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中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理
一、填空题
1．如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2 ，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角
形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为，当点D
运动到点H，此时线段BE的长为．
2．如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，以
为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值为．
3．如图，等边 中， ，O是 上一点，且 ，点M为 边上一动点，连接 ，
将线段 绕点O按逆时针方向旋转 至 ，连接 ，则 周长的最小值为．
4．如图，正方形 的边长为 ，点 是 边上的一动点，连接 ，将 绕点 顺时针方旋转
后得到 ，连接 ，则点 在整个运动过程中，线段 所扫过的图形面积为．
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5．如图，点D是等边 边 上的一动点(不与端点重合)，点D绕点C引顺时针方向旋转 得点E，
所得的 边 与 交于点F，则 的最小值为 ．
6．如图，在 中， ， ， ，点D是边 上的一动点，连接 ，将
线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，则线段 长度的最小值是．
7．如图，点A的坐标为 ，点B是x轴正半轴上的一点，将线段 绕点A按逆时针方向旋转 得
到线段 ．若点C的坐标为 ，则k的值为 ．
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8．如图，在边长为 的等边 中，直线 ， 是 上的一个动点连接 ，将线段 绕点
逆时针方向旋转 得到 ，连接 ，则点 运动过程中， 的最小值是．
9．如图，在 中， ，点 在 边上， ， ，点 是边 所在直线上的一动
点，连接 ，将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为．
10．如图，正方形 的边长为4，E为 上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，将
烧点E顺时什旋转60°得到 ，连接 ，则 的最小值为．
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11．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AB上异于A，B的一动点，将△ACD绕点C逆时针
旋转60°得△BCE，则旋转过程中△BDE周长的最小值
12．如图，在 中， ， ，直线 ，E是AD上的一个动点，连接EC，
将线段EC绕点C按逆时针方向旋转 得到FC，连接DF，则点E运动过程中，DF的最小值是．
13．如图，等边 AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当
点P到达点A时△停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点
C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当 PCA为直角三角形时t
的值为. △
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二、解答题
14．在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足 ，C、D两点分别是y
轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；
（1）如图1，若C（0，4），求 ABC的面积；
（2）如图1，若C（0，4），BC△=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；
（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边 CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E
两点之间的距离． △
15．在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6．点E'在BC边上且 ＝4，将B 绕点B逆时针旋转a°
得到BE（0°＜a＜180°）．
(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S BCE；
△
(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．
①求线段BF的取值范围；
②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；
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(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点M，N为AM中点，直
接写出BN的最大值与最小值．
16．如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为
边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH.
(1)求sin∠AHC；
(2)连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；
(3)把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即
HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长.若AC＝2 ，旋转过程中某一时刻2AH＝
3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值.
17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．
（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点 在等边 的边 上，过点 画 的平行线 ，在 上取
，连接 ，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明： ；
（2）初步尝试：如图2，在 中， ，点 在 边上，且 ，将 沿某条直线翻
折，使得 与 重合，点 与 边上点 重合，再将 沿 所在直线翻折，得到 ，则
在图2中会产生一对旋转图形．若 ， ，连接 ，求 的面积；
（3）深入探究：如图3，在 中， ， ， ，点 是边 上的任意一点，
连接 ，将线段 绕点 按逆时针方向旋转75°，得到线段 ，连接 ，求线段 长度的最小值．
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18．（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，
得到线段AQ，连接BQ；
【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若
不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，
将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ请求出线段EQ长度的最小值．
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