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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三数学统练 8
一、单选题
1. 如图是某几何体的视图，则该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 正方体
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可
判断柱体底面形状，得到答案．
【详解】由几何体的主视图和左视图都是长方形，
故该几何体是柱体，
又因为俯视图是三角形，
故该几何体是三棱柱．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个
矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
2. 据报道，至2022年，我国已经建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，基本
养老保险覆盖10.4亿人，将1040000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把
原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是
正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
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【详解】解：将1040000000用科学记数法表示为： ．
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 方程组 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据加减消元法进行求解即可．
【详解】解： ，
得，
解得，
把 代入①得，
解得，
∴方程组的解为：
故选：C
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．
4. 比 大且比 小的整数可以是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
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【解析】
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数 、 的大小即可．
【详解】解： ，
比 大且比 小的整数有：2和3，
故选：B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解题的关键．
5. 如图，直线 ，直线 分别交 ， 于点 ， ， 的平分线交 点 ，若
，则 的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据角平分线计算出 ，再根据两直线平行内错角相等得出
的大小即可．
【详解】解： ， 平分 ，
，
，
，
故选： ．
【点睛】本题考查了角平分线的相关计算和平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
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6. 一个不透明的口袋中有3个红球和1个白球，这四个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个
小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用树状图法得出两次摸球所有可能的结果，进而利用概率的计算公式求解即可．
【详解】画树状图得所有可能出现的结果数为∶
共有12种等可能的结果，两次摸出小球的颜色相同的有6种情况，
两次摸出小球的颜色相同的概率是： ．
故选C．
【点睛】本题考查概率的意义和应用，掌握列表法和树状图法求概率是解题的关键．列表法和树状图法是
求概率常用的方法，也是基本的方法．
7. 实数a在数轴上的位置如图所示，则a， ， ， 中最大的是( )
A. a B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴可知 ，移项和两边除以 a 分别得到 ， ，两边同时乘以 a 得到
，从而得到 ，由此选出答案．
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【详解】解：由数轴可知： ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴两边乘以 得： ，
∴ ，
∴a， ， ， 中，最大的是 ．
故选：D
【点睛】本题考查不等式的性质，有数轴上的点确定式子的大小关系，掌握不等式的性质是解题的关键．
8. 如图，在正方形 中，点E，F分别是 边上的点， ，且 ，过点E
作 于点H，过点F作 于点G， 交于点D，连接 设 ，
， ，给出下面三个结论：
① ；② ；③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
.
A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据
即可判断；②根据题意可推出四边形 是正方形，结合
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即可判断；③证 ，结合 即可判断；
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴
∴
即： ，故③错误；
∵ ， ，
∴四边形 均是矩形
∵ ，
∴四边形 是正方形
∴
∴
∵
∴ ，故①正确；
∵ ,
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ，故②正确；
故选：A
二、填空题
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9. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解不等式，理解并掌握分式的分母不能为零是解题的关键．
【详解】解：根据题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
10. 已知反比例函数 的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据双曲线分布的象限，得到 ，然后解不等式即可
求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象位于第二、四象限，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
11. 如图，在平面直角坐标系 中，点A的坐标为 ，设线段 与 轴正方向的夹角为 ，则
___________．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】取点 ，则 轴于B，根据点A的坐标求出 和 ，根据锐角正切函数的定义求
出即可．
【详解】取点 ，则 轴于B，
∵点A的坐标为(3，4)，
∴ ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点的坐标和正切函数，能求出 和 的长是解此题的关键．
12. 用一组a ,b 的值说明命题：“若a2=b2，则a=b”是错误的，这组值可以是a= _________.，b=______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】通过a取1，b取-1可说明命题“若a2=b2，则a=b”是错误的．
【详解】解：当a=1，b=-1时，满足a2=b2，但a≠b．故命题错误.
故答案为1，-1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明
一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13. 某射击队要从甲、乙、丙三名队员中选出一人代表射击队参加市里举行的射击比赛，下表是这三名队
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员在相同条件下10次射击成绩的数据：
甲 乙 丙
平 均
8.5 9 8.8
数
方差 0.25 0.23 0.27
如果要选出一个成绩好且又稳定的队员去参加比赛，这名队员应是___________．
【答案】乙
【解析】
【分析】根据方差越小越稳定和平均数决策即可．
【详解】解：∵乙的平均数最大，方差最小，即乙的成绩好且状态稳定，
∴这名队员应是乙．
故答案是：乙．
【点睛】本题考查了平均数，方差，熟练掌握平均数、方差的决策意义是解题的关键．
14. 如图， 则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】延长 相交于点 由三角形内角和定理求出 由对顶角相
等可得 从而可得结论．
【详解】解：延长 相交于点 如图，
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∴
又
∴
又
∴
又
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等，三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解答本题的关键．
15. 如图，在 中， ， ， ，则 的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明 ，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共
角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相
似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
16. 下表是某市本年度 前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，
“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，
上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一
种符合条件的排序)
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县 A B C D E F G H I J
变化情况 ↑ 一 ↓ 一 ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ 一
【答案】 ①. C ②. E、H、I或H、E、I． (二者之一即可)
【解析】
【分析】①C地 名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C；
② F地 名次下降，上一年度F地排第五，G地 名次上升，上一年度G地排第九，E地本年度
排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可．
【详解】解：①∵A地 名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B地 名次无变化，
∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名；
同理，C地 名次下降，只能是第一名下降而来的；
∴上一年度排名第1的区县是C，上一年度排名前四名依次是 ；
②F地 名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F地排第五，
同理，G地 名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G地排第九，
∵E地本年度 排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，
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∴E地上一年度可能是排第六或者第七
(i)若E地上一年度是排第六，即E地和F地的排名交换，
∴H地上一年度是排第七，I地上一年度是排第八，
∴上一年度排名从前往后依次是： ；
(ii)若E地上一年度是排第七，
∵H地本年度 排第八， 名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，
∴H地上一年度是排第六，I地上一年度是排第八
∴上一年度排名从前往后依次是： ；
∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是 或 ．
故答案为： C； 或 (二者之一即可)．
【点睛】本地考查组合排列问题，根据数据特点分析第一个下降和最后一个上升和分类讨论是解题的关键．
本题建议在表格下方增加一行“上一年度排名”，然后边推理边填空可以提高速度．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7
分）
17. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质逐项计算，即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的性质是解题的关键．
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18. 解不等式组 ，并写出它的所有正整数解．
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答．
【详解】解： ，
由①得： ，
由②得： ，
∴原不等式的解集为 ；
∴原不等式所有正整数解为： ；
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】化简为： ，结果值为：5
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据已知等式可得答案．
【详解】解：
，
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．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20. 已知：如图1，线段a，b．
求作：矩形ABCD，使得 ， ．
作法：如图2．
1．在直线 上截取 ．
2．过点B作直线 ，在直线m上截取 ．
3．分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D．
(点D与点C在直线 的同侧)
4．连接 ．
则四边形 为所求的矩形．
根据上面设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成下面的证明：
证明：∵ ， ，
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∴四边形 是平行四边形(___________)．(填推理的依据)
∵直线 ，
∴ ___________ ，
∴四边形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依据)．
【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ；有一个内角是直角的平行
四边形是矩形．
【解析】
【分析】（1）按照步骤操作即可；
（2）根据矩形的判定定理推导，填空即可.
【小问1详解】
解：补全图形如下：
【小问2详解】
证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
∵直线 ，
∴ ，
∴四边形ABCD是矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ；有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查尺规作图，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
21. 关于x的方程 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
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【答案】 ， ，
【解析】
【分析】先根据根的判别式的意义得到 ，解不等式，从而得到正整数m的值，代
入原方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】根据题意得
解得
所以正整数m的值为1
代入原方程得
即
∴ ，
【点睛】此题主要考查了根的判别式，解一元二次方程，正确得出m的值是解题关键．
22. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线， ， ， ，E为AD
的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分 ， ，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析．
（2） ．
【解析】
【分析】（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明一组邻边相等即可；
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（2）连接AC，根据平行线的性质及等角对等边证明AB=1，AD=2，可知 ，再根据菱形的性
质即可得出 是含 的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求AC的长．
【小问1详解】
，E为AD的中点，
，
，
∴四边形BCDE是平行四边形，
， ，
，
∴四边形BCDE是菱形．
【小问2详解】
解：连接AC．
，AC平分 ，
，
，
，
，
，
四边形BCDE是菱形
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，
在 中， ，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理等，解题的关键是连接AC构造 ．
23. 为了增强居民的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，A，B两个小区的居委会组织
小区居民进行了有关消防知识的有奖问答活动，现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随
机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组： ，
， ， ， ）；
b．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在 这一组的是：
84 85 85 86 86 89 89
c．B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下：
7 8 9
分数 81 82 88 91 94 96 100
3 5 2
人数 1 3 2 3 1 3 1 1 4 1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全a中频数分布直方图；
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（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是______；B小区参加有奖问答活动的20
名居民成绩的数据的众数是______；
（3）为鼓励居民继续关注消防知识宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖
品，已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小
奖品．
【答案】（1）见解析；
（2）89，96； （3）1900份．
【解析】
【分析】(1)用总人数减去其他组的人数即可得到 的居民人数，由此补全统计图；
(2)根据中位数及众数的定义解答；
(3)用总人数乘以各自的比例，再相加即可．
【小问1详解】
的居民有 名，
如图所示；
【小问2详解】
∵ ， ，
的
∴A小区参加有奖问答活动 20名居民成绩的第10和11个数据分别为89，89，
∴A小区参加有奖问答活动 的20名居民成绩的数据的中位数是 ；
B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据中出现次数最多的是96出现了4次，
∴B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是96；
故答案为：89，96；
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【小问3详解】
（份）
答：这两个小区的居委会一共需要准备1900份小奖品．
【点睛】此题考查了直方图与统计表，求中位数及众数，利用部分的比例求总体中的数量，正确理解统计
图表得到相关信息是解题的关键．
24. 如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB
于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B
重合时，y的值为0）
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm.
【答案】（1）1.6，（2）作图见解析，（3）2.2（答案不唯一）
【解析】
【详解】试题分析：(1)通过画图画出大致图象，估算当AP=4时，PN≈1.6；
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（2）根据题意画出图象即可；
（3）作y=x与（2）中的函数图象交点即可得.
试题解析：（1）由题意可大致画出图象，据此估计估算当AP=4时，PN≈1.6，
故答案为1.6；
(2)如图所示：
（3）.作y=x与函数图象交点即为所求.2.2(答案不唯一)
25. 如图， 为 的直径，点C在 上， ，直线 于点D，交AB的延长
线于点F．
（1）求证：直线 为 的切线；
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（2）当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据平
行线的性质得到 ，根据切线的判定定理得到结论；
（2）设 ，则 ， ，根据勾股定理得到 ，根据相
似三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
直线 为 的切线；
【小问2详解】
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解： ，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的
判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线 上任意两点，设
抛物线的对称轴为直线 ．
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（1）若点 在该抛物线上，求t的值；
（2）当 时，对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：
（1）利用待定系数法求出 ，再根据对称轴计算公式求解即可；
（2）根据解析式可得当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数
值越大，据此分当 时，当 时，当 时，当 时，四种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大；
当 时，
∵ ，
∴此时满足 ；
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当 时，
∵ ，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∴此时满足 ；
当 时，一定会有 的值满足 ，即此时 ，不符合题意；
当 时，若 ，且 时，此时 ，不符合题意；
综上所述， ；
27. 在 中， ， ，点D，E是 边上的点， ，连接 ．
过点D作 的垂线，过点E作 的垂线，两垂线交于点F．连接 交 于点G．
（1）如图1，当点D与点B重合时，直接写出 与 之间的数量关系；
的
（2）如图2，当点D与点B不重合（点D在点E 左侧）时，
①补全图形；
② 与 在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段 之间的数量关系．
【答案】（1）
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（2）①见解析；② 仍然成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等等：
（1）由三线合一定理可得 ，再由 ，得到 三点共线，
即可得到 ；
（2）①根据题意画图即可；②过点A作 于H，则 ，先证明 ，
再证明 ，进而证明 ，得到 ，则 ，即
；
（3）将 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，由旋转的性质可得
，证明 ，得到 ，由勾股定理
得 ，即可得到 ．
【小问1详解】
解：∵在 中， ， ，点D与点B重合， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 三点共线，
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∴ ；
【小问2详解】
解：①如图所示，即为所求；
② 仍然成立，证明如下：
如图所示，过点A作 于H，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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【小问3详解】
解：如图所示，将 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
28. 在平面直角坐标系 中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被
圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k．已知圆O的半径为2，
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（1）若点M的坐标为 ，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为___________，点M关于圆
O的特征值为___________；
（2）直线 分别与x，y轴交于点A，B，若线段 上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的
取值范围；
（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值
记为r，点S关于圆O的特征值记为s．当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得 ，直接
写出点T的横坐标t的取值范围．
【答案】（1） ，3
（2）b的取值范围是 或 ；
（3）
【解析】
【分析】（1）设经过点M的直线与 交于E、F两点，过点O作 于H，连接 ，利
用垂径定理得到 ，由勾股定理可得当 最大时， 最小，即此时 最小，求出
，再由 ，得到当点H与点M重合时， 有最大值 ，即可求出 的最小值为
，则被圆O截得的弦长取值范围为 ，再由被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截
得的弦长为4的弦只有1条，可得点M关于圆O的特征值为3；
（2）根据题意得，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心， 为半径的圆周上，分当 时和
当 时，两种情况讨论即可求解；
（3）由于同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，则点Q关于
圆O的特征值不可能为0，由此可得 ，则 或 ；经过点S且弦长为4（最长弦）的直线
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有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，由（2）可知点S一定在以O为圆心，以 为半径的圆上，
同理点R一定在以T为圆心，以 为半径的圆上，则当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，
为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心， 为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t
的值符合题意，由此求解即可．
【小问1详解】
解：设经过点M的直线与 交于E、F两点，过点O作 于H，连接 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴当 最大时， 最小，即此时 最小，
∵点M的坐标为 ，
∴ ，
又∵ ，
∴当点H与点M重合时， 有最大值 ，
∴此时 有最小值 ，
∴ 的最小值为
的
∵过点M 直线被圆O截得的弦长的最大值为4（直径），
∴被圆O截得的弦长取值范围为 ，
∴被圆O截得的弦长为正整数的只有是3或4，
∵被圆O截得的弦长为3的弦有2条，被圆O截得的弦长为4的弦只有1条，
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∴点M关于圆O的特征值为3，
故答案为： ，3；
【小问2详解】
解：设点G是圆O的特征值为4的点，
由（1）可知经过一点G且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3的直线有2条，
∵特征值要保证为4，
∴经过点G且弦长为2的直线有且只有1条，
∴经过点G的直线被圆O截得的弦长的最小值为2，
∵ ，
∴由（1）可知，关于圆O的特征值为4的所有点都在以O为圆心， 为半径的圆周上，
∵直线 分别与x，y轴交于点A，B，
∴ ， ，
∴ ，
∴
当 时，
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∵线段 上总存在关于圆O的特征值为4的点，
∴线段 与以O为圆心， 为半径的圆有交点，
当线段 与以O为圆心， 为半径的圆相切时，将切点设为H，连接OH，则 ，
∴ ，
∴ ，
将以O为圆心， 为半径的圆与y轴正半轴的交点记为 ，则 ，
当线段 与以O为圆心， 为半径的圆相交，且过点 时，可得 ，
∴ ；
同理可求当 时， ；
综上，b的取值范围是 或 ；
【小问3详解】
：∵同一平面内，对于任意一点Q，经过O、Q的直线与圆O截得的弦（直径）都为4，
∴点Q关于圆O的特征值不可能为0，
∴ ，
∵ ，且r、s都是整数，
∴ 或 ；
当 时，
∴经过点S且弦长为4（最长弦）的直线有1条，弦长为3（最短弦）的直线有1条，
∴由（2）可知点S一定在以O为圆心，以 为半径的圆上，
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同理当 时，点R一定在以T为圆心，以 为半径的圆上，
∴当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心， 为半径的圆有交点，且同时满足以O为圆心，
为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时t的值符合题意；
如图3-1所示，
当以O为圆心， 为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆外切时，此时 ；
如图3-2所示，当以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心， 为半径的圆外切时，此时 ；
综上所述，当 时，存在点R，S，使得 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆与圆的位置关系，切线的性质，坐
标与图形，勾股定理，一次函数与几何等等，正确理解题意找到对应点的轨迹是解题的关键．
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