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北京市第十三中学分校初三 5 月月考试题
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A B. C. D.
.
2. 年 月 日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 摇十七运载火箭在酒泉卫星发射中心成功
发射．长征二号 （代号： ，简称：长二 ，绰号：神箭）主要用于发射神舟飞船和大型目标
飞行器到近地轨道，其近地轨道运载能力是 千克．将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线 ，直线 与 分别交于点 ，过点 作 于点 ．若 ，则
的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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7. 不透明的袋子中装有两个红球和一个绿球，除颜色外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放
回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图， ， 是 内部的射线且 ，过点 作 于点
，过点 作 于点 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ．
设 ，给出下面三个结论：
① ；
② ；
③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．
10. 分解因式： __________．
11. 如图，在 中，点 在 上且 ， 与 交于点 ．若 ，则 的长
为____________．
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12. 方程 的解为____________．
13. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 _____
（填“ ”“ ”或“ ”）．
14. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为_________．
15. 如图， 是 的直径， 是 延长线上一点， 与 相切于点 ．若 ，则
_________ ．
16. 小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究：
将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去
掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张
纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下
第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第________张纸牌；将m张纸牌摞起来，
按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 ________（用含n的代数式表示，其中n为自然
数）．
三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21-22题，每题5分，第23-
24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
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18 解不等式组： ．
.
19. 已知 ，求代数式 的值．
20. 如图，在平行四边形 中，点 在 的延长线上， ． 的中点为
的中点为 ，连接 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接 ，若 ， ，求 的长．
21. 每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．
某数学兴趣小组测量北京站钟楼 的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底
部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为 的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，
其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点
C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设 的长为x米， 的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高 直杆影
的
度 长
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长
第一
1.0 0.6 15.8
次
第二
1.0 0.7 20.1
次
（1）由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
（2）该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得 ，则钟楼的高度约为______米．
22. 在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ，与过点
且平行于 轴的直线交于点 ．
（1）求该函数的表达式及点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于
，直接写出 的取值范围．
23. 种子被称作农业的“芯片”，粮安天下，种子为基．农科院计划为某地区选择合适的甜玉米种子，随
机抽取20块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位： ），并对数据（每公顷
产量）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．20块试验田每公顷产量的频数分布表如下：
频
每公顷产量
数
3
2
6
5
b．试验田每公顷产量在 这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59
c． 20 块试验田每公顷产量的统计图如下：
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（1）写出表中 的值；
（2）随机抽取的这20块试验田每公顷产量的中位数为______．
（3）下列推断合理的是______（填序号）；
的
①20块试验田 每公顷产量数据中，每公顷产量低于 的试验田数量占试验田总数的 ；
②3号试验田每公顷产量在20块试验田的每公顷产量数据中从高到低排第5名．
（4） 号试验田使用的是甲种种子，11~20号试验田使用的是乙种种子，已知甲、乙两种种子的每公
顷产量的平均数分别为 及 ，若某种种子在各试验田每公顷产量的10个数据的方差越小，则
认为这种种子的产量越稳定．据此推断：甲、乙两种种子中，这个地区比较适合种植的种子是______（填
“甲”或“乙”）．
的
24. 如图，过 外一点 作 切线，切点为点 ， 为 的直径，点 为 上一点，且
，连接 ， ，线段 交直径 于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 半径的长．
25. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升
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到距离地面 处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻
力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为 ， （单位： ），科研人员收集了 ， 随时间x
（单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示．
（1）根据 ， 随 的变化规律，从 ① ；② （ ）；③
中，选择适当的函数模型，分别求出 ， 满足的函数关系式；
（2）当 时，小钢球和无人机的高度差最大是 ．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ．
（1）当抛物线过点 时，求抛物线的解析式；
（2）若抛物线上存在两点 和 ，若对于 ， ，都有 ，求b
的取值范围．
27. 在 中， ， ， 为 的中点，D为线段AM上的动点（不与点 ， 重
合），过点 作 ，且 ，连接 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，求证： 是 的中点；
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（2）当 位于图2位置时，连接 ，过点 作 ，交 于点 ．用等式表示线段 与
的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，对于 和线段 给出如下定义：如果线段 上存在点P，Q，使得
点P在⊙G内，且点Q在 外，则称线段 为 的“交割线段”．
（1）如图， 的半径为2，点 ．
①在 的三条边 中， 的“交割线段”是 ；
②点M是直线 上的一个动点，过点M作 轴，垂足为N，若线段 是 的“交割线段”，
求点M的横坐标m的取值范围；
（2）已知三条直线 ， ， 分别相交于点D，E，F， 的圆心为 ，半径为
2，若 的三条边中有且只有两条是 的“交割线段”，直接写出 的取值范围．
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