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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
通州区 2023—2024 学年第一学期九年级期中质量检测
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个．
1. 下列各组种的四条线段成比例的是（ ）
A. 3cm、5cm、6cm、9cm B. 3cm、5cm、8cm、9cm
C. 3cm、9cm、10cm、30cm D. 3cm、6cm、7cm、9cm
2. 抛物线 的顶点坐标为（ ）
.
A （－1，2） B. （1，2） C. （1，－2） D. （2，1）
3. 如图所示，点��，��分别在 ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB=2：1，那么AE：AC
等于（ ） △
A. 2：1 B. 2：5 C. 2：3 D. 3：5
4. 将抛物线 向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图， 与 相交于点O，
，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
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A. 0.4 B. 0.8 C. 1 D. 1.6
6. 如图，已知 是 的边 上一点，根据下列条件，不能判定 的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若二次函数 的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数 的自变量x的取值范围为全体实数，其中 部分的图象如图所示，对于此函数
有下列结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当 时，y随x的增大而减小；
④当 时，关于x的方程 有4个实数根；
其中正确的结论个数是．（ ）
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
.
9 若 ，则 ______．
10. 请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式__________．
11. 两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为_____．
12. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推
广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做 将矩形窗框 分为上下两部分，其中E为边
的黄金分割点，即 ．已知 为2米，则线段 的长为______米．
13. 如图，抛物线 的对称轴为 ，点 ，点 是抛物线与 轴的两个交点，若点 的
坐标为 ，则点 的坐标为________.
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14. 点 ， 为抛物线 上两点，则 ______ ．（用“ ”或“ ”号连
接）
15. 如图， 中， ， ， ， ，则 的长为______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为
，点P在矩形 的内部，点E在 边上，且满足 ，当 是等腰三角形
△
时，点P的坐标为___________．
三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；
第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 已知一条抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求抛物线的表达式．
18. 如图， 的高 ， 相交于点O．
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（1）写出一个与 相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；
（2）请任选一对进行证明．
19. 已知抛物线 ．
（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
在
（2） 平面直角坐标系 中画出函数图象．
的
20. 如图，小明同学用自制 直角三角形纸板 测量树 的高度，他调整自己的位置，设法使斜边
保持水平，并且边 与点 在同一直线上．已知纸板的两条直角边 ， ，测
得边 离地面的高度 ， ，求树 的高度．
21. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；
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（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
22. 已知二次函数 在 和 时的函数值相等．
（1）求二次函数 图像的对称轴；
（2）过 作x轴的平行线与二次函数 的图像交于不同的两点M、N．当 时，
求b的值．
23. 已知：如图， ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB：AC＝AE：AD，判断BE与BD的数
量关系并证明． △
24. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳
子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点
所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对
应的抛物线表达式为 ．
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
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（2）身高 的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
25. 如图，在等腰三角形 中， ，D是 边上的一个动点，（不与B、C重
合）在 边上取一点E，使 ．
（1）求证： ；
（2）设 ，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围
26. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤 元的价格销售，平均每天可售出
公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加 公斤，为了尽快减少库存，该水
果商决定降价销售．
（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为______元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？
27. 已知抛物线 ．
的
（1）求抛物线 顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点 ， 在该抛物线上，若 ，求a的取值范围．
28. 定义：两个相似三角形共边且位于一个角的角平分线两边，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
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（1）[初步理解]如图1，四边形 中，对角线 平分 ， ，求证：
和 为叠似三角形．
（2）[尝试应用]在（1）的基础上，如图2，若 ， ， ，求四边形 的周长．
（3）[拓展提高]如图3，在 中，D是 上一点，连接 ，点E在 上，且 ，F为
中点，且 ．若 ， ，求 的值．
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