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2023年高考押题预测卷03【上海卷】
数学·参考答案
1．
2．21
3．5
4．
5．
6．
7．16
8．
9．
10．
11．
12．
13．B
14．B
15．D
16．D
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合三角函数的定义证明 ，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
【详解】（1）设BD与CE相交于点H，因为PD⊥平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
由 ， ，得 ，
因此 ， ，
可得 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
又因为 ， ， 平面 ,
所以CE⊥平面PBD；（6分）
（2）如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则 ， ， ，
所以 ， ，
设平面PCE的一个法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，于是 ，（10分）平面ACE的一个法向量为 ，
则 ，
由图形可知二面角P－CE－A为锐角，
所以二面角P－CE－A的余弦值是 ．（14分）
18．(1)
(2)
【分析】（1）当 时，求得公差 ， 将求和公式及通项公式代入 求得 .
（2）当 ＝1时为等差数列求和，当 时用错位相减求和.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 得： ，所以 ，即 ，
又 ，
所以 .（6分）
（2）由 ，得 .
所以， ，
当 时， ；（9分）
当 时， ，，
所以 ，
即 .（14分）
19．(1)有 的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关，理由见解析
(2)0.846
【分析】（1）计算 ，与临界值比较，得出结论；
（2）根据全概率公式计算 ，再由条件概率公式求解即可.
【详解】（1）提出原假设 ：电解电容质量与铝䈹质量无关.
由题意及 列联表，可得
.
由于 ，而 ，
因此，根据检测组的数据，原假设不成立，并且有 的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关. （6
分）
（2）设第一次取出的元件是优等品的事件为 ，第二次取出的元件是合格品的事件为 .取出的元件是第
一箱、第二箱的事件分别为 ， .
则由全概率公式，得
，.（11分）
于是，由条件概率公式，得 .
因此，在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率约为0.846. （14分）
20．(1) ；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）根据题意双曲线的 ，且 ，进而可求双曲线的标准方程；
（2）设点 ，利用斜率公式结合条件即可证出；
（3）设直线 的方程为 ，进而求出直线 的方程，把直线 代入椭圆方程，利用弦长公
式求出 ， 同理求出弦长 ，代入整理即可表示出 ，然后结合条件即得.
【详解】（1）设双曲线 的标准方程为 ，由题意知 ，且 ，
即 ，
所以双曲线 的标准方程为： ；（4分）
（2）设点 ，由题可知 ，则 ， ，
所以 ，而由点 在双曲线上，可知 ，即有 ，
从而 ，故 ；（9分）
（3）由上可知 ，且 ，且不能同时取 或 ，
所以可设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
把直线 的方程为 代入椭圆方程 ，
整理得 ，（12分）
设 ， ，则有 ， ，
因此 ，
同理可得 ，
因此 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .（16分）
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．(1)函数 在 上的增区间为： 与 ；
减区间为： 与 .当 时， 取极小值，极小值为 ，当 时，函数
取极大值，极大值为 ，当 时，函数 取极大值，极大值为 ；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求函数 的导函数，解不等式 可得函数 的单调递增区间，解不等式
可得
函数 的单调递减区间，解方程 ，由此确定函数的极值点；
（2）令 ，由已知可得 在区间 上恒成立，证明当 时，
函数 单调递增，再判断 时，不满足要求，由此确定 的范围；
（3）利用导数研究函数 ， 的单调性，作出函数的图象，证明曲线 与
有
唯一交点 ，结合图象证明 ，再证明 ， ， ，由此完成证明.
【详解】（1）由题设，有 ，可得令 可得 ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递增；
令 可得 ，解得 ，.
函数 在区间 上单调递增；
令 可得 ，所以 ，
所以，函数 在 上的递增区间为： 与 ；
递减区间为： 与 .
当 时，函数 取极大值，极大值为 ，
当 时，函数 取极小值，极小值为 ，
当 时，函数 取极大值，极大值为 ；（4分）
（2）关于 不等式 在区间 恒成立，
即： 在区间 上恒成立.
令 ，
则 ，令
则 ，
由（1）知： 在 上的极大值为 ，
又 ，
从而 在 上的最大值为1，
即 在 上恒成立.
于是 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增；
从而 ，（7分）
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上单调递增；
从而 在 上恒成立.
所以，当 时 在 上恒成立.
当 时，存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，与已知矛盾，
综合上述，得： .（10分）（3）对于函数 ，令 ，则 .
从而当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
故当 时， 取最大值，最大值为 .
对于函数 ，令 ，则 .
从而当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
故当 时， 取最大值，最大值为 .（13分）
因此，函数 与 有相同的最大值.其图像如下图所示.
下面先证明：曲线 与 有唯一交点.
由 ，得 ，即证明方程 有唯一实数根 .
令 ，则 .
所以 在 上恒为负数.因为当 时， ， ，
所以曲线 与 在区间 上没有交点.
而在区间 上，函数 单调递减，函数 单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
进而函数 在 上单调递减，
由 ， 及零点存在定理得：
函数 在 上存在唯一零点，
从而方程 在 上有唯一实数根 ，且 .
由于直线 与曲线 ， 共有3个不同交点，
故直线 必过点 ，
且 ， ，
由 ，得 ，即 ，
而函数 在 上严格增， ， ，
故 ①
由 ，得 ，
即 ，
而函数 在 上严格减， ， ，
故 ②由①，②得 . ③
由 ，得 ，
故有 ④
因此，由③，④得 ，即 成等比数列. （18分）
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化
为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数
的单调性、极(最)值问题处理．
