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2023 年高考押题预测卷 02
数学（天津卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共 45 分）
一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合
题目要求．
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（ ）
A．任意一个奇数是素数 B．存在一个偶数不是素数
C．存在一个奇数不是素数 D．任意一个偶数都不是素数
【答案】D
【详解】由于存在量词命题 ，否定为 .所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.
故选：D
3．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布 ，已 ，则
的学生人数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】D
【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布 ，所以期末考试数学成绩关于 对称，
则 ，所以 ，
所以 的学生人数为： 人.
故选：D.
4．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ， ， ，
又 ，
因为函数 ，在 上单调递减，且 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
，即 ．
故选：C．
5．已知双曲线 的焦点为 ， ，抛物线 的准线与 交于M，N两点，且 为正三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 的准线方程为 ，经过点 ，
中，令 得 ，解得 ，
故 ，
因为 为正三角形，所以 ，
即 ，联立 ，解得 ，
方程两边同时除以 得 ，解得 或 （舍去），
故双曲线 的离心率为 .
故选：A
6．设数列 的前n项和为 ，且 ， ，则数列 的前10项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 得 ，
当 时， ，
整理得 ，
所以 是公差为4的等差数列，又因为 ，所以 ，从而 ，
所以 ，
所以数列 的前10项和为 ．
故选：C
7．已知函数 ， ，下列命题中：
① 的最小正周期是 ，最大值是 ；
② ；
③ 的单调增区间是 （ ）；
④将 的图象向右平移 个单位得到的函数是偶函数，
其中正确个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】 .
对于①， ，
因为 ，所以 的最大值为 ，故①正确；
对于②，
，故②正确；对于③，由 可得，
，
所以， 的单调增区间是 （ ），故③正确；
对于④，将 的图象向右平移 个单位得到的函数为
，
，故④错误.
综上所述，①②③正确.
故选：C.
8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的
正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正四棱锥的高为 ，底面边长为 ，侧面三角形底边上的高为 ，则
由题意可知， ，
因此有
，即 ，解得 ，
因为 ，所以 .
所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
故选：D.
9．已知函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
①函数 有两个极值点；
②若关于 的方程 恰有1个解，则 ；
③函数 的图象与直线 （ ）有且仅有一个交点；
④若 ，且 ，则 无最值.
A．①② B．①③④ C．②③ D．①③
【答案】D
【详解】对于①，当 时， ， 恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 时， ， 恒成立，
所以， 在 上单调递减；
当 时， ， 恒成立，
所以， 在 上单调递减.
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减.
所以， 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ，故①正确；对于②，作出 的图象如下图1
由图1可知，若关于 的方程 恰有1个解，则 或 ，故②错误；
对于③，由①知，当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ；
当 时， ；
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 .
综上所述， ，有 恒成立.
又直线 可化为 ，斜率为 ，
所以函数 的图象与直线 （ ）有且仅有一个交点，故③正确；
对于④，
由图2可知，当 时，函数 的图象与 有3个不同的交点.则有 ，所以 ，
所以 ， .
令 ， ，
则 .
令 ，则 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.
又 ， ，
根据零点存在定理可知， ，使得 ，
且当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，
所以 ，所以 在 上单调递增.
所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值，无最大值，故④错误.
综上所述，①③正确.
故选：D.
第Ⅱ卷（共 105 分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）
10．若复数z满足 （ 是虚数单位），则 =________.
【答案】
【详解】 ，
故 .
故答案为：
11．若 展开式中所有项的系数和为 256 ，其中 为常数，则该展开式中 项的系数为
________
【答案】28
【详解】因为 展开式中所有项的系数和为 256 ，所以 ，解得 ，
由题意得 展开式中 项的系数与 展开式中的 项的系数相同.
展开式的通项 ，令 ，得 ，
所以展开式中 项的系数为 .
12．若双曲线 的渐近线与圆 相切，则 _______．
【答案】
【详解】由双曲线方程 ，则其渐近线方程 ，
由圆方程 ，整理可得 ，其圆心为 ，半径 ，
由两个渐近线关于 对称，则不妨只探究渐近线 ，整理可得 ，由题意，可得 ，解得 .
13．已知等边三角形 的边长为1，射线 、 上分别有一动点 和 （点 在点 与 之间），
当 时， 的值为________；当 时， 的最小值为________．
【答案】 /
【详解】 ， ，
；
设 ，
则 ， ，
，
当 时， 有最小值为 .
14．为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，
则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若
用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则 ________.
【答案】 /
【详解】设事件 “抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件 “抽取的3人中全是男志愿者”，则 ，
即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是 .
X可取 ，
，
则
15.设 ，函数 ，若 恰有两个零点，则 的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为 ， ，
当 时，由 可得 ，可得 ，
当 时，由 可得 ，可得 ，
令 ，则直线 与函数 的图象有两个交点，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，函数 的极小值为 ，且当 时， ，当 时， ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，此时函数 有两个零点，
因此，实数 的取值范围是 .
三、解答题：（本大题5个题，共75分）
16．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 ，
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）求 的值.
【详解】（1）在 中，由正弦定理
可得： ，整理得 ，
由余弦定理，可得 ；
（2）（i）由（1）可得 ，又由正弦定理 ，
及已知 ，可得 ，由已知 ，可得 ，故有 ，
为锐角，可得 ， ，
则 ；
（ii）由（i）可得 ， ,
.
17．已知正三棱柱 中，侧棱长为 ，底面边长为2，D为AB的中点.
(1)证明： ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求直线CA与平面 所成角的正弦值.
【详解】（1）由 为正三棱柱可知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以 ；
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
（2）取线段 的中点分别为 ，连接 ，易知 两两垂直，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标
系 ，如下图所示;
由侧棱长为 ，底面边长为2可得，
，
由D为AB的中点可得 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ；
即 ；
易得 即为平面 的一个法向量，
所以 ，
设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，所以 ，即 ；
即二面角 的大小为 .
（3）由（2）可知 ，平面 的一个法向量为 ，
设直线CA与平面 所成的角为 ，
所以 ，
即直线CA与平面 所成角的正弦值为 .
18．已知等差数列 的首项为1，前 项和为 ，单调递增的等比数列 的首项为2，且满足
.
(1)求 和 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)记 的前 项和为 ，证明： .
【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
因为 ，
所以 即
解得 （舍去），或
所以 .（2）由（1）知 ，
所以
（3）由（1）知 .
所以
所以
.
即
19．已知椭圆 ，若椭圆的短轴长为 且经过点 ，过点 的直线交椭
圆于P，Q两点.
(1)求椭圆方程；
(2)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(3)若直线 与x轴不垂直，在x轴上是否存在点 使得 恒成立？若存在，求出s的值；
若不存在，说明理由.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
将 代入椭圆方程，得到 ，故 ，故椭圆方程为 ；
（2）当直线 的斜率为0时，此时 三点共线，不合要求，舍去；
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ，
与椭圆方程 联立，得 ，
设 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 或 ；
（3）在x轴上存在点 使得 恒成立，理由如下：
因为 ，所以 ，即 ，
整理得 ，即 ，
所以 ，
则 ，解得 ，故在x轴上存在点 ，使得 恒成立.
20．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若函数 有两个极值点 ，求证： .
【详解】（1）当a=1时， ，
所以 ，
故切点坐标为 ，
又 ，
所以 ，
故切线的斜率为 ，
由点斜式可得， ，即 ，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ；
（2） 的定义域为 ，
又 ，
①当 ，即 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减；
②当 ，即 或 ，
令 ，解得 ，若 时，则当 或 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3）由（2）可知，当 时，f（x）有两个极值点 ，
则 ，
由题意可得， ，
则
，
令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，
故当 时， 取得最大值 ，
所以 .
