍
√D A B A 2
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解析： 水柱中的水在空中处于失重状态， 错误；水柱最高点离
A
地越高，水在空中运动的时间越长， 、 错误；根据斜抛运动的对
B C
称性，可知水从 点运动到 点的时间为 点运动到最高点时间的
A B A 2
倍， 正确。
D
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6
. （
多选
）（
2024·
福建厦门三模）将扁平的石子向水面快速抛出，石子
可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。石子接触水面
时速度方向与水面的夹角越小，从水面跳起产生的“水漂”效果越明
显。将一石子水平抛出，不计石子在空中飞行时的空气阻力，为了观察
到明显的“水漂”效果，则应（ ）
. 适当增加出手的高度
A
√. 适当减小出手的高度
B
√C . 适当增加出手的速度
. 适当减小出手的速度
D
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解析： 令石子接触水面时速度方向与水面的夹角为 ，石子水平抛
θ
出的速度为 ，石子竖直方向做自由落体运动，则有 ＝ ，石子接触
v h gt2
0
1
2
水面时，有 ＝ ＝ ，解得 ＝ ，可知，出手高度越大，石
tan θ tan θ
2 ℎ
子接触水面时速度方向与水面的夹角越大，根据题意可知，为了观察到
0 0 0
明显的“水漂”效果，则应适当减小出手的高度，故 错误， 正确；
A B
结合上述可知，石子出手速度越大，石子接触水面时速度方向与水面的
夹角越小，可知，为了观察到明显的“水漂”效果，则应适当增加出手
的速度，故 正确， 错误。
C D
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. 有一竖直转轴，转轴上不同高度处的两点分别系有一长为 和 的细绳，
7 2l l
细绳另一端分别系有质量均为 的小球 和 ，与 球相连的绳子系得更
m A B A
高，将小球放置在光滑的水平桌面上，使小球随转轴一起转动，现逐渐
增大转轴的转速，直到两小球均离开桌面，则下列说法正确的是（ ）
. 球比 球先离开桌面
A B A
. 两球同时离开桌面
B
. 将与 球连接的绳子更换为 长，则 球将后离开桌面
C A 3l A
√D . 将与 A 球连接的绳子更换为 3l 长， A 球两次离开桌面时
的转速相同
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解析： 小球刚离开桌面时，设绳子与竖直方向夹角为 ，则
θ mgtan θ
＝ ，又 ＝ ，联立可得 ＝ ， 球绳子悬点更高，故 球先离
mω2R tan θ ω2 A A
开桌面，离开桌面时的角速度与绳长无关，故 、 、 错误， 正确。
A B C D
ℎ ℎ
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. 为加大生态环保力度，打赢污染防治攻坚战，某工厂坚决落实有关节能
8
减排政策，该工厂水平的排水管道满管径工作，减排前后，落水点距出
水口的水平距离分别为 、 ，则减排前后相同时间内的排水量之比是
x x
0 1
多少？
答案：
0
1
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解析：设水下落的高度为 ，则竖直方向有 ＝ ，故下落高度相同，
h h gt2
1
水流入下方的时间相同，水平方向有 ＝ ，减排前后出水口处水的流速
x vt
2
之比就等于水平位移之比，所以减排前后相同时间内的排水量之比就等
于水平位移之比，即为 。
0
1
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. （ 浙江温州三模）如图所示，将两小沙包 、 以不同的初速度分
9 2024· a b
别从 、 两处先后相差 . 水平相向抛出，同时落在水平面同一处，
A B 0 5 s
且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包 、 视为质点，并在同一竖
a b
直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
. 处比 处高 .
A A B 1 25 m
. 若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇
B
. 若已知 处高度和沙包 的下落时间，可求出 、 的
C B b A B
水平距离
√. 若已知 处高度和沙包 的初速度，可求出 、 的水
D A a A B
平距离
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解析： 设沙包 下落时间为 ，则沙包 下落时间为（ ＋ . ）， 处
b t a t 0 5 s A
比 处高为 ＝ （ ＋ . ） － ，由此可知 ＞ . ，故 错
B Δh g t 0 5 s 2 gt2 Δh 1 25 m A
1 1
误；根据平抛运动的轨迹可知，在落地前两沙包不会相遇，故 错误；
B
2 2
（ ）
由于速度方向与竖直方向夹角相等，则 ＝ ， 、 的水平距
A B
+0 5s
.
离为 x ＝ v t ＋ v （ t ＋ 0 . 5 s ），由此可知， 需要已 知 沙包的下落时间和初
b a
速度，平抛运动的下落时间与高度有关，故 错误， 正确。
C D
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. （ 辽宁大连二模） 年奥运会新增壁球运动项目。如图所示，
10 2024· 2028
运动员从 点将球斜向上击出，水平击中墙上 点反弹后又水平飞出，
A B
落到 点， 竖直， 三点在同一水平面上， 垂直于 。不计
C BB' AB'C B'C AC
空气阻力，球碰撞 点前后的速度大小分别为 、 ，球在 、 两段
B v v AB BC
1 2
运动时间分别为 、 ，则正确的是（ ）
t t
1 2
. ＝
A v v
1 2
. ＜
B v v
1 2
. ＞
C t t
1 2
√D . t ＝ t
1 2
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解析： 依题意，球在 段做斜抛运动，看成反方向的平抛运
AB
动，则有 ＝ ，球在 段做平抛运动，有 ＝ ，联立
h g BC h g
BB' BB'
1 1
2 2
解得 ＝ ，故 错误， 正确；球在 段水平方向，有 ＝ ，
t t C 1 D AB x 2 v t
1 2 2 2 A B' 1 1
球在 段水平方向，有 ＝ ，由图可知 ＞ ，联立解得
BC x v t x x v
CB' 2 2 AB' CB' 1
＞ ，故 、 错误。
v A B
2
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. （ 山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力
11 2024·
量和技巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度
L
＝ ，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到
6 m
点时斜向上跃起，到达右墙壁 点时，竖直方向的速度恰好为零，
M P P
点距离地面高 ＝ . ，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为
h 0 8 m
等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的 点， 点
Q P
与 点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为 ＝ . ，
Q H 2 05 m
重力加速度 取 ，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不
g 10 m/s2
变，如图乙所示，则：
（ ）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
1
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答案： .
3 6 m
解析： 跑酷爱好者到达右墙壁 点时，竖直方向的速度恰好
P
为零，根据逆向思维可知，从 点到 点的逆过程为平抛运动，
M P
则 ＝ ，从 点到 点的过程为斜抛运动，根据对称性可得
h g P Q H
1
2
1
2
－ ＝ ， ＝ ，解得 ＝ . ， ＝ ， ＝ ，跑酷
h g L v t t 0 4 s t 1 s v 6 m/s
0 2 1 2 0
2
1 2
爱好者助跑的距离为 ＝ － ＝ . 。
x L v t 3 6 m
2 2 0 1
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
2
答案：
m/s
61
解析：跑酷爱好者刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为 ＝
v
y
× ＝ ，跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小为 ＝
g 5 m/s v
2
＋ ＝ 。
2 m/s
2 2
0
61
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ）跑酷爱好者刚离开 点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是
3 P
多少？
答案：
6
解析： 跑5 酷爱好者刚离开 点时的速度方向与竖直方向夹角的
P
正切值为 ＝ ＝ 。
tan θ
0 6
5
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. 电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建
12
筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，
设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所
示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离 ＝ ，灭火弹出膛
L 60 m
速度 ＝ ，方向与水平面夹角 ＝ °，不计炮口离地面高度及
v 50 m/s θ 53
0
空气阻力，取重力加速度大小 ＝ ， °＝ . 。
g 10 m/s2 sin 53 0 8
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度 ；
1 H
答案：
60 m
解析： 灭火弹离开炮口后做斜抛运动，水平方向做匀速直
线运动，竖直方向上做竖直上抛运动。则灭火弹在水平方向上有
＝ °＝ ，
v v cos 53 30 m/s
x 0
灭火弹从离开炮口到击中高楼所用的时间
＝ ＝ ＝ ，
t s 2 s
60
在竖直方向上有 ＝ °＝ ，
v v sin 53 40 m/s
30 y 0
灭火弹击中高楼位置距地面的高度 ＝ － ，
H v t gt2
y
1
代入数据解得 ＝ 。
H 60 m
2
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ）已知电容器储存的电能 ＝ ，转化为灭火弹动能的效率 ＝
2 E CU2 η
1
％，灭火弹的质量为 ，电容 ＝ . × ，电容器工作
15 3 kg C 2 5 104 μF
2
电压 应设置为多少？
U
答案：
1 000 V
解析： 由题意可知 ＝ ，
2 ηE m
1
2
解得 ＝ ，
E 25 000 J
0
2
又 ＝ ，
E CU2
1
代入数据解得 ＝ 。
U 1 000 V
2
2
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
. 如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型， 段光滑曲面为加速滑道，
13 AB
段圆弧滑道为半径 ＝ 的姿态调整滑道，左侧与 段平滑连
BCD r 16 m AB
接，右侧与水平跳台 连接， 段为倾角 °的速降斜坡。质量为
DE EF 30 60
的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点 点时的速度
kg C
大小 ＝ ，经过 点时的速度大小为 ＝ ，运动员整个运动
v 20 m/s D v 15 m/s
1 2
过程的最高点 恰好在 点的正上方 ＝ . 处，最后落在斜坡上的
P E h 7 2 m Q
点。已知重力加速度为 ，不计空气阻力，速降斜坡足够长，
10 m/s2 sin
°＝ . ， °＝ . ，求：
37 0 6 cos 37 0 8
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（ ）运动员在 点时受到圆弧轨道的弹力；
1 C
答案： ，方向竖直向上
2 100 N
解析： 在 点，对运动员，由牛顿第二定律有 － ＝
C F mg
N
2
1
解得 ＝
F 2 100 N
N
即运动员在 点时受到圆弧轨道的弹力大小为 ，方向竖直
C 2 100 N
向上。
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ）水平平台 的长度；
2 DE
答案： .
10 8 m
解析：设运动员在由 点飞出时速度与水平方向成 角，从 点运
D α D
动到 点的过程中，竖直方向有（ ） ＝ ， ＝
P v sin α 2 2gh v sin α gt
2 2 1
水平方向有 ＝
x v t cos α
DE 2 1
解得 ＝ °， ＝ . 。
α 53 x 10 8 m
DE
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ）经过 点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
3 P
答案：
m
171 3
解析：运动到 点的速度 ＝
P v v cos α
40
P 2
对其垂直于斜坡方向分解 ＝ ， ＝
v v sin θ a gcos θ
y P y
当垂直于斜坡方向上的速度减为 时，距离斜坡最远，由几何关
0
系可知 ＝ ＋
d hcos θ H
其中 ＝
2a H
y
2
解得 ＝ 。
d m
171 3
40
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
. 单板滑雪 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所
14 U
示的模型： 形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中
U
央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为 . °。某次练习过程中，运
17 2
动员以 ＝ 的速度从轨道边缘上的 点沿轨道的竖直切面
v 10 m/s M ABCD
M
滑出轨道，速度方向与轨道边缘线 的夹角 ＝ . °，腾空后沿轨
AD α 72 8
道边缘的 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质
N
点，不计空气阻力，取重力加速度的大小 ＝ ， . °＝
g 10 m/s2 sin 72 8
. ， . °＝ . 。求：
0 96 cos 72 8 0 30
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ）运动员腾空过程中离开 的距离的最大值 ；
1 AD d
答案： .
4 8 m
解析： 在 点，设运动员在 面内垂直于 方向的分
M ABCD AD
速度为 ，由运动的合成与分解规律得 ＝ . ° ①
v v v sin 72 8
1 1 M
设运动员在 面内垂直于 方向的分加速度为 ，由牛顿第
ABCD AD a
1
二定律得 . °＝ ②
mgcos 17 2 ma
1
由运动学公式得 ＝ ③
d
2
1
联立①②③式，代入数据得 ＝ . ④
d 4 8 m
2 1
目录1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
（ ） 、 之间的距离 。
2 M N L
答案：
12 m
解析：在 点，设运动员在 面内平行 方向的分速度为 ，
M ABCD AD v
2
由运动的合成与分解规律得
＝ . ° ⑤
v v cos 72 8
2 M
设运动员在 面内平行 方向的分加速度为 ，由牛顿第二
ABCD AD a
2
定律得 . °＝ ⑥
mgsin 17 2 ma
2
设腾空时间为 ，由运动学公式得 ＝ ⑦
t t
2 1
＝ ＋ ⑧
L v t a t2
1
2 2
1
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得 ＝ ⑨
L 12 m
2
目录
