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北京教育学院附属中学 2022~2023 学年第二学期期中练习
八年级数学
满分100分，考试时间100分钟．
一、选择题（共30分，每题3分）
1. 代数式 中 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，列出不等式求解即可.
【详解】解：要使 有意义，则 ，
解得： ；
故选：C.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键.
2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 6，8，11 C. 5，12，14 D. 1，1，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.
【详解】解：A、∵ ，∴2，3，4为边长的线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题
意；
B、∵ ，∴6，8，11为边长的线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
的
C、∵ ，∴5，12，14为边长 线段不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵ ，∴1，1， 为边长的线段能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题型，熟知在一个三角形中，如果两短边的平方和等于较大边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键.
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】A．原式 ，故该选项不符合题意；
B． 是最简二次根式，故该选项符合题意；
C．原式 ，故该选项不符合题意；
D．原式 ，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念： 被开方数不含分母； 被开方数中不
含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
4. 直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为（ ）
A. B. C. 6 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】先求出斜边，然后利用面积相等法解题即可．
【详解】解：由题意得：斜边长为 ，
设斜边上的高为h，
则 ，解得： ，
∴斜边上的高为 ，故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的基本性质，解题关键在于能够利用勾股定理求出斜边长.
5. 如图，在 中， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可.
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C.
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
6. 某城市中有如图所示的公路 ， ，它们互相垂直，公路 的中点 与点 被湖隔开，若测得
的长为 ，则 ， 两点间的距离为（ ）
.
A B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可.
【详解】由题意可得： ，
所以 ；
故选：D.
【点睛】本题考查了直角三角形 的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
7. 若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A. 60 B. 30 C. 24 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：菱形 的面积= ×6×10=30，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
8. 如图，矩形 中，对角线 ， 交于点 ，若 ， ，则 的长为（
）
A. 4 B. C. 3 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得 ，推出 ，求出 ，再根据含30度角
的直角三角形的性质即可求解.【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：A.
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质和含30度角的直角三角形的性质
等知识，熟练掌握矩形的性质，得出 是解题的关键.
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形 的顶点 在 轴上，边 在 轴上，若点 的坐标为
(12，13)，则点 的坐标是( )
A. (0，-5) B. (0，-6) C. (0，-7) D. (0，-8)
【答案】A
【解析】
【分析】根据点A的坐标为(12，13)，可求出菱形的边长及OD的长，然后在Rt△COD中，利用勾股定理
求出OC的长，即可求出点C的坐标.
【详解】∵点A的坐标为(12，13)，
∴CD=AD=13，OD=12，∴OC= ,
∴C（0，-5） .
故选：A.
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键.
10. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=4，AC，BD相交于点 ，E，F分别为边BC，CD上的动点（点
E，F不与线段BC， CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列
四个结论：
①△OEF始终是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是2；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 ；
④四边形OECF的面积始终是4．
所有正确结论论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】证明 ≌ ，即可得出①是正确的；设BE=CF=x，则EC=4-x，其中 ，表达
出△OEF面积，用二次函数求出最小值，进行比较即可判断②是正确的；假设存在一个△ECF，使得
△ECF的周长是 ，求出EF的长度即可说明③是正确的；根据正方形被对角线将面积四等分，即
可得出④正确．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
， 45°， 90°，在 和 中，
，
≌ ，
∴OE=OF，
∴ ，
∴ 90°，
又∵OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，故①正确；
∵ ≌ ，
∴设BE=CF=x，则EC=4-x，其中 ，
在Rt△EFC中， ，
在Rt△EFO中， ，
∴ ，
∴ ，
，
，∴当x=2时△OEF的面积取得最小值2，故②正确；
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 ；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴BE=CF= 或BE=CF= 时，△ECF的周长是 ，
∴至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是 ，故③正确；
∵ ≌ ，
，
故④正确；
故选D．
【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直
角三角形的性质，注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
11. 如果 =0，那么 的值为____________
【答案】-6
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负数性质列式求出x、y的值，然后相乘即可得解．
【详解】解：在 =0中 ，
∴x-3=0，y+2=0，
解得x=3，y=-2，所以，xy=3×（-2）=-6．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负数的性质.几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12. 计算： =________.
【答案】2
【解析】
【详解】试题解析：原式=（ ）2-22=6-4=2．
13. 等边三角形的边长为2，则这个三角形的高的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作 于点D，根据等腰三角形的三线合一性质求出 ，
，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，
根据题意，得 ， ，
∴ ， ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的三线合
一的性质是解题的关键．
14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为： ；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为： ；
∴第三边的长为： 或5，
故答案为： 或5．
15. 如图，我国古代伟大的数学家刘徽将一个勾股形 古人称直角三角形为勾股形 分割成一个小正方形和
两对全等的直角三角形.设小正方形边长为 ，两个直角三角形中较长的直角边长度分别为 和 ，可以列
出方程：______.
【答案】【解析】
【分析】根据全等三角形的性质求出勾股形的斜边长，根据勾股定理列出方程即可．
【详解】由全等的性质可知，勾股形的斜边长为： ，
由勾股定理得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ，斜
边长为 ，那么 ．
16. 已知 为数轴原点，如图：
（1）在数轴上截取线段 ；
（2）过点 作直线 垂直于 ；
（3）在直线 上截取线段 ；
（4）以 为圆心， 的长为半径作弧，交数轴于点 .根据以上作图过程及所作图形，有以下四个结论：
① ； ② ； ③ ； ④ .
上述结论中，所有正确结论的序号是______．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】根据勾股定理求出 ，即为 ，则可对①②进行判断；估算 的范围，可判断③；
求出 可判断④．【详解】解：根据题意：在直角三角形 中， ，
∴ ，故结论①错误，结论②正确；
∵ ，
∴ ，故结论③正确；
∵ ，
∴ ，故结论④错误；
综上，正确的结论是：②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理、无理数的估算等知识，正确理解题意、正确求出
是解题的关键．
17. 如图，矩形 中， ， ， 为 中点， 为 边上任意一点， ， 分别
为 ， 中点，则 的长是______．
【答案】5
【解析】
【分析】连接 ，如图，根据矩形的性质和勾股定理可求出 ，再根据三角形的中位线定理解答即可．
【详解】解：连接 ，如图，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 为 中点， ，∴ ，
则在直角三角形 中，根据勾股定理可得： ，
∵ ， 分别为 ， 中点，
∴ ；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线等知识，
连接 ，灵活应用三角形的中位线的性质是解题的关键．
18. 如图，将矩形 沿对角线 所在直线折叠，点 落在同一平面内，落点记为 ， 与
交于点 ，若 ， ，则 的长为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】根据矩形的性质、平行线的性质和折叠的性质证明 ，可得 ，设
，则 ，则在直角三角形 中，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，∵将矩形 沿对角线 所在直线折叠，点 落在 处，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
则在直角三角形 中，根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，即 的长为5；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，属于常考题型，证
明 是解题的关键．
三、解答题（共54分，第19题10分，第20题6分，第21题7分，第22-23题，每题6分，
第24题5分，第25-26题，每题7分）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式；
（2）根据二次根式的混合运算法则解答即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关
键．
20. 已知 ， ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，然后把所求式子分解因式后再整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次根式的代入求值，正确变形、准确计算是解题的关键．
21. 下面是小明设计的作菱形 的尺规作图过程．
已知：四边形 是平行四边形．
求作：菱形 （点 在 上，点 在 上）．
作法：如图，
①以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；
②以 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ；
③连接 ，所以四边形 为所求的菱形．（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵ ， ，
∴______ ______，
在平行四边形 中， ，
即 ，
∴四边形 为平行四边形，（______）（填推理的依据）
∵ ，
∴四边形 为菱形．（______）（填推理的依据）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）由作图可得 ，结合平行四边形的对边平行，可得四边形 为平行四边形，再根据一组
邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．
【小问1详解】
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
在平行四边形 中， ，
即 ，∴四边形 为平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵ ，
∴四边形 为菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和菱形的判定以及基本作图，正确理解题意、熟知菱形的判定方法
是解题的关键．
22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求CD的长．
【答案】（1）90°；（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ACB的度数即可得出结论；
（2）根据平行线的性质和勾股定理即可得出结论．
【详解】解：（1）在 ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，
∴AC2+BC2=AB2， △
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB=90°，
∴在Rt ACD中，CD= ．
△
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是得到∠ACB的度数．
23. 如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ， 相交于点
，求证： ．【答案】证明见解析
【解析】
【分析】只需要利用 证明 即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边相等且平行
是解题的关键．
24. 在 中， ， ， 三边长分别为 ， ， ，求这个三角形面积，小明同学在解
答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 ，借用
网格就能计算出它的面积．
（1） 的面积为______；
（2）如果 三边的长分别为 ， ， ，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点 ，并直接写出 的面积为______．
【答案】（1）4.5 （2）格点 见解析，3.5
【解析】
【分析】（1）根据割补法即可求解；
（2）先根据勾股定理确定三边所在的三角形的位置，进而可画出相应的三角形，再根据割补法求解即可．
【小问1详解】
的面积为 ；
故答案为：4.5；
【小问2详解】
如图， ，
∴格点 即为所求作；
且 的面积 ．
故答案为：3.5．
【点睛】本题考查了勾股定理和格点作图，能利用勾股定理确定相应点的位置是
解题的关键．
25. 如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,分别过点C. D作CE∥BD,DE∥AC，CE和DE交于点E.
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB=60°,AD=2 时，求EA的长．【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC=90°，根
据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．
（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．
【详解】（1）∵CE∥BD DE∥AC
∴四边形ODEC是平行四边形
又∵菱形ABCD
∴AC⊥BD
∴∠DOC=90°
∴四边形ODEC是矩形
（2）∵Rt AOD中,∠ADO=60°
∴∠OAD=△30°
∴OD= AD=
∴AO= =3
∴AC=6
∵四边形ODEC是矩形
∴EC=OD= ∠ACE=90°
∴AE= =
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握和灵活
运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键．
26. 已知：正方形 ，点 是边 （或 的延长线）上任意一点， 平分 ，交射线
于点 ．（1）如图1，若点 在线段 上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，若点 在线段 的延长线上，请补全图2并直接写出线段 ， ， 之间的数量
关系．
【答案】（1）①见解析；② ，证明见解析
（2）补全图形见解析；
【解析】
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②在 的延长线上截取 ，连接 ，从而构造两
个全等的三角形，进而可以得到线段 ， ， 之间的数量关系；
（2）根据题意补全图形，然后仿照（1）中②的证明方法解答即可．
【小问1详解】
①补全图形如图：②数量关系是： ，
证明：在 的延长线上截取 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ， ，
，
在 和 中
，
， ，
又 平分 ，
，
，
又 ，
，
，
又 ， ，
；【小问2详解】
补全图形如下图，数量关系是： ；
证明：在射线 上截取线段 ，如图所示，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
又 平分 ，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
即 ．【点睛】本题是四边形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，做出合适的辅助线，构造全等三角形．
四、附加题（共10分，第27题3分，第28题7分）
27. 同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象： ，根号里的因数2经过
适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有这一性质的数还有许多，
如 、 等等．
（1）猜想： ______；
（2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数______；
（3）请用只含有一个正整数 的等式表示上述规律：______．
【答案】（1）
（2） （答案不唯一，符合规律即可）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知等式 的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
（2）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
（3）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可．【小问1详解】
解： ，验证如下：
．
故答案为 ．
【小问2详解】
解：根据已知等式的规律可写出： ，…．
故答案为 （答案不唯一，符合规律即可）．
【小问3详解】
解：第一个等式为 ，即 ；
第二个等式为 ，即 ；
第三个等式为 ，即 ．
∴用含正整数 的式子表示为： ．
【点睛】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关
键．
28. 已知正方形 ，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形 的内部或边上，则称这个等边
三角形为正方形 的内等边三角形．（1）若正方形 的边长为10，点E在边 上， 是正方形 的内等边三角形．
①如图1，当点E为边 的中点时，线段 的长度为__________；
②当点E为边 上任意一点时，连接 ，则线段 的最小值是________，线段 的取值范围
是________．
（2） 和 都是正方形 的内等边三角形，当 的长最大时，画出 和
（点A，M，N按逆时针方向排序），连接 ．图中与线段 相等的所有线段（不添加字母）有
______．
【答案】（1）① ；②5， ；
（2）与线段NP相等的线段有BN，DM．
【解析】
【分析】（1）①连接DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，根据等边三角形性质可得∠AFE=∠AEF=60°，
AE=EF，根据中点性质可推导出 ，由外角性质可得∠DEF=120°，根据等腰三角形“三线合
一”的性质可得 ， ，在Rt DGE中，解直角三角
△
形即可求解；
②由题意可得点F在与AD成60°的直线AF上移动，则当BF⊥AF时，BF有最小值，当DF⊥AF时，DF
有最小值，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，即可求解；
（2）根据题意画出图形，分别证明Rt△ADM≌Rt△ABN，△ADM≌△APN，进而即可求解．【小问1详解】
①如图所示，连接DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，
∵△AEF是内等边三角形
∴∠AFE=∠AEF=60°，AE=EF，
∵点E为边 的中点时，
又正方形 的边长为10，
∴ ，
∴ ，
∵∠DEF是 AEF的外角，
∴∠DEF=12△0°，
∵EG⊥DF，
∴ ， ， ，
在Rt DGE中， ， ，
△
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，
∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，
∴当BF⊥AF时，BF有最小值，
此时，∵∠FAB＝∠DAB−∠EAF＝30°，
∴BF＝ AB＝5，
∴BF的最小值为5，
当DF⊥AF时，DF有最小值，
此时，∠ADF＝30°，
∴AF＝ AD＝5， ，
当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，
∴线段DF长的取值范围为 ，
故答案为：5， ；
【小问2详解】
ADP和 AMN，如图所示：
△ △
∵ AMN是等边三角形，
∴△AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，
∵边AM的长最大，
∴点M在DC上，点N在BC上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），
∴BN=DM，
∵ ADP和 AMN是等边三角形，
△ △∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°，
∴∠DAM=∠PAN，
∴ ADM≌ APN（SAS），
∴△DM=PN，△
∴NP=DM=BN，即：与线段NP相等的线段有BN，DM．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形．
