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2020 北京通州初三（上）期末数学
一、选择题
1. 如图，已知Rt ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，
△
则sinA的值为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可．
【详解】∵∠C=90°，BC=3，AC=4
∴ ，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可．
2. 抛物线 的对称轴为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．
【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数 y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线
x=h．
3. 如图，在 中， ，则 的长度为
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件得到 ，根据相似三角形的判定和性质可得 ，即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
,
∴ ,
∴BC=4.
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似基本图形掌握相似三角形的判定与性质是解题关
键．4. 如图，将 沿着弦 翻折，劣弧恰好经过圆心 .如果半径为4，那么 的弦 长度为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB弧于C，根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，根据垂径
定理及勾股定理即可求出AD的长，进而求出AB的长．
【详解】解：如图，过O作OC⊥AB于D，交折叠前的AB弧于C，
根据折叠后劣弧恰好经过圆心O，那么可得出的是OD=CD=2，
直角三角形OAD中，OA=4，OD=2，
∴AD=
∴AB=2AD= ,
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合运用，利用好条件：劣弧折叠后恰好经过圆心O是解题的
关键．
5. 如图， ，如果增加一个条件就能使结论 成立，那么这个条件可以是A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出∠DAE=∠BAC，根据选项条件判定三角形相似后，可得对应边成比例，再把比例式化为等
积式后即可判断．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
故本选项错误；
B、∵ ，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，
∴ ，
故本选项错误；
C、∵ ，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，∴ ，
∴ ，
故本选项错误；
D、∵∠DAE=∠BAC， ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，比例式化等积式，特别要注意确定好对应边，不要
找错了．
6. 在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点(1,3)，则 的值可以为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点(1,3)代入 中即可求得k值.
【详解】解：把x=1，y=3代入 中得
，
∴k=3.
故选：B.【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键.
7. 在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上，点A关于y轴的对称点B在双曲线
上，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点A（a，b）在双曲线 上，可得ab=-2，由点A与点B关于y轴的对称，可得到点B的
坐标，进而求出k，然后得出答案．
【详解】解：∵点A（a，b）在双曲线 上，
∴ab=-2；
又∵点A与点B关于y轴对称，
∴B（-a，b）
∵点B在双曲线 上，
∴k=-ab=2；
∴ =2-2=0
故选：B
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征．
8. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ，y是关于 的二次函数，
抛物线 经过点 .抛物线 经过点 抛物线 经过点 抛物线 经过点
则下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；
②当 时，四条抛物线表达式中的 均随 的增大而增大；
③抛物线 的顶点在抛物线 顶点的上方；
④抛物线 与 轴交点在点 的上方.
其中正确的是
A. ①②④ B. ①③④
C. ①②③ D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据BC的对称轴是直线x=1.5, 的对称轴是直线x=1，画大致示意图，即可进行判定.
【详解】解：①由 可知，四条抛物线的开口方向均向下，
故①正确；
② 和 的对称轴是直线x=1.5, 和 的对称轴是直线x=1,开口方向均向下,所以当 时，四条抛物
线表达式中的 均随 的增大而增大，
故②正确；
③ 和 的对称轴都是直线x=1.5，D关于直线x=1.5的对称点为(-1,-2)，而A点坐标为(-2,-2),可以判断
比 更陡，所以抛物线 的顶点在抛物线 顶点的下方，
故③错误；
④ 的对称轴是直线x=1, C关于直线x=1的对称点为(-1,3)，可以判断出抛物线 与 轴交点在点 的上
方，
故④正确.故选：A.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据对称点找到对称轴是解题的关键，充分运用数形结合的
思想能使解题更加简便.如果逐个计算出解析式，工作量显然更大.
二、填空题
9. 抛物线 的顶点坐标为________.
【答案】（-1,0）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴顶点坐标为：（-1,0），
故答案是：（-1,0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握．
10. 写出一个过原点的二次函数表达式，可以为____________.
【答案】y=2x2
【解析】
【分析】抛物线过原点，因此常数项为0，可据此写出符合条件的二次函数的表达式.
【详解】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）；
∵抛物线过原点（0，0），
∴c=0；
当a=2，b=0时，y=2x2．
故答案是：y=2x2．（答案不唯一）
【点睛】主要考查了二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系．要求掌握二次函数的性质，并会利用
性质得出系数之间的数量关系．
11. 如图，在 中，A，B，C是 上三点，如果 ，那么 的度数为________.
【答案】37°【解析】
【分析】根据圆周角定理直接得到∠ACB=35°．
【详解】解：根据圆周角定理有∠ACB= ∠AOB= ×74°=37°；
故答案为37°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
12. 如图，根据图示，求得 和 的值分别为____________.
【答案】4.5，101
【解析】
【分析】证明 ，然后根据相似三角形的性质可解.
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴AC=4.5，y=101.
故答案是：x=4.5，y=101.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，要熟悉相似三角形的各种判定方法，关键在找角相等以及
边的比例关键.
13. 如图，在 中， 则AB的长为________（用含α和b的代数式表示）
【答案】 .
【解析】
【分析】根据余弦函数的定义可解.
【详解】解：根据余弦函数的定义可知 ,
所以AB= .
故答案是： .
【点睛】本题考查了三角函数的定义，牢记定义是关键.三角函数的定义是本章中最重要最基础的知识点，
一定要掌握.
的
14. 如图, 是以点 为圆心 圆形纸片的直径，弦 于点 , .将阴影部分
沿着弦 翻折压平，翻折后，弧 对应的弧为 ，则点 与弧 所在圆的位置关系为____________.
【答案】点在圆外
【解析】
【分析】连接OC，作OF⊥AC于F，交弧 于G，判断OF与FG的数量关系即可判断点和圆的位置关系.
【详解】解：如图，连接OC，作OF⊥AC于F，交弧 于G，
∵ ，
∴OA=OB=OC=5,AE=7,OE=2,
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∵OF⊥AC，
∴CF= AC,
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴点 与弧 所在圆的位置关系是点在圆外.
故答案是：点在圆外.【点睛】本题考查了点和圆位置关系，利用垂径定理进行有关线段的计算，通过构造直角三角形是解题的
关键.
15. 已知关于 的二次函数 的图象如图所示，则关于 的方程 的根为
__________
【答案】0或-3
【解析】
【分析】求关于 的方程 的根，其实就是求在二次函数 中，当 y=4时x的值
据此可解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-1.5，
∴抛物线与y轴的交点为（0，4）关于对称轴的对称点坐标是（-3，4），
∴当x=0或-3时，y=4,即 =4，即 =0
∴关于x的方程ax2+bx =0的根是x=0，x=-3．
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故答案为：x=0，x=-3．
1 2
【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，能根据题意利用数形结合把求出方程的解的问题
转化为二次函数的问题是解答此题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，以点 为圆心画圆，与 轴交于 ；两点，与 轴交于
两点，当 时， 的取值范围是____________.【答案】
【解析】
【分析】作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC.当CD=6和CD= 时在 中求出半径
MC,然后在 中可求 的值，于是范围可求.
【 详 解 】 解 ： 如 图 1 ， 当 CD=6 时 ， 作 ME⊥CD 于 E ， MF⊥AB 于 F ， 连 接 MA 、 MC ，
∵ ，
∴ME=4,MF=3,
∵ME⊥CD, CD=6,
∴CE=3,
∴ ,∴MA=MC=5,
∵MF⊥AB,
∴ = = ,
如图2，当CD= 时，作ME⊥CD于E，MF⊥AB于F，连接MA、MC，
∵ ，
∴ME=4,MF=3,
∵ME⊥CD, CD= ,
∴CE= ,
∴ ,
∴MA=MC=8,
∵MF⊥AB,
∴ = = ,
综上所述，当 时， .
故答案是： .
【点睛】本题考查了三角函数在坐标系和圆中的应用，作辅助线构造直角三角形利用垂径定理求出半径是
解题的关键.
三、解答题17. 计算： .
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可
【详解】原式=
【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18. 如图，在 中， 于点 .若 ，求 的值.
【答案】
【解析】
【分析】（1）要求 的值，应该要求CD的长.证得∠A=∠BCD，然后有tanA= tan∠BCD，表示出两
个正切函数后可求得CD的长，于是可解.
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴tanA= tan∠BCD，
∴ ,
∴ ,∴CD= ,
∴tanA= .
【点睛】本题考查了直角三角形三角函数的定义，利用三角函数构建方程求解有时比用相似更简便更直接．
19. 把二次函数表达式 化为 的形式.
【答案】
【解析】
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完
全平方式即可．
【详解】解：
=x2-4x+4-4+c
=（x-2）2+c-4，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x）（x-x）．
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20. 如图，在正方形网格上有 以及一条线段 .请你以 为一条边.以正方形网格的格点为顶点画
一个 ，使得 与 相似，并求出这两个三角形的相似比.【答案】图见解析， 与 的相似比是 .
【解析】
【分析】可先选定BC与DE为对应边，对应边之比为1:2，据此来选定点F的位置，相似比亦可得.
【详解】解：如图， 与 相似.
理由如下：
由勾股定理可求得， ,BC=2, ; ,DE=4, ,
∴ ,
∴ ∽ ，相似比是 .
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用网格得出三角形各边长度是解题关键．
21. 已知某二次函数图象上部分点的横坐标 、纵坐标 的对应值如下表.求此函数表达式.
【答案】
【解析】
【分析】观察图表可知，此二次函数以x=1为轴对称，顶点为（1，4），判断适合套用顶点式y=a（x-h）
2+k,得到 ，再将除顶点外的任意已知点代入，如点（-1，0），得 a = -1.故所求函数表达式
为
【详解】解：观察图表可知，当x=-1时y=0，当x=3时y=0，∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∴设 ，
∵当x=-1时y=0，
∴ ，
∴ =-1，
∴ .
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，这类问题首先应考虑能不能用简便方法即能不能
用顶点式和交点式来解，实在不行用一般形式.此题能观察确定出对称轴和顶点的坐标是关键.
22. 将矩形纸片 沿 翻折，使点 落在线段 上，对应的点为 ，若
，求 的长.
【答案】10
【解析】
【分析】设 ，根据三角函数表示出其它线段，最终表示出BE、AB，然后在三角形ABE中根据勾
股定理即可求出AB.
【详解】解： ∵ 是矩形，沿 翻折
∴ ，BE=EF，∠AFE=∠B=∠D = ，
∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC= ,
∴∠DAF=∠EFC,
∴ ,设 ，则
∴ ,
∴ ,
∴AD=8k，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∴ ,
∴ .
【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数的定义以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握
折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
23. 如图:在平面直角坐标系 中，点 .
(1)尺规作图:求作过 三点的圆;
(2)设过 三点的圆的圆心为M，利用网格，求点M的坐标;
(3)若直线 与 相交，直接写出 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）M(1,3)；（3）
【解析】
【分析】(1) 作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，据此作圆即可；
(2)AB的中点即为圆心M，由此可解；
(3)求出半径，即可知直线 与 相切时a的值，由此可得相交时 的取值范围.
【详解】解：(1) 如图即为所要求作的过 三点的圆；
作OA和OB的垂直平分线，交点即为圆心，作圆即可.
(2) 由图可知， ∠AOB= ，所以AB是所求作圆的直径，
因为AB中点的坐标为(1,3),
即所求圆心M的坐标是(1,3).
（3）由圆心M和圆上任意点可求出半径r=AM=BM= ，
∴当a=1- 或1+ 时，直线 与 相切，∴当 时，直线 与 相交.
【点睛】本题考查了网格作图，圆的有关性质，直线与圆的位置关系，掌握切线时的有关计算是解题的关
键.
24. 已知：点 和 是一次函数 与反比例函数 图象的两个不同交点，点 关于
轴的对称点为 ，直线 以及 分别与 轴交于点 和点 ．
（1）求反比例函数 的表达式；
（2）若 ，求 的取值范围。
【答案】（1）y＝ ；（2）k≥2或k≤-10．
【解析】
【分析】（1）将点A（-1，-4）代入反比例函数 ，即可求解；
（2）根据反比例函数和一次函数的图象，分两种情况进行讨论当P在第一象限或第三象限时，即可得k的
取值范围．
【详解】解：（1）将点A（-1，-4）代入反比例函数 ，
得m=4，所以y＝ ；
（2）当P在第一象限时，当PP′≥ MN时,过点A作AC⊥PP’于点C，交x轴于点B，如图1
∵MN∥PP′，AC⊥MN
∴△AMN∽△APP'
∴
得P（2，2），
直线AP表达式为y=2x-2，
当PP′≥ MN时，k≥2；
当P在第三象限时，如图2,当PP′≥ MN时,过点A作AC⊥P P′于点C，交x轴于点B，∵MN∥PP′，AC⊥MN，
∴ AMN∽△A PP′,
△
∴ ,
∴AC=6,
∴点P的纵坐标是-10，
把y=-10，代入y＝ 中得x=- ,
∴P的坐标为（- ，-10），
一次函数的解析式为y=-10x-14,
当PP′≥ MN时k≤-10．
所以k的取值范围是：k≥2或k≤-10．
【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用函
数图象解答．
25. 如图，在钝角 中，点 为 上的一个动点，连接 ，将射线 绕点 逆时针旋转 ，
交线段 于点 . 已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离
ycm.小牧根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，
请补充完整:
(1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是 ；
(2)通过取点、画图、测量，得到了 与 的几组值，如下表:
.
0 51 1.02 1.91 3.47 3 4.16 4.47
.
3 97 3.22 2.42 1.66 a 2.02 2.50
通过测量。可以得到a的值为 ；
(3)在平而直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为 cm.
【答案】（1）0≤x ≤5；（2）1.74；（3）见解析；（4）0.8或者4.8.
【解析】
【分析】（1）考虑点P的临界位置∠APB=60°时，D与B重合，计算出此时的PB长，即可知x的取值范
围；
（2）根据图形测量即可；
（3）描点连线即可；
（4）画直线y=3.5与图象的交点即可观察出x的值.
【详解】 （1）如图1，当∠APB=60°时，D与B重合，作PE⊥AC于E，∵∠C=30°，∠APB=60°，
∴∠CAP=30°,
∴PC=AP，
∴CE=AE= ,
∴PC=2,
∴PB=5,
∴0≤x ≤5 ；
（2）测量得a=1.74；
（3）如下图所示，
（4观察图象可知，当y=3.5时 x=0.8或者4.8.
【点睛】本题考查了旋转 的性质、等腰三角形的性质以及描点法画函数图象，利用图象求近似值，体
现了特殊到一般，再由一般到特殊的思想方法.
26. 在平面直角坐标系 中，存在抛物线 以及两点 和 .
(1)求该抛物线的顶点坐标;
(2)若该抛物线经过点 ，求此抛物线的表达式;
(3)若该抛物线与线段 只有一个公共点，结合图象，求 的取值范围.【答案】（1）（0,2）；（2） ；（3）m=2或 .
【解析】
【分析】（1） 是顶点式，可得到结论；
（2）把A点坐标代入 得方程，于是得到结论；
（3）分两种情况：当抛物线开口向上或向下时，分别画出图形，找到临界位置关系，求出 m的值，再进
行分析变化趋势可得到结论．
【详解】（1） 是顶点式，顶点坐标为 ；
（2）∵抛物线经过点 ，
∴m=9m +2，
解得： ，
∴
(3)如图1，当抛物线开口向上时，抛物线顶点在线段 上时， ；
当m>2时，直线x=1交抛物线于点（1，m+2）,交点位于点B上方，所以此时线段 与抛物线一定有两
个交点，不符合题意；
如图2，当抛物线开口向下时，抛物线顶过点 时， ；直线x=-3交抛物线于点（-3，9m+2）,当 时，9m+2
